Свойства делимости суммы и произведения на число
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформулировать и применять свойства делимости суммы и произведения на число, решая не менее 4 из 5 заданий базового и повышенного уровней с обоснованием каждого вывода.
- Сформулировать свойства делимости суммы и произведения на число на основе наблюдения за примерами и буквенной записи.
- Научиться распознавать условия применения свойств и использовать их для устных вычислений и доказательства делимости.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её на примерах, объяснять ход рассуждения и находить ошибку в готовом решении.
- Формировать ответственность за результат совместной работы, интерес к поиску закономерностей и навыки самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к открытию математической закономерности через исследование конкретных примеров.
- Осознают ценность точного рассуждения и проверки утверждения на нескольких примерах.
- Принимают ответственность за вклад в работу пары или группы.
- Оценивают собственную успешность и называют действие, которое необходимо улучшить.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность действий для проверки гипотезы.
- Извлекают информацию из числовых примеров, таблицы и буквенной записи.
- Сравнивают способы решения, выявляют условие применимости свойства и обнаруживают ошибку.
- Аргументируют ответ в паре, используют математическую речь и проводят самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число.
- Знать свойство делимости произведения: если хотя бы один множитель делится на число, то произведение делится на это число.
- Уметь записывать условия делимости с помощью букв и применять свойства при доказательстве.
- Уметь объяснять, почему утверждение не применяется, если его условие не выполнено.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения свойств делимости для быстрого устного счёта и доказательства утверждений.
- Проявляют готовность слушать одноклассника и корректно оценивать его рассуждение.
- Фиксируют личный учебный результат в листе самооценки.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют проверку гипотезы на числовых примерах и в буквенной форме.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения каждого свойства по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак в примерах сумм и произведений.
- Классифицируют выражения по возможности применения свойства делимости.
- Моделируют делимость равенствами $a=kn$ и $b=mn$.
- Преобразуют словесное утверждение в буквенную запись и делают вывод.
Коммуникативные УУД
- Формулируют предположение в паре и задают уточняющие вопросы.
- Распределяют роли при выполнении групповой карточки.
- Объясняют решение с опорой на условие свойства.
- Согласуют общий ответ и корректно указывают на неточность в рассуждении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовыми примерами: $18+24$, $35+49$, $12\cdot 5$, $14\cdot 9$ и делителями 2, 3, 5, 7.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Распечатать карточки трёх уровней — по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту на каждую группу из четырёх человек.
- Подготовить цветные карточки или магниты с обозначениями «сумма», «произведение», «делится», «не следует».
- Заранее разместить на доске таблицу для вывода: «Условие — Запись — Вывод».
- Подготовить памятку с буквенными моделями: $a=kn$, $b=mn$, где $k,m,n$ — натуральные числа.
- Для этапа самостоятельной работы подготовить слайд с эталоном и закрытой до проверки схемой свойств.
- Организовать таймер на 2–4 минуты для парной и индивидуальной работы; обеспечить тетради, ручки и маркеры для групп.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску способа быстро обосновывать делимость выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске выражения $18+24$ и $12\cdot 5$: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать, а искать правило, которое позволит быстро отвечать на вопрос: делится ли выражение на число. Подготовьте тетради и ручки, запишите дату. Проверим, кто первым заметит закономерность." | Открывают тетради, записывают дату, читают выражения и готовятся к исследованию. |
2 мин | Учитель проводит приём «Крючок»: "Не выполняя деление столбиком, определите, делится ли $18+24$ на 6 и делится ли $12\cdot5$ на 6. Объясните не только ответ, но и способ рассуждения. Подумайте самостоятельно, затем сравните ответ с соседом." | Самостоятельно называют ответы: «$18+24=42$, 42 делится на 6» и «$12\cdot5$ делится на 6, потому что 12 делится на 6». Обсуждают способы в парах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже можем увидеть делимость в отдельных примерах. Сегодня выясним, какие общие свойства позволяют делать такие выводы без полного вычисления."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия делителя, кратного и признака делимости, необходимые для открытия новых свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске числа 24, 36 и 45: "Что означает утверждение «24 делится на 6»? Как можно записать его через умножение? Что называют кратным числа 6?" Учитель фиксирует ответы в виде равенства $24=6\cdot4$. | Отвечают: «24 делится на 6 без остатка», «24 — кратное 6», записывают равенства $24=6\cdot4$, $36=6\cdot6$, $45=5\cdot9$. |
3 мин | Учитель организует мини-соревнование «Верю — не верю»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно: 30 делится на 5; 42 кратно 7; 25 делится на 4; 16 кратно 2. Для одного ответа приведите объяснение." | Поднимают карточки, объясняют: «30 делится на 5», «42 кратно 7», «25 не делится на 4», «16 кратно 2». Исправляют возможные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делимость означает представление числа в виде произведения делителя и натурального множителя. Теперь проверим, как это знание работает для суммы и произведения чисел."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает пары чисел: $24+36$, $18+25$, $12\cdot7$, $14\cdot9$. "Числа 24 и 36 делятся на 6. Можно ли сразу утверждать, что их сумма делится на 6? А если оба слагаемых не делятся на 6, но одно из них делится? С произведением зададим тот же вопрос." | Рассуждают в парах, вычисляют или проверяют делимость: «$24+36=60$ делится на 6», «$18+25=43$ не делится на 6», «$12\cdot7$ делится на 6», «$14\cdot9$ не делится на 6, если ни один множитель не делится на 6». |
2 мин | Учитель применяет «Сократовский диалог»: "Что общего у первых примеров? Какое условие нужно для суммы? Какое — для произведения? Сформулируйте цель урока одним предложением и назовите шаги исследования." | Формулируют цель: «Открыть свойства делимости суммы и произведения». Называют план: «проверить примеры, записать правило буквами, решить задания и проверить себя». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно отличать достаточное условие от случайного совпадения. Начнём с исследования суммы и зафиксируем общий вывод."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести свойства делимости суммы и произведения через работу с числовыми и буквенными моделями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель делит класс на группы и раздаёт карточку с парами: $18+24$ при делителе 6, $35+49$ при делителе 7, $16+20$ при делителе 4. "Приём «Исследовательская лаборатория»: для каждой суммы проверьте делимость каждого слагаемого и всей суммы. Заполните таблицу «Слагаемое 1 — Слагаемое 2 — Сумма — Вывод»." | В группах вычисляют и фиксируют: $18=6\cdot3$, $24=6\cdot4$, $42=6\cdot7$; $35=7\cdot5$, $49=7\cdot7$, $84=7\cdot12$. Формулируют: «Если оба слагаемых делятся на число, то сумма делится на это число». |
3 мин | Учитель записывает на доске буквенную модель: "Пусть $a=kn$ и $b=mn$. Тогда $a+b=kn+mn=n(k+m)$. Посмотрите на полученное выражение. Почему оно делится на $n$? Запишите свойство словами и буквами." | Объясняют: «Сумма представлена произведением $n$ и числа $k+m$, поэтому делится на $n$». Записывают: если $a$ и $b$ делятся на $n$, то $a+b$ делится на $n$. |
3 мин | Учитель переходит к произведению: "Рассмотрите $12\cdot7$, где 12 делится на 6. Представим 12 как $6\cdot2$. Получаем $(6\cdot2)\cdot7=6\cdot(2\cdot7)$. Что изменится, если на 6 будет делиться второй множитель?" | Формулируют: «Если хотя бы один множитель произведения делится на число, то произведение делится на это число». Приводят пример $(6\cdot3)\cdot5=6\cdot15$. |
Запись в тетрадях
1. Если $a$ делится на $n$ и $b$ делится на $n$, то $a+b$ делится на $n$: $a=kn$, $b=mn$, значит, $a+b=n(k+m)$. 2. Если хотя бы один множитель произведения делится на $n$, то произведение делится на $n$: $a=kn$, значит, $ab=n(kb)$. Эти условия являются достаточными: обратные утверждения без дополнительных условий неверны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два свойства и доказали их буквенной моделью. Теперь проверим, умеем ли мы применять каждое свойство именно при наличии его условия."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить выбирать нужное свойство и проговаривать обоснование решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с выражениями: $24+36$ делится ли на 12; $45+30$ делится ли на 15; $18\cdot11$ делится ли на 9. "Работаем в парах по алгоритму: назовите делитель, проверьте условие свойства, сделайте вывод. Не ограничивайтесь словом «да» — начните объяснение с фразы «так как…»." | В парах записывают: «24 и 36 делятся на 12, значит, сумма делится на 12»; «45 и 30 делятся на 15, значит, сумма делится на 15»; «18 делится на 9, значит, произведение делится на 9». |
2 мин | Учитель показывает ошибочное рассуждение: "Ученик утверждает: 14 делится на 3 и 10 делится на 3, поэтому 14+10 делится на 3. Найдите ошибку и исправьте вывод." | Находят ошибку: 14 и 10 не делятся на 3. Проверяют $14+10=24$, 24 делится на 3, но это случайный результат; данное свойство применить нельзя. |
2 мин | Учитель проводит «Математический светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно объяснить свойство суммы, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если пока трудно. Затем сформулируйте один вопрос соседу." | Оценивают понимание, задают вопросы: «Почему для произведения достаточно одного множителя?» или «Можно ли применять свойство суммы, если делится только одно слагаемое?». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились не только получать ответ, но и проверять условие свойства. Переходим к индивидуальной работе, где каждый покажет собственный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение свойствами и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. Базовый: определить, делится ли $28+42$ на 7 и делится ли $15\cdot8$ на 5. Средний: доказать делимость $36+54$ на 9 и $25\cdot14$ на 5. Повышенный: объяснить, можно ли по свойствам доказать делимость $17+25$ на 7. "Выберите уровень по готовности, запишите краткое обоснование." | Индивидуально решают задания, в каждом ответе выделяют условие свойства и вывод. Для повышенного задания пишут: «применить свойство суммы нельзя, так как 17 и 25 не делятся на 7; однако сумма 42 делится на 7 после вычисления». |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только ответы, но и наличие обоснования. Ошибку обозначьте карандашом, рядом запишите исправленный шаг. Если решение отличается, сравните его с условием свойства." | Проводят самопроверку: $28=7\cdot4$, $42=7\cdot6$, значит, сумма делится на 7; $15=5\cdot3$, значит, произведение делится на 5; $36$ и $54$ делятся на 9; $25$ делится на 5. |
Эталон решения
1) $28+42$: $28=7\cdot4$, $42=7\cdot6$. Оба слагаемых делятся на 7, значит, по свойству суммы $28+42$ делится на 7. 2) $15\cdot8$: $15=5\cdot3$. Один множитель делится на 5, значит, по свойству произведения $15\cdot8$ делится на 5. 3) $36+54$: $36=9\cdot4$, $54=9\cdot6$, поэтому $36+54=9(4+6)$ и сумма делится на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главное в задаче — не механически назвать ответ, а установить, выполнено ли условие свойства. Теперь свяжем новые правила с быстрым решением практических задач."
Этап 7. Включение в систему знаний. Практическая задача (5 мин)
Цель этапа: применить свойства делимости в жизненном контексте и сравнить два способа рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает ситуацию: "В магазин привезли 24 упаковки сока и 36 упаковок воды. Их хотят разложить поровну по коробкам, по 6 упаковок в каждую. Не выполняя полное сложение в столбик, обоснуйте, можно ли разложить все упаковки без остатка." | Записывают: $24$ и $36$ делятся на 6, значит, $24+36$ делится на 6. Формулируют ответ: «Все 60 упаковок можно разложить по 6 без остатка». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: "Изменится ли вывод, если упаковок воды будет 35? Объясните, почему одного делимого слагаемого недостаточно для применения свойства." | Отвечают: «$24+35=59$, число 59 на 6 не делится; свойство суммы неприменимо, потому что 35 не делится на 6». Сравнивают условия двух ситуаций. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что свойства делимости помогают быстро принимать решение в реальной ситуации. Осталось зафиксировать личный результат и определить, что нужно повторить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите одно свойство суммы и одно свойство произведения. Приведите по одному числовому примеру и подчеркните условие, благодаря которому вывод верен. Внизу допишите: «Сегодня я научился…»" | Заполняют билет на выход. Примеры: «Если оба слагаемых делятся на 4, то сумма делится на 4»; «Если один множитель делится на 3, то произведение делится на 3». |
1 мин | Учитель обращается к классу: "Поставьте в листе самооценки знак: «+» — могу объяснить и применить оба свойства, «±» — нужна тренировка, «?» — остался вопрос. Выберите уровень домашнего задания и запишите его." | Отмечают уровень освоения, формулируют затруднение одним предложением и записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли свойства делимости, проверили их буквенной записью и применили к задачам. Сдайте билеты на выход, чтобы я увидел, какой шаг требует повторения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, каждое решение содержит ссылку на подходящее свойство и корректное обоснование; в повышенном задании объяснено, почему свойство суммы неприменимо.
- «4» — верно решены не менее 4 заданий из 5 либо допущена одна неточность в записи обоснования при правильном выборе свойства.
- «3» — верно решены не менее 3 заданий, но в одном-двух решениях отсутствует полное объяснение условия свойства; ошибки исправлены после самопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о делимости суммы и произведения? | Проверка осознания двух ключевых свойств. |
Какое условие нужно проверить перед применением свойства суммы? | Выявление понимания алгоритма выбора свойства. |
Почему в произведении достаточно одного множителя, делящегося на число? | Проверка смыслового понимания буквенной модели. |
Какое задание оказалось самым сложным и какой шаг вызвал затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы не получили готовое правило, а открыли его сами: если оба слагаемых делятся на число, то их сумма делится на это число, а для произведения достаточно делимости хотя бы одного множителя. Не забывайте каждый раз проверять условие свойства, потому что случайно верный ответ ещё не является доказательством. Дома закрепите алгоритм на задачах выбранного уровня. На следующем уроке мы рассмотрим другие способы распознавания делимости и научимся применять их в более сложных выражениях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: определить делимость двух сумм и двух произведений на указанные числа, каждый вывод обосновать соответствующим свойством. | Закрепляет формулировки свойств и умение выделять их условие; при проверке смотреть на наличие полного обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на доказательство делимости сумм и произведений, включая два выражения, где свойство применить нельзя; для них записать причину и проверить результат вычислением. | Формирует осознанный выбор способа и умение отличать достаточное условие от случайного совпадения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на свойство суммы, одно на свойство произведения и одно с ошибочным рассуждением, которое нужно исправить; каждое решение оформить буквенной или словесной моделью. | Развивает создание математических примеров, аргументацию и перенос свойства в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как звучит свойство делимости суммы? Как звучит свойство делимости произведения? Что обязательно нужно проверить перед применением каждого свойства? Почему утверждение, верное для одного примера, ещё не является доказанным свойством?»
