Вычисление процента от величины и величины по её проценту
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вычислять процент от величины и находить величину по её проценту, решая не менее 3 из 4 учебных и текстовых задач с правильной записью решения и проверкой ответа.
- Закрепить представление о проценте как о сотой доле величины и установить связь между процентами, дробями и десятичными дробями.
- Сформировать умение выбирать действие и способ решения задач на процент от величины и величину по её проценту.
- Развивать умение анализировать условие текстовой задачи, выделять известные и неизвестные величины, работать в паре и аргументировать способ решения.
- Воспитывать ответственное отношение к вычислениям через задачи о скидках, расходах и рациональном использовании ресурсов.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность процентов при расчёте скидок, расходов и изменения количества.
- Проявляют учебную мотивацию через решение задач, связанных с повседневной жизнью.
- Развивают ответственность за точность вычислений и доброжелательное отношение к мнению одноклассника.
- Формируют готовность оценивать собственные затруднения и обращаться за помощью.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста задачи и переводят её в математическую модель.
- Сравнивают способы решения и выбирают рациональный алгоритм.
- Планируют последовательность действий, выполняют самопроверку и исправляют ошибки.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и формулируют обоснованный ответ.
- Используют интерактивную доску или экран для проверки вычислений и анализа результата.
Предметные
- Знать, что $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$, и уметь переводить проценты в дроби.
- Уметь находить процент от величины по формуле $A\cdot\frac{p}{100}$.
- Уметь находить величину по её проценту по формуле $B:\frac{p}{100}$.
- Уметь решать текстовые задачи, содержащие обыкновенные дроби и проценты.
- Уметь записывать краткое условие, решение, единицы измерения и ответ, выполняя проверку смыслом задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения процентов через реальные ситуации покупок и расчётов.
- Оценивают собственную уверенность при выборе формулы и способа решения.
- Проявляют самостоятельность и уважение к партнёру при совместной работе.
- Осознают необходимость проверять финансовые и количественные расчёты.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение задачи по шагам: анализ условия, выбор модели, вычисление, проверка.
- Сверяют результат с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат работы по предложенным критериям и намечают способ коррекции.
Познавательные УУД
- Выделяют ключевые данные и неизвестную величину в тексте задачи.
- Устанавливают соответствие между процентом, обыкновенной и десятичной дробью.
- Составляют краткую запись и математическую модель ситуации.
- Сравнивают решение умножением на дробь и решение через нахождение $1\%$.
- Проверяют правдоподобие ответа и объясняют его смысл.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один объясняет ход решения, другой проверяет вычисления.
- Формулируют вопросы: «Что известно? Что составляет данный процент?».
- Аргументируют выбор действия и корректно сравнивают решения.
- Договариваются о единой записи ответа и принимают замечания партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную таблицу: «Процент — сотая доля», алгоритмы двух типов задач и пример проверки.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего 15 карточек двух уровней сложности.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика и 3 дополнительных экземпляра.
- Приготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному набору на ученика.
- Подготовить карточки с изображениями ценников и скидок 10%, 25%, 50% для мотивационной ситуации.
- Вывести на доску или экран проблемный вопрос: «Как узнать первоначальную цену, если известны цена после скидки и размер скидки?».
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парных заданий и самостоятельной работы.
- Подготовить интерактивную доску, компьютер и калькулятор учителя для демонстрации проверки, но не для замены устных вычислений.
- Разместить на доске памятку: «Процент от величины — умножение; величина по проценту — деление на процентную долю».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость процентов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для заметок должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто считать, а разберёмся, как проценты помогают принимать решения в обычной жизни." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране ценник: товар стоил 2000 рублей, скидка 15%. Реплика: "Представьте, что вы выбираете подарок. Как быстро узнать размер скидки? А если на ценнике указана уже цена со скидкой, как восстановить первоначальную стоимость? Запишите свои предположения, а затем обсудите их с соседом." Используется приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально записывают предположение, обсуждают его в паре 1 минуту, формулируют ответы: "Нужно найти 15% от 2000"; "Для обратной задачи нужно понять, какую часть всей цены составляет известная сумма". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели две разные ситуации: найти часть от целого и восстановить целое по известной части. Сейчас вспомним, что уже умеем делать с дробями и процентами."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать связь процентов с дробями и подготовить основу для открытия алгоритмов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран цепочку: $1\%$, $10\%$, $25\%$, $50\%$, $75\%$. Реплика: "Переведите каждое значение в обыкновенную или десятичную дробь. Объясните, почему 50% — это половина, а 25% — четверть." | Записывают соответствия: $1\%=0{,}01$, $10\%=0{,}1$, $25\%=0{,}25=\frac14$, $50\%=0{,}5=\frac12$, $75\%=0{,}75=\frac34$; объясняют связь с долями. |
3 мин | Учитель предлагает устно решить: "Найдите $\frac14$ от 80; найдите 10% от 300; сравните действия в этих примерах. Какое действие выполняется, когда ищем часть величины?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Решают: $80\cdot\frac14=20$, $300\cdot0{,}1=30$; формулируют вывод: "Чтобы найти часть величины, умножаем величину на дробь, выражающую эту часть". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главное правило: процент можно заменить дробью, а часть от величины находится умножением. Но обратная задача требует другого действия — именно её способ решения мы сейчас откроем."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "После скидки 20% рюкзак стоит 1600 рублей. Сколько рублей он стоил до скидки?" Реплика: "Попробуйте решить быстро. Можно ли умножить 1600 на 20%? Что мы тогда найдём?" | Пробуют предложить решение, замечают затруднение: умножение даёт размер скидки от 1600, а не первоначальную цену; отвечают: "Нужно найти величину, 20% которой равны 1600". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что известно? Что неизвестно? Какая величина принята за 100%? Сколько процентов составляет 1600 рублей? Сформулируйте цель урока и план действий." | Выделяют: первоначальная цена — 100%, известная цена — 80%, 1600 рублей — 80%; формулируют цель: "Научиться находить величину по её проценту и применять оба алгоритма в текстовых задачах". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: мы должны не найти процент от известного целого, а восстановить целое по известной части. Сначала откроем два алгоритма, затем проверим их на задачах."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы нахождения процента от величины и величины по её проценту, связав их с дробями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Рассмотрим первую задачу: в классе 30 учеников, 40% из них занимаются спортом. Сколько это учеников? Процент переводим в дробь: $40\%=0{,}4$. Затем умножаем: $30\cdot0{,}4=12$. Значит, чтобы найти процент от величины, умножаем величину на процентную долю." Учитель записывает алгоритм из трёх шагов. | Записывают алгоритм: 1) перевести процент в дробь; 2) умножить величину на процентную долю; 3) записать ответ и проверить смысл. Отвечают: "Спортом занимаются 12 учеников". |
5 мин | Учитель возвращается к задаче о рюкзаке: "После скидки 20% цена составляет 80% первоначальной стоимости. Обозначим первоначальную цену $x$. Получаем $x\cdot0{,}8=1600$, поэтому $x=1600:0{,}8=2000$. Проверка: $2000\cdot0{,}8=1600$. Значит, чтобы найти величину по её проценту, делим известную часть на процентную долю." На доске появляется схема: «часть = целое · доля; целое = часть : доля». | Составляют краткую запись и решение, проговаривают: "1600 рублей — это 80%, значит 100% равны 2000 рублей". Сравнивают два алгоритма и формулируют различие: "В первой задаче умножаем, во второй делим". |
Запись в тетрадях
$p\% = \frac{p}{100}$. Процент от величины: $A\cdot\frac{p}{100}$. Величина по её проценту: $B:\frac{p}{100}$. Алгоритм: определить, что является 100%; перевести процент в дробь; выбрать умножение или деление; проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть опорная схема: часть от целого ищем умножением, а целое по известной части — делением на процентную долю. Проверим это правило сначала вместе, а затем вы примените его самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: снять утомление и закрепить выбор действия в типовых задачах через парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Если я называю процент от величины, поднимите руки вверх; если величину по проценту — потянитесь в стороны. 20% от 50; 300 рублей — это 25% какой суммы; 10% от 700; 45 учеников — это 50% какого количества?" | Выполняют движения и одновременно называют действие: "умножение", "деление", "умножение", "деление". Исправляют себя по сигналу класса. |
5 мин | Учитель раздаёт парам карточки и объясняет приём «Взаимообучение»: "В каждой паре первый ученик решает задачу, второй задаёт два вопроса: ‘Что принято за 100%?’ и ‘Почему выбрано умножение или деление?’. Затем поменяйтесь ролями. Задачи: 35% от 240; 72 — это 30% какого числа." Учитель наблюдает и задаёт наводящие вопросы. | В парах решают: $240\cdot0{,}35=84$; $72:0{,}3=240$. Один ученик объясняет выбор действия, второй проверяет вычисления и записывает краткий комментарий. |
Эталон решения
1) $35\%$ от $240$: $35\%=0{,}35$; $240\cdot0{,}35=84$. Ответ: $84$. 2) $72$ — это $30\%$ числа: $30\%=0{,}3$; $72:0{,}3=240$. Проверка: $240\cdot0{,}3=72$. Ответ: $240$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили формулы в паре и увидели, что правильный выбор действия начинается с вопроса: что составляет 100%? Теперь каждый выполнит работу самостоятельно и покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и межпредметным контекстом (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение алгоритмов в задачах с дробями, процентами и данными из естественно-научного контекста.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите три задачи, обязательно запишите, что принято за 100%, формулу или действие и ответ с единицами. 1) В баке было 48 л воды, за день использовали 25%. Сколько литров использовали? 2) После выделения 15% отходов масса материала составила 340 кг. Какова первоначальная масса? 3) В школьном саду 3/5 деревьев — яблони, из них 20% молодые. Какую часть всех деревьев составляют молодые яблони?" Учитель напоминает, что третья задача связывает математику с естествознанием. | Индивидуально решают: $48\cdot0{,}25=12$ л; $340:0{,}85=400$ кг; $\frac35\cdot\frac15=\frac3{25}$ всех деревьев. Записывают ход решения и единицы измерения. |
2 мин | Учитель выводит эталон по шагам, не называя ответы заранее: "Сначала определите процент, который остался после использования или потери. В третьей задаче процент переведите в дробь и умножьте на уже известную долю." | Сверяют каждую строку с эталоном, подчёркивают место расхождения, исправляют вычисление другим цветом. |
2 мин | Учитель предлагает самооценку «Светофор»: "Зелёный — могу выбрать действие и объяснить его; жёлтый — решаю с одной подсказкой; красный — путаю два типа задач. Отметьте цвет и запишите, что именно нужно повторить." | Поднимают карточку выбранного цвета, записывают личное затруднение: «перевод процентов в дробь», «нахождение оставшегося процента» или «деление на десятичную дробь». |
Эталон решения
1) $25\%=0{,}25$; $48\cdot0{,}25=12$ л. 2) После потери 15% осталось $85\%$, или $0{,}85$; $340:0{,}85=400$ кг. 3) $20\%=\frac15$; доля молодых яблонь: $\frac35\cdot\frac15=\frac3{25}$. Ответ: $\frac3{25}$ всех деревьев.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что один и тот же процентный материал встречается в разных областях: в расходе воды, производстве и изучении природы. Осталось зафиксировать, что стало понятным, а что требует тренировки, и сформулировать домашнюю работу."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, оценить достижение цели и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Закончите две фразы: ‘Чтобы найти процент от величины, я…’; ‘Чтобы найти величину по её проценту, я…’. Затем ответьте: ‘Как понять, что полученный ответ реалистичен?’" | Письменно завершают фразы: "умножаю величину на процентную долю"; "делю известную часть на процентную долю"; добавляют проверку смыслом задачи. |
2 мин | Учитель организует короткое обсуждение: "Поднимите руку, кому легче решать первую задачу, а кому вторую. Назовите типичную ошибку и способ её избежать. Что помогло сегодня: схема, работа в паре или проверка?" | Называют затруднения и способы коррекции: "сначала определить 100%", "не забыть, что после скидки осталось 80%", "проверить обратным умножением". |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание, показывает на экране три уровня и поясняет: "Обязателен базовый уровень. Повышающий и дополнительный выбирайте по результату самооценки, но можно выполнить больше одного уровня." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы по формату ответа. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все 3 задачи самостоятельной работы, правильно определено значение 100%, записаны действия или формулы, указаны единицы и выполнена содержательная проверка.
- «4» — верно решены 2 задачи из 3, либо допущена одна вычислительная ошибка при правильно выбранном алгоритме; запись решения в основном полная.
- «3» — верно решена 1 задача из 3 и показано понимание хотя бы одного алгоритма; в остальных задачах есть попытка составить модель.
- Ниже отметки «3» — алгоритм выбора действия не установлен или отсутствует запись решения; требуется индивидуальная коррекция по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о нахождении процента от величины и величины по её проценту? | Выявление осознания двух разных алгоритмов. |
Какой вопрос помогает выбрать между умножением и делением? | Проверка понимания роли величины, принятой за 100%. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в математической модели и вычислениях. |
Как вы проверите, что ответ задачи имеет смысл? | Формирование навыка самоконтроля и оценки реалистичности результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить процент от величины умножением и восстанавливать величину по её проценту делением на процентную долю. Мы увидели, что при скидке или потере важно сначала определить, сколько процентов осталось от первоначального количества. Типичная ошибка — принять известную часть за 100%, поэтому всегда задавайте себе вопрос: ‘Что составляет целое?’. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на увеличение и уменьшение величины на несколько процентов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение процента от величины и две на нахождение величины по её проценту; в каждой задаче записать, что принято за 100%, и выполнить проверку. | Закрепляет различение двух алгоритмов; при проверке смотреть на перевод процента в дробь и выбор действия. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи с дробями и процентами в контексте покупки, расхода воды или состава продукта; одна задача должна содержать величину, оставшуюся после уменьшения на процент. | Развивает математическую и финансовую грамотность; при проверке обращать внимание на смысл величины, оставшейся после изменения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о скидке, составе или расходе: указать условие, краткую запись, решение двумя связанными способами или с проверкой и ответ. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать решение; при проверке оценивать корректность условия и реалистичность чисел. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти 18% от 250? Что означает запись $x\cdot0{,}7=210$? Как найти $x$? Почему после уменьшения величины на 30% остаётся 70%?»
