Задачи на делимость
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 при решении не менее четырёх из пяти практических задач, объясняя ход рассуждений и проверяя ответ.
- Закрепить умение распознавать признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и выбирать подходящий признак для конкретного числа.
- Научиться находить неизвестную цифру в записи числа, чтобы оно делилось на заданное число.
- Развивать умение анализировать условие, планировать последовательность действий, работать в паре и аргументировать решение.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и готовность проверять собственную работу.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительную мотивацию к решению математических задач через связь признаков делимости с повседневными ситуациями.
- Осознают ценность точности, последовательности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Принимают ответственность за собственный результат и вклад в работу пары.
- Формируют уверенность в возможности найти способ решения нестандартной задачи.
Метапредметные
- Извлекают нужную информацию из условия задачи и представляют её в виде краткой записи или таблицы.
- Выбирают способ действия, сравнивают несколько решений и объясняют, почему выбранный признак подходит.
- Планируют работу по алгоритму, используют таймер и выполняют самопроверку по эталону.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопросы и корректно оценивают решение одноклассника.
Предметные
- Знать признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Уметь определять, делится ли число на заданное число, не выполняя деление столбиком.
- Уметь находить неизвестную цифру в записи числа по условию делимости.
- Уметь решать текстовые и практические задачи на делимость и записывать обоснование ответа.
- Владеть навыком проверки решения с помощью деления или обратного рассуждения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл математических правил через применение к задачам о нумерации, упаковке и распределении предметов.
- Выбирают уровень дополнительного задания с учётом собственных возможностей.
- Проявляют настойчивость при поиске неизвестной цифры.
- Оценивают личный прогресс по результатам самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют последовательность действий.
- Распределяют время между заданиями и контролируют соблюдение алгоритма.
- Сверяют ответ с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по признакам делимости.
- Выделяют существенные признаки в записи числа: последнюю цифру и сумму цифр.
- Моделируют условие задачи с неизвестной цифрой.
- Сравнивают решение по признаку делимости с проверкой непосредственным делением.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий.
- Объясняют партнёру выбор признака делимости полным предложением.
- Задают уточняющие вопросы и приводят аргументы.
- При взаимопроверке формулируют доброжелательную рекомендацию по исправлению ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или слайд с таблицей признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, а также с алгоритмом решения задач.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист самооценки и лист взаимопроверки на каждого ученика.
- Подготовить карточки с числами для разминки: 126, 235, 417, 540, 729, 1002.
- Подготовить для каждой пары набор из пяти небольших карточек с практическими задачами.
- Вывесить на доску памятку: «1. Определи нужный признак. 2. Примени его. 3. Запиши обоснование. 4. Проверь ответ».
- Подготовить маркеры, магнитные карточки, таймер и цветные сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Организовать рассадку по парам; предусмотреть свободное место у доски для разбора решений.
- Подготовить эталон решений для показа после самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать жизненный смысл задач на делимость.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, линейка и цветная карточка должны лежать на парте. Сегодня мы будем не просто вспоминать признаки делимости, а использовать их как инструмент для решения задач." | Проверяют наличие принадлежностей, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: "В магазине нужно разложить 126 карандашей поровну по коробкам. Можно ли сделать по 2, по 3 или по 5 карандашей в коробке без остатка? Как быстро это определить, не выполняя несколько делений? Сегодня мы найдём удобный способ и проверим его на разных задачах." | Высказывают предположения: "На 2 и 3 разделить можно, на 5 — нельзя"; формулируют, что помогут признаки делимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что признаки делимости помогают быстро принимать решение в практической ситуации. Теперь восстановим правила, которые понадобятся для сегодняшней работы."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (6 мин)
Цель этапа: проверить готовность применять основные признаки делимости и выявить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает по очереди числа 126, 235, 417, 540, 729 и 1002: "Поднимите зелёную карточку, если число делится на названное число, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если не делится. Для каждого ответа приготовьте короткое объяснение. Проверяем: 126 делится на 2? 235 — на 5? 417 — на 3?" | Поднимают сигнальные карточки, называют ответы: "126 делится на 2, потому что оканчивается на чётную цифру"; "235 делится на 5, потому что оканчивается на 5"; "417 делится на 3, потому что сумма цифр равна 12". |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите в тетради пять признаков делимости в краткой форме. Сначала работайте самостоятельно 30 секунд, затем сравните записи с соседом. После этого одна-две пары назовут правило, а я зафиксирую точную формулировку на доске." | Восстанавливают правила, обсуждают их в парах и формулируют: "На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — 0 или 5; на 10 — 0; на 3 и 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или 9". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают краткую таблицу: «На 2 — последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0; на 3 — сумма цифр делится на 3; на 9 — сумма цифр делится на 9».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Основные признаки восстановлены. Но при решении задач важно не только вспомнить правило, а понять, какой именно признак выбрать и как обосновать ответ. Сейчас разберём этот алгоритм."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и алгоритма решения (5 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм решения задач на делимость и определить критерии правильного ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "Из цифр 2, 4, 5 и 7 составляют четырёхзначное число, используя каждую цифру один раз. Какие из составленных чисел будут делиться на 5? Нужно ли перебирать все варианты? Объясните свой выбор." | Анализируют условие и отвечают: "Число должно оканчиваться на 5, потому что цифры 0 нет; остальные цифры можно переставлять". |
3 мин | Учитель подводит к алгоритму: "Сначала определяем, на какое число требуется делимость. Затем вспоминаем признак. После этого выделяем нужную часть записи числа: последнюю цифру или сумму цифр. Записываем вывод и обязательно проверяем его. Что будет ошибкой? Просто написать «делится» без объяснения." | Формулируют алгоритм из четырёх шагов, записывают его и приводят пример неполного ответа: "Число делится на 3" без указания суммы цифр. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть общий порядок действий. Переходим к практической части: сначала решим задачи вместе, затем вы проверите себя самостоятельно."
Этап 4. Практикум в парах. Первичное закрепление (9 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости в задачах различного типа и научиться объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачами: "Задача 1. Определите, делится ли число 738 на 2, 3, 5 и 9. Для каждого ответа запишите признак. Сначала один ученик решает, второй проверяет полноту объяснения, затем поменяйтесь ролями." | Решают задачу в парах. Записывают: 738 делится на 2, потому что последняя цифра 8; на 3, потому что $7+3+8=18$; на 9, потому что $18$ делится на 9; на 5 не делится, так как последняя цифра не 0 и не 5. |
3 мин | Учитель предлагает задачу 2: "Найдите все цифры $x$, при которых число 47x делится на 3. Объясните, почему перебор цифр должен быть ограничен условием о сумме цифр." Учитель направляет вопросами: "Какую сумму цифр получаем? Какие значения может иметь $x$?" | Составляют условие $4+7+x=11+x$. Подбирают цифры $x=1,4,7$, поскольку суммы равны 12, 15 и 18. |
3 мин | Учитель предлагает задачу 3: "В школьной столовой приготовили 245 яблок. Можно ли разложить их поровну в пакеты по 5 яблок и по 10 яблок? Ответ обоснуйте, не выполняя деление столбиком." После решения просит одну пару объяснить ответ классу. | Обсуждают, формулируют: "На 5 разделить можно, потому что число оканчивается на 5; на 10 нельзя, потому что последняя цифра не 0". Одна пара представляет решение, остальные сравнивают записи. |
Эталон решения
Для числа $47x$: $4+7+x=11+x$. Число делится на 3, если $11+x$ делится на 3. Среди цифр от 0 до 9 подходят $x=1$, $x=4$, $x=7$: суммы цифр равны соответственно 12, 15 и 18. Ответ: $x=1,4,7$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили признаки к обычным числам, к неизвестной цифре и к жизненной задаче. Обратите внимание: полный ответ состоит не только из результата, но и из признака, который его подтверждает. Теперь каждый проверит себя индивидуально."
Этап 5. Физкультминутка «Чётное — нечётное» (2 мин)
Цель этапа: снять утомление и восстановить внимание перед самостоятельной работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Если я называю число, делящееся на 2, поднимите руки вверх; если число нечётное — потянитесь в стороны; если число делится на 5 — сделайте хлопок. Будьте внимательны: некоторые числа подходят сразу под два условия. Начинаем: 14, 25, 30, 47, 80." | Выполняют движения по правилам, называют признаки: "30 делится и на 2, и на 5, и на 10"; корректируют действия после устной проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз повторили признаки на слух. Теперь работаем самостоятельно и показываем, насколько уверенно умеем выбирать способ решения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (15 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на делимость и аргументировать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательные задания 1–3. Если закончите раньше и уверены в решении, выберите задание повышенного уровня. Записывайте не только ответ, но и признак. На работу 8 минут; время будет видно на таймере." | Выбирают карточку, читают критерии, готовят рабочее место и задают уточняющие вопросы до начала работы. |
8 мин | Учитель наблюдает, не подсказывая готовое решение: "Проверьте себя: на какое число нужно делить? Какой признак подходит? Не перепутали ли вы сумму цифр с последней цифрой? Если возникло затруднение, подчеркните место вопросом и переходите к следующему заданию." | Индивидуально решают задания: 1) определяют делимость чисел 540, 672, 915 на указанные числа; 2) находят цифры $x$ для числа 52x, делящегося на 3; 3) решают задачу о распределении 360 сувениров по 10 и по 9 коробкам; записывают объяснения. |
5 мин | Учитель выводит эталон: "Сверяем не только ответы, но и ход рассуждений. Отметьте зелёной галочкой верное решение, точкой — место, которое требует исправления. После проверки напишите одну причину ошибки или фразу «решение подтверждено»." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают количество верно выполненных заданий и заполняют лист самооценки. |
Эталон решения
Для задачи о 360 сувенирах: $360$ оканчивается на 0, поэтому делится на 10. Сумма цифр равна $3+6+0=9$, а 9 делится на 9, поэтому число делится на 9. Следовательно, сувениры можно распределить поровну по 10 и по 9 коробкам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство из вас умеет выбирать нужный признак. Ошибки чаще всего появляются, когда забывают проверить последнюю цифру или сумму цифр. Завершим урок осмыслением результата и определим следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, зафиксировать затруднения и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На небольшом листке закончите три фразы: «Сегодня я научился…», «При выборе признака я сначала…», «Мне нужно потренироваться…». Внизу поставьте цвет: зелёный — могу объяснить другому, жёлтый — решаю с подсказкой, красный — нужна помощь." | Заполняют билет на выход, называют конкретный навык и показывают цвет самооценки. |
3 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Можно ли быстро определить, как разложить 126 карандашей по 2, по 3 или по 5? Какой признак применим в каждом случае? Сформулируйте общий вывод одним предложением." | Отвечают: "126 делится на 2, потому что последняя цифра чётная; на 3 — сумма цифр 9 делится на 3; на 5 не делится, потому что последняя цифра не 0 и не 5". Формулируют вывод о выборе признака. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили правила, а применили их к разным типам задач, нашли неизвестную цифру и проверили свои решения. Билет на выход поможет мне подобрать задания для следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, правильно выбраны признаки делимости, каждое решение содержит обоснование, исправления выполнены самостоятельно.
- «4» — верно выполнены не менее трёх обязательных заданий, допущена одна неточность в объяснении или вычислении, которую ученик исправил при самопроверке.
- «3» — верно выполнены не менее двух обязательных заданий, признаки делимости в основном выбраны правильно, но обоснование неполное или требуется помощь при исправлении ошибок.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы выбираете первым, когда видите последнюю цифру числа? | Проверка понимания признаков, связанных с последней цифрой. |
Как вы находили неизвестную цифру в числе 47x или 52x? | Выявление освоения алгоритма работы с суммой цифр. |
Какая ошибка при решении задач на делимость наиболее вероятна лично для вас? | Осознание индивидуальных затруднений и планирование коррекции. |
Сможете ли вы объяснить однокласснику, почему 360 делится на 9 и на 10? | Проверка способности переносить правило в практическую ситуацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в записи числа подсказку: последнюю цифру или сумму цифр. Вы решали задачи на делимость, находили неизвестную цифру и объясняли практический смысл ответа. Помните о типичной ошибке: нельзя утверждать, что число делится, не назвав подходящий признак. На следующем уроке мы продолжим работать с делителями и кратными и будем составлять собственные задачи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 задач: определить делимость пяти натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10; в каждом пункте записать используемый признак. | Закрепляет основные признаки; при проверке смотреть на правильность выбора признака и полноту объяснения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение всех цифр $x$, при которых двузначное или трёхзначное число делится на 3, 5 или 9, и выполнить проверку найденных вариантов. | Формирует умение переводить условие делимости в подбор цифры и проверять полный набор решений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о распределении предметов по одинаковым группам, используя одновременно два признака делимости; кратко объяснить, почему выбранный ответ единственный или почему возможны разные варианты. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос знаний в новый контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какой признак используется для делимости на 2? Как проверить делимость на 3 и на 9? Что нужно рассмотреть в числе при проверке делимости на 5 и на 10? Какие четыре шага входят в алгоритм решения задачи на делимость?»
