Наименьшее общее кратное
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наименьшее общее кратное двух и нескольких натуральных чисел разложением на простые множители и применять НОК при решении практических задач.
- Образовательная задача: сформулировать определение НОК, установить связь между кратными и общими кратными чисел.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать разложения на простые множители, выбирать рациональный способ решения и проверять результат.
- Коммуникативная задача: организовать работу в парах с распределением ролей, объяснением алгоритма и взаимопроверкой.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за общий результат, аккуратность вычислений и готовность учитывать иной способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску общего правила и его применению в жизненной ситуации.
- Осознают значение точности и самоконтроля при выполнении математических вычислений.
- Принимают участие в парной работе, уважительно относятся к мнению одноклассника.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм нахождения НОК.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из текста учебника, таблицы на экране и математической записи.
- Сравнивают способы нахождения НОК, выделяют существенные шаги алгоритма.
- Планируют решение, выполняют самопроверку по эталону и корректируют ошибки.
- Используют цифровой таймер и интерактивную доску для фиксации результатов.
Предметные
- Знать определение наименьшего общего кратного двух или нескольких натуральных чисел.
- Уметь находить НОК перечислением кратных и разложением чисел на простые множители.
- Уметь выбирать для решения способ, соответствующий условию и величине чисел.
- Уметь проверять, что найденное число делится на каждое из данных чисел.
- Применять НОК при решении задачи о повторяющихся событиях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение парного результата.
- Связывают изучаемое понятие с организацией повторяющихся событий в реальной жизни.
- Осознают необходимость доводить решение до проверки.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску правила.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока.
- Планируют последовательность нахождения НОК.
- Контролируют правильность разложения чисел на простые множители.
- Сравнивают результат с условием и эталоном.
- Исправляют вычислительные ошибки после взаимопроверки.
Познавательные УУД
- Выделяют кратные и общие кратные среди чисел.
- Анализируют разложения на простые множители и выбирают необходимые множители.
- Строят краткую математическую модель повторяющихся событий.
- Сравнивают перечисление кратных и разложение на множители.
- Формулируют вывод об образовании НОК.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы по алгоритму.
- Объясняют партнёру выбор множителей.
- Аргументируют правильность ответа математическими признаками.
- Согласовывают общий ответ и корректно обсуждают ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или материалы для интерактивной доски: тема, проблемная задача, ряды кратных, схема разложения на простые множители и алгоритм НОК.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать карточки для парной игры «Синхронные события»: по одной карточке на пару, всего 15 экземпляров.
- Подготовить листы самооценки и мини-билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «Разложить числа; выбрать максимальную степень каждого простого множителя; перемножить».
- Подготовить цветные маркеры или магниты для выделения общих кратных и простых множителей.
- Проверить работу проектора, ноутбука, интерактивной доски и цифрового таймера.
- Подготовить фрагмент текста учебника по теме для смыслового чтения и задания разного уровня без указания страниц.
- Разложить на парты тетради, карточки, ручки двух цветов и листы для взаимопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через жизненную ситуацию и игровую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, готовы ли тетрадь, ручка и карточка. Сегодня нам понадобится не только точность, но и умение договариваться. На экране появится задача, которую сначала попробуем решить без нового правила." | Проверяют готовность, записывают дату, объединяются в пары по соседству. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Один сигнал звучит каждые 6 минут, второй — каждые 8 минут. Они прозвучали одновременно в 9:00. Через сколько минут снова прозвучат вместе? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите ответ с партнёром по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Самостоятельно записывают несколько кратных 6 и 8, обсуждают в паре и предлагают ответы: «Через 24 минуты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что повторяющиеся события можно связать с общими кратными. Сейчас проверим, как находить такое число быстро и без длинного перебора."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия кратного, делителя и разложения числа на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску числа 4, 6 и 12 и говорит: "Назовите первые пять кратных каждого числа. Объясните, как вы получили ряд. Что общего у чисел 12 и 24 для чисел 4 и 6?" | Записывают ряды: 4, 8, 12, 16, 20; 6, 12, 18, 24, 30. Отвечают: «12 и 24 делятся и на 4, и на 6». |
2 мин | Учитель проводит мини-игру «Верю — не верю»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если нужно исправление: 18 кратно 6; 5 является делителем 20; 30 — общее кратное 4 и 6." | Поднимают карточки, объясняют: «18 кратно 6 — верно; 5 — делитель 20 — верно; 30 не делится на 4, поэтому не является общим кратным». |
2 мин | Учитель напоминает: "Разложите числа 12 и 18 на простые множители. Проговорите, какие признаки делимости помогли." | Записывают: $12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$; объясняют использование делимости на 2 и 3. |
Запись в тетрадях
Кратное числа $a$ — число, которое делится на $a$ без остатка. Общее кратное нескольких чисел делится на каждое из них.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем перечислять кратные и раскладывать числа на простые множители. Но пока не назвали специальное наименьшее общее кратное. Найдём его через учебную проблему."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при выборе наименьшего общего кратного и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Найти первое общее кратное чисел 18 и 24». Затем спрашивает: "Можно ли выписать много кратных? Как понять, что выбранное число самое маленькое? Как ускорить поиск для больших чисел?" | В парах предлагают перечисление: 18, 36, 54, 72 и 24, 48, 72. Формулируют затруднение: «Перебор занимает много времени, нужен алгоритм». |
2 мин | Учитель направляет Сократовский диалог: "Какое число должно делиться на оба данных числа? Какой результат нас устроит? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Отвечают: «Число должно делиться на 18 и 24». Формулируют цель: «Научиться находить наименьшее общее кратное удобным способом и применять его в задаче». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: нужно не просто найти общее кратное, а доказать его наименьшее значение. Теперь построим алгоритм на конкретных разложениях."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм нахождения НОК разложением на простые множители и закрепить его в записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране разложения: $18=2\cdot3^2$, $24=2^3\cdot3$. "Сравните записи. Какие простые множители встречаются? Как взять их так, чтобы получившееся число делилось и на 18, и на 24?" Учитель цветом выделяет максимальную степень каждого множителя. | Находят множители 2 и 3, объясняют: «Для двойки берём $2^3$, для тройки — $3^2$, потому что нужны максимальные степени». |
3 мин | Учитель формулирует и записывает алгоритм: "Первый шаг — разложить каждое число. Второй — выписать все простые множители, выбирая максимальную степень каждого. Третий — перемножить выбранные множители. Запишите алгоритм и примените его к 18 и 24." | Записывают алгоритм, вычисляют: $\operatorname{НОК}(18,24)=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: "Почему нельзя взять только общие множители? Почему нельзя взять $2^2$ вместо $2^3$?" | Объясняют: «Тогда произведение может не делиться на 24; нужно сохранить все множители каждого числа». |
2 мин | Учитель предлагает парную проверку: "Сверьте решение с партнёром. Один ученик проверяет делимость 72 на 18, другой — делимость 72 на 24. Затем поменяйтесь ролями." | В парах выполняют проверку: $72:18=4$, $72:24=3$. Формулируют вывод: «72 делится на оба числа, а меньшего общего кратного в переборе нет». |
Запись в тетрадях
Наименьшее общее кратное чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Алгоритм: разложить числа на простые множители; выбрать максимальную степень каждого простого множителя; перемножить выбранные множители.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли способ нахождения НОК через максимальные степени простых множителей. Сейчас проверим алгоритм на разных примерах и научимся замечать типичные ошибки."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математический светофор» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки базового уровня: "Найдите НОК чисел 12 и 20. Работайте по памятке, а затем поднимите зелёную карточку, если готовы объяснить решение." | В парах раскладывают числа на множители: $12=2^2\cdot3$, $20=2^2\cdot5$, получают $\operatorname{НОК}=2^2\cdot3\cdot5=60$. |
3 мин | Учитель предлагает выбор: "Пары, которые уверенно справились, берут карточку повышенного уровня: найдите НОК чисел 24, 36 и 45. Остальные пары выполняют задание с подсказкой — готовыми разложениями. Обязательно подпишите, какие максимальные степени выбрали." | Выбирают уровень. Для повышенного задания используют $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, $45=3^2\cdot5$ и получают $2^3\cdot3^2\cdot5=360$. |
2 мин | Учитель показывает три решения с ошибками: «НОК(12,18)=2·3=6»; «НОК(8,12)=2^2·3=12»; «НОК(15,20)=2^2·3·5=60». Просит применить приём «Найди ошибку». | Находят ошибки в первом решении: 6 не делится на 12 и 18; во втором решении ошибок нет; в третьем проверяют и подтверждают ответ 60. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что уровень задания может быть разным, но алгоритм остаётся одним. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет его применять."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и умение применить НОК в практической задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней: "Выберите посильный уровень. Базовый: найдите НОК чисел 16 и 24. Средний: найдите НОК чисел 30 и 42. Повышенный: найдите НОК чисел 18, 24 и 30. Записывайте разложения и промежуточные шаги." | Индивидуально решают выбранный вариант. Базовый ответ: $48$; средний: $210$; повышенный: $360$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сверьте не только ответ, но и каждый шаг. Отметьте зелёным правильные действия, жёлтым — место, которое нужно исправить. Ошибку исправьте рядом, не стирая первоначальную запись." | Сверяют разложения, выбор максимальных степеней и произведение, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает задачу функциональной грамотности: "Автобус приходит на остановку каждые 12 минут, а маршрутное такси — каждые 18 минут. Они встретились в 8:00. Во сколько снова встретятся?" | Записывают $\operatorname{НОК}(12,18)=36$, формулируют ответ: «В 8:36» и объясняют, почему используется НОК. |
Эталон решения
$12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$. Выбираем максимальные степени: $2^2$ и $3^2$. Тогда $\operatorname{НОК}(12,18)=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36$. Время следующей встречи: 8 часов 00 минут плюс 36 минут — 8 часов 36 минут.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеете ли вы применять алгоритм без подсказки. Мы проверили и вычислительный пример, и задачу из жизни. Осталось оценить собственный результат и сформулировать, что нужно закрепить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ, зафиксировать затруднения и объяснить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Поставьте знак напротив утверждений: «Я могу объяснить определение НОК», «Я могу разложить числа на простые множители», «Я могу выбрать максимальные степени», «Я могу применить НОК в задаче». Используйте цвета светофора." | Отмечают уровень понимания, записывают один вопрос или затруднение. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно: 1) что такое НОК; 2) найдите НОК чисел 6 и 8; 3) назовите шаг, на котором сегодня ошибались чаще всего." | Заполняют билет: НОК — наименьшее общее кратное; $\operatorname{НОК}(6,8)=24$; называют собственное затруднение. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении записывайте разложения, выбранные степени и проверку делимости." | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают уточняющие вопросы по формату записи. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, разложения и выбор максимальных степеней записаны корректно, практическая задача решена с пояснением и выполнена проверка.
- «4» — правильно выполнены основные вычисления, но допущена одна неточность в записи или отсутствует подробная проверка одного результата.
- «3» — верно выполнено базовое задание или часть задания среднего уровня, но есть ошибки в выборе степеней либо в вычислении произведения; после подсказки алгоритм применён.
- Ниже базового уровня — учитель фиксирует конкретный шаг затруднения и предлагает повторить разложение чисел на простые множители с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое НОК и чем оно отличается от любого общего кратного? | Проверка понимания определения и признака наименьшего значения. |
Какой шаг алгоритма нахождения НОК оказался для вас самым важным? | Выявление осознания структуры алгоритма. |
Почему при разложении мы выбираем максимальную степень каждого простого множителя? | Проверка понимания обоснования способа, а не механического запоминания. |
Какое задание вы выбрали бы для повторения дома и почему? | Формирование самооценки и выявление потребности в дифференцированной помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что НОК — это самое маленькое число, которое делится на каждое из данных чисел. Вы научились находить его разложением на простые множители и использовать в задаче о повторяющихся событиях. Помните о типичной ошибке: нельзя брать только общие множители, нужно выбрать максимальную степень каждого простого множителя. Дома закрепите алгоритм на выбранном уровне. На следующем уроке мы продолжим применять НОК при решении задач и сравним его с другими способами работы с кратными."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение НОК двух чисел разложением на простые множители; числа подобрать так, чтобы встречались простые множители 2, 3 и 5. В одном задании выполнить проверку делимости ответа. | Закрепляет определение и основной алгоритм; при проверке обратить внимание на разложения и выбор максимальных степеней. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на нахождение НОК трёх чисел и 1 практическую задачу о повторяющихся событиях, например расписании транспорта или сигналах. Записать краткое объяснение выбора НОК. | Развивает перенос алгоритма на более сложные числа и жизненный контекст; проверить полноту математической модели и единицы времени. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о трёх повторяющихся событиях, подобрать числа, решить её через НОК и объяснить, почему найденное время является первым повторным совпадением. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать решение; проверить корректность условия, решения и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют НОК? Какой множитель выбирают при разных степенях одного простого числа? Как проверить найденный ответ? В какой жизненной задаче используется НОК?»
