Простые числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать простые и составные числа в пределах 100, объяснять признак простого числа и применять алгоритм проверки числа на простоту.
- Сформировать представление о простых числах как о натуральных числах, имеющих ровно два различных делителя: 1 и само число.
- Научиться находить простые числа среди натуральных чисел и обосновывать свой ответ перечислением делителей или указанием делимости.
- Развивать умение наблюдать, сравнивать, классифицировать числа, работать по алгоритму и проверять результат.
- Воспитывать интерес к математике, аккуратность вычислений, готовность сотрудничать и аргументированно отстаивать свою точку зрения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерностей в последовательности натуральных чисел.
- Осознают ценность точного обоснования ответа и проверки собственного решения.
- Развивают уверенность в совместном обсуждении математической задачи и уважение к мнению одноклассников.
- Формируют ответственное отношение к учебной работе и готовность исправлять ошибки.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют существенные признаки простого числа, классифицируют числа и строят рассуждение по алгоритму.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность проверки и осуществляют самоконтроль.
- Коммуникативные: формулируют вопросы, обсуждают решение в парах и группах, приводят аргументы.
- Работают с таблицей натуральных чисел, извлекают информацию и представляют результат в краткой форме.
Предметные
- Знать определение простого числа и понимать, что число 1 не является ни простым, ни составным.
- Уметь отличать простые числа от составных в пределах 100.
- Уметь находить делители числа и использовать их количество для классификации числа.
- Владеть алгоритмом проверки числа на простоту с помощью делимости на числа, не превосходящие квадратного корня из проверяемого числа.
- Уметь приводить примеры простых чисел и объяснять свой выбор.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей математической задачи.
- Осознают смысл изучения простых чисел как основы дальнейшего изучения разложения чисел на множители.
- Проявляют интерес к математическим закономерностям и поисковой деятельности.
- Оценивают собственную готовность объяснить признак простого числа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после обнаружения затруднения в классификации чисел.
- Планируют действия: найти делители, определить их количество, сделать вывод.
- Сверяют результат с эталоном и находят причину ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и сигнальных карточек.
Познавательные УУД
- Сравнивают пары чисел по количеству делителей и выявляют общий признак.
- Классифицируют натуральные числа на простые и составные.
- Моделируют рассуждение в виде алгоритма проверки числа.
- Используют таблицу чисел и признаки делимости для поиска простых чисел.
- Формулируют вывод на основе наблюдений и проверяют его на новых примерах.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о количестве делителей числа.
- Аргументируют, почему число является простым или составным.
- Согласовывают общий ответ группы и корректно оценивают решение одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивную таблицу чисел от 1 до 100 или распечатать таблицу по одной на парту.
- Распечатать карточки для групповой работы трёх уровней — по одной карточке на группу из 4 человек, всего 6 карточек.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика и 3 запасные.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные сигнальные карточки — по комплекту на каждого ученика.
- Вывести на доску тему урока, проблемный вопрос «Как быстро определить, что число простое?» и пустую схему алгоритма.
- Подготовить слайд с числами 1, 2, 9, 13, 15, 17, 25, 29 для мотивационного задания.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю определение», «Я умею находить делители», «Я могу объяснить решение».
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, магниты и таймер на 2–4 минуты.
- Разложить на доске или отдельном слайде эталон: «Простое число имеет ровно два различных делителя: 1 и само число».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через проблемный вопрос и жизненную математическую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране числа 1, 2, 9, 13, 15, 17, 25, 29: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём урок с небольшой математической загадки. Посмотрите на экран и попробуйте определить, какие числа в этом ряду особенные. Пока не называйте ответ вслух: сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите предположение с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Рассматривают ряд чисел, индивидуально отмечают предполагаемые особенные числа, затем сравнивают мнение с соседом. |
2 мин | Учитель просит несколько пар высказаться: "Какие числа вы выбрали? Важно не только назвать ответ, но и объяснить, по какому признаку вы его нашли. Если мнения различаются, это нормально: наша задача сегодня — открыть точный признак и научиться проверять его. Запомните проблемный вопрос: «Как определить, что число простое?»" | Предполагают: «2, 13, 17 и 29 имеют особое строение»; приводят первые объяснения: «У них мало делителей», «Они делятся только на 1 и на себя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Интересные предположения уже появились. Сейчас проверим, какие знания о делителях помогут нам решить эту задачу точно, а не на глаз."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного числа и признаки делимости, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель пишет на доске числа 12 и 18: "Вспомним, что называется делителем числа. Назовите все делители числа 12 и объясните, почему 5 делителем 12 не является. Затем назовите делители числа 18. Работайте в парах одну минуту: один ученик перечисляет делители, второй проверяет делением." | В парах записывают: «Делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18». Объясняют: «12 не делится на 5 без остатка». |
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Число 7 является делителем 35. Число 4 является делителем 18. Число 1 является делителем любого натурального числа. Число 24 кратно 6. После каждого ответа кратко объясните свой выбор." | Показывают карточки и объясняют: «7 — делитель 35, потому что 35 : 7 = 5»; «4 не делитель 18»; «1 делитель любого натурального числа»; «24 кратно 6, потому что 24 : 6 = 4». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы и фиксирует ответы на доске: "Сколько делителей может быть у числа 12? А у числа 7? Чем отличаются эти случаи? Пока не торопитесь давать специальное название. Наша задача — заметить закономерность: одни числа имеют много делителей, а у других делителей очень мало." | Отвечают: «У 12 шесть делителей, у 7 — два: 1 и 7». Формулируют наблюдение: «Некоторые числа делятся только на 1 и на себя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делитель делит число без остатка, и увидели важное различие в количестве делителей. Теперь выясним, как назвать числа с ровно двумя делителями и как не ошибиться при проверке."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при классификации чисел и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с числами 1, 2, 9, 13, 15, 17 и 25: "Разделите числа на две группы по количеству делителей. Для каждого числа запишите делители. Обратите внимание на число 1: попробуйте решить, к какой группе его отнести. На работу — две минуты." | В парах перечисляют делители и распределяют числа: 2, 13, 17 — в группу чисел с двумя делителями; 9, 15, 25 — в группу чисел с более чем двумя делителями; для 1 отмечают затруднение. |
2 мин | Учитель организует обсуждение: "Что получилось уверенно? На каком числе возник спор? Почему число 1 нельзя просто присоединить к первой группе? Сформулируйте, чего нам не хватает для точной работы. Какую цель поставим на урок?" | Отвечают: «Число 1 имеет только один делитель — 1, поэтому оно не подходит»; формулируют цель: «Узнать признак простого числа и научиться распознавать простые числа». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение помогло нам поставить цель. Сегодня мы откроем определение простого числа, отличим его от составного и составим алгоритм проверки. Начнём с самостоятельного исследования чисел."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение простого числа, отличие составного числа и алгоритм проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека и раздаёт таблицы чисел от 1 до 30: "Сейчас используем исследовательский приём «Математическое сито». Вычеркните число 1, затем оставьте 2 и вычеркните все числа, кратные 2, кроме самого 2. После этого оставьте 3 и вычеркните числа, кратные 3, кроме 3. Продолжайте с числами 5 и 7. В группе распределите роли: секретарь отмечает числа, проверяющий следит за правилом, докладчик готовит вывод." | В группах вычёркивают составные числа в таблице, оставляют 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29; распределяют роли и готовят вывод. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какие числа остались? Найдите делители числа 13, затем числа 21. Сравните количество делителей. Что общего у оставшихся чисел? Посмотрите на доску: я записываю точное определение. Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само число. Составное число имеет более двух делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным, потому что у него только один делитель." | Отвечают: «Остались числа, которые не делятся на другие числа, кроме 1 и самого себя». Записывают и проверяют: «У 13 делители 1 и 13; у 21 — 1, 3, 7 и 21». Формулируют различие простых и составных чисел. |
4 мин | Учитель строит на доске алгоритм: "Запишем алгоритм проверки. Шаг 1 — выяснить, является ли число 1. Если да, оно ни простое, ни составное. Шаг 2 — проверить, делится ли число на 2, 3, 5 и другие числа, меньшие его и не равные 1. Если найден дополнительный делитель, число составное. Если дополнительных делителей нет, число простое. Проверим алгоритм на числе 29: оно не делится на 2, 3 и 5, а проверка делителей до 5 достаточна, потому что $6 \cdot 6 > 29$. Значит, 29 простое. Почему 25 составное?" | Записывают алгоритм. Объясняют: «25 делится на 5, поэтому у него есть делители 1, 5, 25; оно составное». Формулируют вывод: «Простое число имеет ровно два делителя». |
Запись в тетрадях
Записывают: «Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само число. Составное число имеет более двух делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным». Ниже оформляют алгоритм проверки числа на простоту в трёх шагах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определение и составили алгоритм. Теперь важно научиться применять его не только к знакомым примерам, но и объяснять каждый ответ. Проверим новый способ сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание простых и составных чисел с проговариванием способа рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает игру «Математический светофор»: "Я называю число, а вы показываете зелёную карточку, если оно простое, жёлтую — если составное, красную — если число 1. После сигнала не просто показывайте цвет, а объясняйте решение соседу. Числа будут такими: 1, 2, 8, 11, 15, 19." | Показывают карточки и объясняют в парах: «1 — красная, это особый случай»; «2, 11, 19 — простые»; «8 и 15 — составные, потому что имеют дополнительные делители». |
2 мин | Учитель разбирает два примера у доски: "Проверим число 17. Какие делители нужно рассмотреть? Записываем: $17 : 2$ — с остатком, $17 : 3$ — с остатком, $17 : 4$ — с остатком. Других делителей, кроме 1 и 17, нет, значит, число простое. Теперь число 27: найдите дополнительный делитель и объясните вывод." | Один ученик записывает проверку 17 у доски, класс сверяет. Для 27 называют делитель 3 и выводят: «27 составное, потому что $27 : 3 = 9$». |
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки с наборами: А — 31, 33, 37; Б — 41, 45, 49; В — 51, 53, 57. Инструкция: "За две минуты найдите простые числа, а для составных укажите дополнительный делитель. Докладчик группы назовёт результат полным предложением." | В группах отмечают: А — 31 и 37 простые, 33 составное, делитель 3; Б — 41 простое, 45 и 49 составные; В — 53 простое, 51 и 57 составные. Представляют и обосновывают ответы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете не только узнавать простые числа, но и доказывать свой ответ. Теперь каждый проверит себя индивидуально: важно работать без подсказки и внимательно записывать основания вывода."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения и алгоритма классификации чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по готовности. Уровень 1 — обязательный минимум, уровень 2 — базовый с объяснением, уровень 3 — повышенный. Сначала внимательно прочитайте все задания, затем решайте самостоятельно. На карточке обязательно записывайте не только ответ, но и один аргумент." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель наблюдает, не подсказывая решение, напоминает критерий: "Если вы считаете число простым, назовите его два делителя и убедитесь, что других нет. Если число составное, достаточно найти хотя бы один дополнительный делитель. Не забывайте об особом случае — числе 1." | Выполняют задания. Минимальный уровень: распределяют числа 1, 2, 4, 7, 9, 13, 21, 23 на три группы и указывают делитель составных чисел. Базовый уровень: классифицируют 29, 35, 43, 51, 59, 63 и обосновывают ответы. Повышенный уровень: находят все простые числа от 40 до 60 и объясняют, почему 49 и 51 составные. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте работу по эталону, не исправляя ответ молча. Зачеркните ошибку одной чертой, рядом запишите правильный вывод. Затем поставьте себе знак: плюс — всё верно, вопрос — нужна помощь, восклицательный знак — хочу разобрать ошибку." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают результат самооценки и формулируют вопрос по затруднению. |
Эталон решения
Для минимального уровня: 1 — ни простое, ни составное; 2, 7, 13, 23 — простые; 4 — составное, так как делится на 2; 9 — составное, так как делится на 3; 21 — составное, так как делится на 3. Для повышенного уровня простые числа от 40 до 60: 41, 43, 47, 53, 59. Число 49 составное, потому что $49 : 7 = 7$; число 51 составное, потому что $51 : 3 = 17$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, кто уже уверенно применяет алгоритм, а кому нужно ещё раз разобрать отдельный шаг. Ошибка — это не повод останавливаться: важно понять её причину. В завершение обобщим знания и проверим, можем ли мы сформулировать правило одним точным предложением."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "За одну минуту письменно закончите три фразы: «Простое число — это…», «Число 1 не является простым, потому что…», «Чтобы доказать, что число составное, достаточно…». Пишите самостоятельно, затем сравните формулировки с соседом." | Письменно завершают фразы: «Простое число имеет ровно два делителя»; «У числа 1 только один делитель»; «Достаточно найти дополнительный делитель». |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "В начале урока мы спросили: «Как определить, что число простое?» Ответьте полным предложением. Затем поднимите карточку: зелёная — могу объяснить правило, жёлтая — могу определить с подсказкой, красная — нужна помощь." | Формулируют ответ: «Нужно проверить, есть ли у числа делители, кроме 1 и самого числа; если нет, число простое». Показывают карточку самооценки. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату самооценки. Обязательный уровень выполняют все, повышающий — те, кто уверен в алгоритме, дополнительный — по желанию. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: почему число 1 не является простым?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания и отвечают: «У числа 1 только один делитель, а у простого числа должно быть ровно два». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли признак простого числа, научились отличать простые числа от составных и поняли особый статус числа 1. Важно всегда обосновывать ответ через делители, а не только узнавать число по памяти. На следующем уроке мы используем простые числа при разложении составных чисел на простые множители."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, простые и составные числа классифицированы без ошибок, для каждого составного числа указан дополнительный делитель, рассуждение записано аккуратно.
- «4» — допущена одна ошибка в классификации или обосновании, но определение простого числа и основной алгоритм применены верно.
- «3» — правильно определена часть чисел, но допущены две-три ошибки или отсутствуют объяснения для составных чисел; ученик понимает общий признак с помощью подсказки.
- «2» — ученик не различает простые и составные числа, не учитывает особый случай числа 1 и не может применить алгоритм даже после повторного объяснения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое простое число? | Проверка осознания ключевого определения и точности формулировки. |
Почему число 1 не является ни простым, ни составным? | Выявление понимания особого случая и количества делителей. |
Какой шаг алгоритма проверки числа оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Какое число из сегодняшних заданий вы можете обосновать лучше всего? | Оценка уверенности ученика и способности приводить доказательство. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами открыли важное свойство натуральных чисел: простое число имеет ровно два различных делителя — 1 и само себя. Мы также выяснили, почему число 1 нельзя считать простым: у него только один делитель. Типичная ошибка — назвать число простым, не проверив возможный дополнительный делитель, поэтому всегда опирайтесь на алгоритм. На следующем уроке мы увидим, как простые числа помогают разложить любое составное число на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на классификацию натуральных чисел в пределах 50: выделить простые, составные и отдельно число 1; для трёх составных чисел указать дополнительный делитель. | Закрепляет определение простого числа и проверку делителей; при проверке обратить внимание на обязательное обоснование ответа. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий: найти все простые числа в трёх предложенных диапазонах от 20 до 70 и кратко объяснить, почему соседние составные числа таковыми являются. | Развивает применение алгоритма и внимательность при последовательном просмотре чисел; проверить отсутствие пропусков и ошибок в делимости. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную карточку из 10 чисел от 1 до 100, включив не менее четырёх простых чисел, четыре составных и число 1; решить карточку одноклассника и записать обоснование каждого спорного ответа. | Развивает создание математического задания, анализ и аргументацию; при проверке оценить корректность подобранных чисел и объяснений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Сколько делителей у простого числа?», «Почему 1 не является простым числом?», «Как доказать, что число составное?», «Назовите три простых числа больше 10».
