Решение задач на части и проценты
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать текстовые задачи на нахождение части величины, величины по её части и процентов, выбирая подходящую модель решения и выполняя проверку ответа.
- Закрепить умение находить часть числа по дроби и процентам, переводить проценты в дробь и применять умножение к решению практических задач.
- Научиться выделять условие, вопрос, величину, принятую за целое, и неизвестную часть в текстовой задаче.
- Развивать умение работать с информацией, составлять краткую запись или схему, объяснять ход решения и проверять реалистичность ответа.
- Формировать ответственное отношение к вычислениям и понимание применения математики в бытовых ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к решению задач, связанных с покупками, расходами и распределением величин.
- Осознают значение точных вычислений для принятия обоснованных решений в повседневной жизни.
- Развивают уверенность в собственных математических действиях через поэтапную проверку решения.
- Проявляют готовность сотрудничать с одноклассниками и уважительно обсуждать разные способы решения.
Метапредметные
- Извлекают из текста задачи известные и неизвестные величины, устанавливают связи между ними.
- Составляют краткую запись, схему или математическую модель ситуации.
- Планируют последовательность действий, сопоставляют полученный ответ с условием и исправляют ошибки.
- Формулируют устное математическое объяснение, аргументируют выбор действия и участвуют в обсуждении решения.
Предметные
- Знать связь между дробью, десятичной дробью и процентами как способами записи части величины.
- Уметь находить часть величины по дроби или процентам с помощью умножения.
- Уметь находить целую величину по известной части и соответствующей доле.
- Уметь решать задачи на части и проценты в 1–2 действия и выполнять проверку ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и оценивают собственную готовность решать практические задачи.
- Понимают ценность математической грамотности при работе с ценами, скидками и распределением ресурсов.
- Сохраняют положительную мотивацию при возникновении затруднения и принимают необходимость проверки результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения задачи и планируют последовательность математических действий.
- Контролируют правильность перевода процентов в дробь и соответствие единиц измерения.
- Сравнивают решение с эталоном, находят ошибку и вносят коррективы.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и результату самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию в тексте задачи и отбрасывают данные, не влияющие на решение.
- Устанавливают отношения «часть — целое», представляют их в виде схемы и математического выражения.
- Сравнивают задачи на нахождение части и целого, выявляют различие в выборе действия.
- Применяют вычислительные навыки и проверяют правдоподобие результата.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах, распределяют роли вычислителя и объясняющего.
- Формулируют вопросы к условию задачи и отвечают на вопросы одноклассников.
- Аргументируют выбор действия, используя математические термины «целое», «часть», «процент».
- Сравнивают способы решения без отрицательной оценки личности партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой «целое — часть — процент» и памяткой перевода процентов в дробь.
- Распечатать карточки для устного счёта — по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать карточки с задачами трёх уровней — по одной на каждого ученика и по одному комплекту на каждую пару.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я нахожу часть», «Я нахожу целое», «Я проверяю ответ» — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску или слайд таблицу: $1\%=\frac{1}{100}$, $p\%=\frac{p}{100}$, «часть величины = целое · доля».
- Подготовить таймер на 5 минут для устного счёта и на 4 минуты для парной работы.
- Проверить наличие тетрадей, ручек, доски и проектора; заранее записать тему и дату урока.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость задач на части и проценты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение объяснять свои действия, потому что мы будем решать задачи из обычной жизни." | Проверяют принадлежности, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране ценник: «Рюкзак стоит 2400 рублей, магазин объявил скидку 25 процентов». Учитель спрашивает: "Что означает 25 процентов? Можно ли сразу назвать размер скидки? Что нам нужно узнать первым?" Затем формулирует проблемный вопрос: "Как по условию понять, какую часть величины надо найти?" | Рассматривают ценник, отвечают: "25 процентов — это 25 сотых целого"; "Нужно найти размер скидки, а затем новую цену". Предполагают, что сначала нужно определить целую величину. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что проценты помогают описывать часть целого, но для решения важно понять, что принято за 100 процентов. Сейчас проверим вычислительные навыки, которые понадобятся нам на уроке."
Этап 2. Устный счёт (5 мин)
Цель этапа: актуализировать вычислительные навыки, перевод процентов в дробь и нахождение части числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель включает таймер и проводит устный счёт: "Работаем быстро, но без угадывания. Запишите только ответы. Найдите 10 процентов от 80, 25 процентов от 200, 50 процентов от 36 и 75 процентов от 40. После сигнала сравним ответы." | Индивидуально вычисляют и записывают: 8, 50, 18, 30. |
2 мин | Учитель продолжает: "Переведите в дробь 30 процентов, 5 процентов, 60 процентов и 125 процентов. Теперь найдите: $\frac{1}{4}$ от 28, $\frac{3}{5}$ от 25. Объясните соседу один выбранный ответ." | Записывают: $0{,}3$, $0{,}05$, $0{,}6$, $1{,}25$; вычисляют 7 и 15; объясняют ход решения в паре. |
1 мин | Учитель организует быструю самопроверку: "Поднимите зелёную карточку, если все ответы совпали, жёлтую — если есть одна ошибка, красную — если ошибок две и больше. Ошибку не прячем: она показывает, что повторить." | Показывают карточку, отмечают ошибочные ответы и исправляют их в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили, что процент можно записать дробью со знаменателем 100, а часть числа находим умножением. Теперь разберёмся, как эти знания помогают читать и решать текстовую задачу."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить различие между задачами на нахождение части и задачами на нахождение целого.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает две задачи: "В коробке 40 карандашей, 30 процентов из них — цветные. Сколько цветных карандашей?" и "12 карандашей составляют 30 процентов всех карандашей. Сколько карандашей в коробке?" Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала подумайте молча, затем сравните задачи с соседом. Что в них одинаково и чем отличается вопрос?" | Сначала читают задачи индивидуально, затем обсуждают в парах. Формулируют: в первой задаче известно целое и нужно найти часть, во второй известна часть и нужно найти целое. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что в обеих задачах можно принять за 100 процентов? Какую величину мы обозначим целым? Какое действие вероятнее всего понадобится в первой задаче? А во второй?" На доске фиксирует цель: «Научиться определять целое и часть и выбирать действие». | Отвечают: "За 100 процентов принимают все карандаши"; "В первой задаче умножаем целое на долю, во второй делим известную часть на долю". Записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в самом вычислении, а в выборе направления рассуждения. Сейчас построим общий алгоритм, который поможет отличать эти два вида задач."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения задач на нахождение части величины и целой величины по её части.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает первую задачу: "В школьной столовой приготовили 80 порций супа. За первой переменой продали 35 процентов всех порций. Сколько порций продали? Сначала назовите целое, затем часть и долю. Запишем: целое — 80 порций, доля — 35 процентов, часть — неизвестна. Переведём проценты: $35\%=0{,}35$. Теперь найдём часть: $80\cdot0{,}35=28$." | Выделяют в условии 80 порций и 35 процентов, записывают краткую схему «80 — 100 процентов; ? — 35 процентов», проговаривают: «Известно целое, находим часть умножением». Записывают ответ: «28 порций». |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "В школьной столовой продали 28 порций супа, что составляет 35 процентов всех приготовленных порций. Сколько порций приготовили? Известна часть — 28, известна её доля — 35 процентов, целое неизвестно. Поэтому составим выражение $28:0{,}35=80$." Учитель подчёркивает: "Делим часть на долю, записанную десятичной дробью." | Составляют краткую запись, объясняют выбор деления: «28 — это 35 сотых целого, поэтому целое равно 28 разделить на 0,35». Получают 80 порций и выполняют проверку: $80\cdot0{,}35=28$. |
3 мин | Учитель оформляет на доске алгоритм: "Первый шаг — определить, что принято за целое. Второй — найти известную и неизвестную величины. Третий — перевести процент в десятичную дробь. Четвёртый — если ищем часть, умножить целое на долю; если ищем целое, разделить часть на долю. Пятый — проверить ответ." | Переписывают алгоритм, задают уточняющие вопросы и формулируют правило своими словами: «Часть находим умножением, целое по части — делением на долю». |
Запись в тетрадях
Алгоритм решения: 1) определить целое; 2) выделить известную часть и её долю; 3) перевести процент в десятичную дробь; 4) для нахождения части умножить целое на долю, для нахождения целого разделить часть на долю; 5) проверить ответ по условию.
Эталон решения
Задача 1: $80\cdot0{,}35=28$ порций. Ответ: 28 порций. Задача 2: $28:0{,}35=80$ порций. Проверка: $80\cdot0{,}35=28$. Ответ: 80 порций.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили общий алгоритм и увидели, что главное — определить, что является целым. Теперь применим правило сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем попробуем решить самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор действия и алгоритм решения в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: "В саду 120 деревьев, из них 40 процентов — яблони. Сколько яблонь в саду?" Инструкция: "Один ученик выделяет целое и долю, второй записывает выражение. Затем поменяйтесь ролями и вместе сформулируйте ответ." | В парах выделяют 120 деревьев и 40 процентов, записывают $120\cdot0{,}4=48$, формулируют ответ: «В саду 48 яблонь». |
2 мин | Учитель предлагает задачу: "В библиотеке 18 книг о природе, что составляет 20 процентов всех научно-популярных книг. Сколько научно-популярных книг в библиотеке? Объясните, почему здесь нельзя умножать 18 на 0,2." | Определяют, что 18 книг — часть, а целое неизвестно. Записывают $18:0{,}2=90$, отвечают: «Всего 90 книг». |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три пункта: определено ли целое, правильно ли переведён процент, соответствует ли действие вопросу. Поставьте две звезды за верные шаги и одно пожелание, если нашли неточность." | Проверяют решение другой пары по трём критериям, записывают две сильные стороны и один совет, исправляют найденные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проверили не только ответ, но и путь к нему. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно умеет выбирать модель решения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на часть и целое по алгоритму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Базовый уровень обязателен для всех. Если выполните его уверенно, переходите к повышающему. Дополнительное задание можно взять тем, кто готов объяснить два способа проверки. Перед решением подпишите, что является целым." | Выбирают карточку, записывают в тетради схему «целое — часть — доля» и приступают к работе. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт направляющие вопросы: "Что в условии является 100 процентами? Известна часть или целое? Какую долю нужно записать вместо процентов?" На базовой карточке: "В магазине было 250 тетрадей, 24 процента продали. Сколько тетрадей продали?" и "45 учеников составляют 75 процентов участников кружков. Сколько всего участников?" | Индивидуально решают: $250\cdot0{,}24=60$; $45:0{,}75=60$. Записывают ответы с единицами измерения и выполняют проверку второго результата. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Сверяем не только числа. Проверьте краткую запись, перевод процентов, действие, ответ и проверку. Если есть ошибка, зачеркните только ошибочный шаг и исправьте его рядом." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают причину затруднения: «не определил целое», «ошибся при переводе процента», «выбрал неверное действие». |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание: "Цена товара 1600 рублей. Сначала цену снизили на 15 процентов, затем новую цену увеличили на 15 процентов. Получилась ли первоначальная цена? Обоснуйте ответ вычислениями." | Решают: снижение $1600\cdot0{,}15=240$, новая цена 1360 рублей; увеличение $1360\cdot0{,}15=204$, итог 1564 рубля. Формулируют вывод: «Цена не вернулась к исходной, потому что 15 процентов во втором случае брались от другой величины». |
Эталон решения
Для задачи о тетрадях: $250\cdot0{,}24=60$ тетрадей. Для задачи о кружках: $45:0{,}75=60$ участников; проверка $60\cdot0{,}75=45$. Для повышенного задания: $1600\cdot0{,}85=1360$ рублей, затем $1360\cdot1{,}15=1564$ рубля. Итоговая цена отличается от первоначальной на 36 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает только при внимательном чтении условия. Осталось оценить, что стало понятным, а что требует дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ решения, выявить индивидуальные затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте, что вы теперь умеете: определить целое; найти часть по процентам; найти целое по известной части; выполнить проверку. Поставьте рядом зелёный, жёлтый или красный знак." | Заполняют лист самооценки, отмечают один пункт, который требует тренировки. |
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: "Запишите одним предложением ответ на вопрос: чем отличается задача на нахождение части от задачи на нахождение целого? Вторым предложением укажите, как проверить решение." | Пишут: «Часть находят умножением целого на долю, целое находят делением части на долю». Добавляют: «Проверить можно обратным действием». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, по желанию, один повышающий или дополнительный. В каждой задаче обязательно подписывайте, что принято за целое, и выполняйте проверку. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что такое 100 процентов в задаче и когда часть делят на долю?" | Записывают домашнее задание, отвечают: «100 процентов — это целая величина»; «часть делят на долю, когда находят целое». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за процентами отношение части к целому. Проверьте себя по алгоритму и не забывайте подписывать единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с процентами и рассмотрим изменение величины на несколько процентов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе базовые задачи и повышенное задание, правильно определено целое, проценты переведены в долю, записаны ответы с единицами измерения и выполнена проверка.
- «4» — верно решены обе базовые задачи, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка в повышенном задании либо проверке.
- «3» — верно решена одна базовая задача и частично выполнена вторая; целое и часть определены не во всех задачах, но общий способ решения понятен.
- Ниже отметки «3» — не определено целое ни в одной задаче или отсутствует обоснованный выбор действия; работу необходимо доработать по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что в задаче принимают за 100 процентов? | Проверка понимания смысла целой величины и отношения части к целому. |
Как понять, нужно умножать или делить? | Выявление освоения различия между нахождением части и нахождением целого. |
На каком шаге сегодня возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения и планирование коррекции. |
Как ты проверил свой ответ? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и обратного действия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать задачи, в которых величины связаны с процентами и частями. Главное правило таково: если известна целая величина и нужно найти часть, умножаем целое на долю; если известна часть и нужно найти целое, делим часть на долю. Типичная ошибка — не определить, что является 100 процентами, поэтому всегда начинайте с краткой записи. На следующем уроке мы продолжим применять этот алгоритм в задачах на изменение цены и количества."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: 2 задачи на нахождение части величины по процентам и 2 задачи на нахождение целого по известной части и процентам. В каждой задаче выделить целое, перевести процент в дробь, записать решение и выполнить проверку. | Закрепляет базовый алгоритм и различение двух типов задач; при проверке обратить внимание на выбор действия и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи с ценами, количеством товаров или результатами опроса, включая одну задачу в два действия на последовательное изменение величины на проценты. | Формирует математическую и финансовую грамотность; проверить краткую запись, порядок действий и объяснение результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на проценты из бытовой ситуации, решить её двумя способами или выполнить проверку обратным действием, затем объяснить, почему выбранное действие верно. | Развивает умение создавать математическую модель и аргументировать решение; проверить корректность условия, реалистичность чисел и полноту ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что принимают за 100 процентов в задаче? Как найти часть величины по процентам? Как найти целую величину по известной части? Каким действием можно проверить ответ?»
