Понятие множества, подмножества, пересечение и объединение множеств
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют понятия множества, подмножества, пересечения и объединения множеств, научатся обозначать их с помощью символов и выполнять не менее 4 из 5 учебных заданий с самостоятельной проверкой.
- Сформировать представление о множестве, его элементах, подмножестве, пересечении и объединении множеств.
- Научить записывать принадлежность элемента множеству с помощью символов ∈ и ∉, а также изображать пересечение и объединение множеств с помощью круговых схем.
- Развивать умение классифицировать объекты по признаку, сравнивать множества, устанавливать общее и различия, аргументировать свой ответ в паре и группе.
- Воспитывать аккуратность математической записи, интерес к исследованию закономерностей и ответственность за результат совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математические понятия помогают описывать и упорядочивать объекты окружающего мира.
- Проявляют интерес к исследованию признаков предметов и поиску нескольких способов классификации.
- Развивают положительное отношение к совместной работе и готовность уважать обоснованный ответ одноклассника.
- Осознают значение аккуратной записи символов для точного обмена математической информацией.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют существенный признак, классифицируют объекты, строят схемы пересечения и объединения множеств.
- Коммуникативные: формулируют вопрос, объясняют способ решения партнёру, сравнивают ответы и корректно выражают несогласие.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность действий, сверяют результат с эталоном и исправляют ошибки.
- Используют интерактивную визуализацию для проверки принадлежности элементов множеству и чтения диаграмм.
Предметные
- Знать определения множества, элемента множества, подмножества, пересечения и объединения множеств.
- Уметь обозначать множества заглавными латинскими буквами, элементы — строчными буквами, использовать символы ∈ и ∉.
- Уметь определять, является ли одно множество подмножеством другого, и записывать отношение с помощью символа ⊂.
- Уметь находить пересечение и объединение двух конечных множеств, представлять результат перечислением элементов и на круговой схеме.
- Уметь применять новые понятия в жизненном контексте: при распределении объектов по общим и различающимся признакам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа классификации предложенных объектов.
- Понимают личную ответственность за точность математических обозначений.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Связывают изучаемые понятия с сортировкой предметов, расписанием и объединением групп в повседневной жизни.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют действия: выделить элементы, сравнить множества, найти общие элементы, объединить все элементы без повторов.
- Проверяют запись по образцу и находят ошибки в обозначениях.
- Оценивают степень понимания с помощью сигнальных карточек и корректируют затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак объектов и объединяют их в группы.
- Сравнивают множества по составу элементов.
- Строят круговые схемы, моделирующие пересечение и объединение множеств.
- Преобразуют словесное описание в символическую запись и обратно.
- Анализируют ошибочные записи и объясняют причину ошибки.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Задают уточняющие вопросы о признаке, по которому образовано множество.
- Аргументируют, почему элемент принадлежит или не принадлежит множеству.
- Согласовывают общий ответ группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями школьных предметов, чисел, круговыми схемами множеств и пошаговым алгоритмом нахождения пересечения и объединения.
- Подготовить интерактивное задание для перетаскивания элементов в области двух кругов; проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Распечатать карточки с элементами множеств: по одной карточке на парту и три карточки повышенного уровня для каждой группы.
- Подготовить наборы цветных карточек с буквами и числами для работы в группах по 4 человека.
- Распечатать лист самооценки и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на ученика.
- Вывесить на доске памятку: «Пересечение — общие элементы; объединение — все элементы без повторов».
- Подготовить два больших бумажных круга для демонстрации диаграмм Эйлера — по одному синему и жёлтому.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Как описать две группы предметов одним математическим языком?»
- Подготовить карточки для самостоятельной работы трёх уровней — по одной на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, магниты, стикеры и таймер на 3 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к новой теме через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение школьного рюкзака с книгами, тетрадями, ручками и калькулятором: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к уроку: тетрадь, ручка, линейка и учебные принадлежности. Сегодня мы попробуем научиться наводить математический порядок в самых разных группах предметов. Посмотрите на экран: перед вами содержимое рюкзака. Как можно разделить эти предметы на группы?" | Проверяют готовность к уроку, рассматривают изображение, предлагают варианты: "По назначению", "по размеру", "по материалу", "по цвету". |
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом один признак классификации. После этого несколько пар назовут свои варианты. Важно объяснить не только, что вы выбрали, но и почему предметы оказались в одной группе." | Индивидуально выбирают признак, обсуждают его в парах, формулируют ответы: "Множество письменных принадлежностей", "множество учебных предметов". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете объединять предметы по общему признаку. Сегодня мы узнаем, как такие группы называют в математике и как точно записывают отношения между ними."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умения классифицировать объекты, перечислять элементы и использовать математические обозначения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с объектами: 2, 4, 6, 8, яблоко, груша, ручка, карандаш. Реплика: "Разделите карточки на группы по признаку, который вы считаете удобным. Запишите названия групп и перечислите их элементы. Время — две минуты. Можно выбрать свой признак, но его нужно назвать." | В парах группируют карточки, например: чётные числа — 2, 4, 6, 8; фрукты — яблоко, груша; письменные принадлежности — ручка, карандаш. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какие элементы вошли в вашу первую группу? Может ли один объект оказаться сразу в двух группах? Что общего у элементов группы? Как проверить, относится ли новый объект к этой группе?" Учитель фиксирует на доске ответы и выделяет слова «группа», «элемент», «признак». | Представляют классификацию, отвечают: "Группа состоит из элементов", "один элемент может иметь несколько признаков", "нужно проверить соответствие признаку". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что объекты можно объединять по признаку и перечислять элементы группы. Но пока у нас нет точного математического языка для такой записи. Это затруднение и станет отправной точкой нашего открытия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две группы: $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{3,4,5,6\}$. Реплика: "Перед вами две группы чисел. Нужно быстро ответить на вопросы: какие числа принадлежат обеим группам? Какие числа встречаются хотя бы в одной группе? Как записать, что число 2 относится к группе A, а число 7 не относится к ней? Попробуйте сделать запись обычными словами." | Находят общие элементы 3 и 4, называют все элементы 1, 2, 3, 4, 5, 6, формулируют: "Двойка принадлежит группе A", "семёрка не принадлежит группе A". |
2 мин | Учитель создаёт проблемную ситуацию: "Словесное описание получается длинным и не всегда удобным. Какие математические обозначения могли бы нам помочь? Что нужно узнать сегодня, чтобы решать такие задачи короче и точнее?" Учитель записывает предложения детей и формулирует учебную цель вместе с классом. | Формулируют цель: "Узнать, что такое множество и подмножество, научиться находить общие элементы и объединять множества, использовать специальные символы". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от обычной группы объектов перейти к математическому понятию множества и научиться описывать отношения между множествами. Теперь откроем новые обозначения через исследование примеров."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: в совместном исследовании вывести определения множества, подмножества, пересечения и объединения множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на интерактивную доску множество $A=\{2,4,6,8\}$ и объясняет: "В математике совокупность объектов, объединённых общим признаком, называют множеством. Объекты множества называют его элементами. Множества обозначают заглавными латинскими буквами, элементы записывают внутри фигурных скобок. Запишите: $A=\{2,4,6,8\}$." Затем показывает интерактивную проверку принадлежности чисел 4 и 5. | Записывают определение и пример в тетрадь, отвечают: "$4\in A$", "$5\notin A$". На интерактивной доске или устно объясняют, почему 4 принадлежит множеству, а 5 нет. |
3 мин | Учитель показывает $C=\{2,4\}$ и $A=\{2,4,6,8\}$: "Все элементы множества C входят в множество A. В этом случае говорят, что C является подмножеством A, и записывают $C\subset A$. Посмотрите на схему: маленький круг полностью находится внутри большого. Что изменится, если хотя бы один элемент C не войдёт в A?" | Рассматривают схему, формулируют: "Тогда C не будет подмножеством A". Записывают определение и пример. |
2 мин | Учитель размещает на доске два круга для множеств $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{3,4,5,6\}$: "В общей части кругов находятся элементы, которые принадлежат и A, и B. Это пересечение множеств: $A\cap B=\{3,4\}$. Пересечение читаем как «A пересекается с B»." | Переносят схему в тетрадь, называют общие элементы и записывают $A\cap B=\{3,4\}$. |
2 мин | Учитель меняет выделение на экране: "Если мы берём все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, получаем объединение. Повторяющиеся элементы записываем только один раз: $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$. Как отличить пересечение от объединения?" | Формулируют правило: "Пересечение — общие элементы, объединение — все элементы без повторов". Записывают пример и отвечают на вопрос. |
Запись в тетрадях
Множество — совокупность объектов, объединённых общим признаком. Элемент множества записывают внутри фигурных скобок. $x\in A$ означает «x принадлежит множеству A», $x\notin A$ — «x не принадлежит множеству A». Если каждый элемент множества C является элементом множества A, то $C\subset A$. Пересечение $A\cap B$ содержит общие элементы, объединение $A\cup B$ — все элементы двух множеств без повторов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили полный набор новых обозначений: принадлежность, подмножество, пересечение и объединение. Сейчас проверим, умеем ли мы применять их не только в записи, но и в конкретных заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы нахождения пересечения и объединения и проговорить математические действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки: $P=\{1,3,5,7\}$, $Q=\{3,4,5,6\}$. Реплика: "Работаем по алгоритму. Сначала выпишите элементы P и Q. Затем найдите элементы, которые встречаются в обоих множествах, и запишите пересечение. После этого соберите все элементы двух множеств без повторов и запишите объединение. Обсудите каждую запись с партнёром." | В парах находят $P\cap Q=\{3,5\}$ и $P\cup Q=\{1,3,4,5,6,7\}$, проговаривают: "3 и 5 входят в оба множества", "в объединении каждый элемент записан один раз". |
2 мин | Учитель предлагает задание на подмножество: "Определите, верно ли утверждение $R\subset P$, если $R=\{1,5\}$. Объясните ответ полным предложением. Затем проверьте утверждение $S\subset P$, если $S=\{1,2\}." | Записывают $R\subset P$, потому что 1 и 5 входят в P; утверждение $S\subset P$ считают неверным, потому что $2\notin P$. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверьте три позиции: правильно ли найдены общие элементы, нет ли повторов в объединении, верно ли определено подмножество. Ошибку обозначьте стикером и объясните партнёру, как её исправить." | Обмениваются карточками, сверяют решения, прикрепляют стикер к найденной ошибке, формулируют исправление. |
Эталон решения
Для $P=\{1,3,5,7\}$ и $Q=\{3,4,5,6\}$ общими являются элементы 3 и 5, поэтому $P\cap Q=\{3,5\}$. Для объединения перечисляем все элементы P и Q один раз: $P\cup Q=\{1,3,4,5,6,7\}$. Множество $R=\{1,5\}$ является подмножеством P, так как $1\in P$ и $5\in P$. Множество $S=\{1,2\}$ не является подмножеством P, так как $2\notin P$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы применили все четыре новых понятия. Обратите внимание: главная ошибка возникает тогда, когда в объединение включают повторяющийся элемент дважды. Теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание нового материала и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: $A=\{2,4,6,8\}$, $B=\{4,6,10\}$ — найти $A\cap B$ и $A\cup B$. Средний вариант дополнительно содержит определение подмножеств. Повышенный вариант: по круговой схеме восстановить состав пересечения и объединения. Реплика: "Выберите уровень, на котором сможете показать самостоятельный результат. Работайте молча, все рассуждения записывайте." | Индивидуально выполняют выбранный вариант: находят пересечение и объединение, определяют подмножество или читают круговую схему. |
3 мин | Учитель показывает эталон на экране: $A\cap B=\{4,6\}$, $A\cup B=\{2,4,6,8,10\}$. Реплика: "Проверьте не только конечный ответ, но и способ. Если нашли ошибку, зачеркните неверную запись одной чертой и рядом напишите правильную. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если исправили одну ошибку, красную — если нужна помощь." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, показывают сигнальные карточки, формулируют затруднение при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, насколько уверенно вы различаете пересечение и объединение. Ошибка — это сигнал для коррекции, а не повод отказываться от решения. Осталось включить новые знания в более широкий контекст и сформулировать итог урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: применить понятия в жизненном контексте, обобщить изученное и осмыслить собственный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В кружке рисования занимаются ученики множества R=\{Аня, Боря, Вика, Дима\}, а в шахматном кружке — множества S=\{Вика, Дима, Егор\}. Кто посещает оба кружка? Кто посещает хотя бы один кружок?" Учитель просит назвать математические операции. | Записывают $R\cap S=\{Вика, Дима\}$ и $R\cup S=\{Аня, Боря, Вика, Дима, Егор\}$, объясняют: "Общее — пересечение, хотя бы один — объединение". |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите цвет, который описывает ваше понимание. Затем в листе самооценки закончите фразы: «Я могу определить…», «Я научился находить…», «Мне ещё нужно потренироваться…»." | Показывают карточки, заполняют лист самооценки конкретными формулировками. |
3 мин | Учитель предлагает короткий устный блиц: "Что называют множеством? Что означает запись $x\in A$? Чем пересечение отличается от объединения? Когда одно множество является подмножеством другого?" После ответов возвращает класс к проблемному вопросу урока. | Отвечают: "Множество — совокупность объектов по признаку", "$x$ принадлежит A", "пересечение содержит общие элементы, объединение — все без повторов", "каждый элемент меньшего множества входит в большее". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы ответили на начальный вопрос и научились описывать группы объектов математически. На следующем уроке продолжим работать с диаграммами и решать задачи, в которых потребуется выполнять несколько операций над множествами."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно записаны пересечение, объединение и отношение подмножества, объяснение содержит математические обозначения и нет ошибок в записи элементов.
- «4» — правильно выполнены основные задания, допущена одна неточность в обозначении или объяснении, но смысл пересечения и объединения понятен и ошибка исправлена при проверке.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно задание на пересечение или объединение, однако допущены ошибки в перечислении элементов, повторы или неверно определено подмножество.
- Ниже отметки «3» — результат требует доработки: ученик не различает пересечение и объединение или не может объяснить принадлежность элемента множеству.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют множеством и его элементом? | Проверка осознания базовых понятий и правильности словесного определения. |
Как найти пересечение двух множеств? | Выявление понимания алгоритма выделения общих элементов. |
Чем объединение отличается от пересечения? | Диагностика смешения операций и понимания слов «и» и «или» в математическом контексте. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать обычные группы предметов и чисел в математические множества. Мы узнали, что пересечение содержит только общие элементы, а объединение включает все элементы двух множеств без повторов. Помните, что при проверке подмножества нужно рассмотреть каждый его элемент, а не только один пример. Если вы заметили ошибку, обязательно объясните её причину и исправьте запись. На следующем уроке мы продолжим работать с диаграммами и более сложными задачами на операции над множествами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: записать два конечных множества перечислением элементов, определить принадлежность четырёх объектов, найти пересечение и объединение двух пар множеств. | Закрепить определения множества, принадлежности, пересечения и объединения; при проверке обратить внимание на фигурные скобки и отсутствие повторов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на подмножества и диаграммы: определить, является ли одно множество подмножеством другого, изобразить две пары множеств кругами и выделить пересечение и объединение. | Развить умение переходить от символической записи к схеме и аргументировать отношение подмножества. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизненного контекста о двух группах, например кружках, видах спорта или предпочтениях одноклассников, записать два множества и найти их пересечение и объединение. | Сформировать умение самостоятельно применять новые понятия, моделировать ситуацию и ясно объяснять решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что содержит пересечение множеств?», «Почему в объединении элемент не записывают дважды?», «Как доказать, что множество является подмножеством другого?»
