Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока учащиеся сформулируют и применят признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 при выполнении заданий рабочего листа, включая проверку чисел, анализ утверждений и подбор цифры в числе 47*.
- Образовательная задача: вывести и записать признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, научиться различать способы проверки.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие, находить закономерность в записи числа, обосновывать ответ и контролировать ход рассуждения.
- Коммуникативная задача: формировать умение обсуждать решение в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументировать выбор ответа.
- Воспитательная задача: воспитывать внимательность к математическим основаниям ответа, ответственность за самостоятельную работу и уважение к мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску быстрых способов проверки делимости чисел.
- Понимают ценность точного и обоснованного математического высказывания.
- Осознают необходимость самопроверки при заполнении таблиц и выборе ответа.
- Проявляют готовность сотрудничать с одноклассником и корректно обсуждать разные решения.
Метапредметные
- Выделяют существенный признак числа: последнюю цифру или сумму цифр.
- Планируют последовательность проверки числа и восстанавливают нарушенный алгоритм.
- Сравнивают способы проверки, классифицируют числа по нескольким признакам.
- Используют математическую речь для объяснения истинности или ложности утверждения.
Предметные
- Знают признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Умеют проверять делимость числа на 2, 5 и 10 по последней цифре.
- Умеют проверять делимость числа на 3 и 9 по сумме его цифр.
- Умеют одновременно применять несколько признаков, в том числе при подборе цифр в числе 47*.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться быстро проверять делимость без выполнения деления.
- Связывают изучаемые признаки с практической задачей быстрой проверки чисел.
- Оценивают собственную уверенность после выполнения заданий рабочего листа.
- Принимают необходимость исправлять ошибку на основании математического правила.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока по проблемному вопросу.
- Планируют проверку числа: определяют нужный признак, выполняют действие, формулируют вывод.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по критериям и выбирают задание для дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Наблюдают за последними цифрами чисел и суммами цифр, выявляют закономерность.
- Классифицируют числа по признакам делимости.
- Строят краткую модель алгоритма проверки делимости на 9.
- Используют анализ и обобщение при решении задания с числом 47*.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют полный ответ с объяснением, а не только называют результат.
- Задают вопросы о выборе признака и уточняют рассуждение партнёра.
- Согласовывают общий ответ при проверке заданий рабочего листа.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки с числами 120, 243, 306, 415, 729, 840, 953 — по одному набору на парту.
- Подготовить цветные карточки или маркеры пяти цветов для обозначения признаков.
- Вывести на доску таблицу с колонками «Признак», «Что проверяем», «Пример».
- Подготовить слайд с числами для устной разминки и отдельный слайд с эталоном решения задания №10.
- Распечатать мини-карточки для самопроверки: «последняя цифра» и «сумма цифр» — по одной на пару.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких заданий рабочего листа.
- Оставить на доске место для итоговой памятки: на 2, 5, 10 — последняя цифра; на 3, 9 — сумма цифр.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать потребность в быстром способе проверки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и рабочий лист должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится внимательность и умение замечать закономерности." | Готовят рабочее место, получают рабочий лист, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 240 и 243 и говорит: "Представьте, что вам нужно быстро определить, делится ли число на 2, 3, 5, 9 или 10. Можно каждый раз выполнять деление столбиком, но существует ли более короткий путь? Запишите свою гипотезу и обсудите её с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Сначала формулируют гипотезу индивидуально, затем обсуждают её в паре и предлагают варианты: "Нужно посмотреть на последнюю цифру"; "Для некоторых чисел нужно сложить цифры". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что последняя цифра и сумма цифр могут сообщить о делимости числа. Сегодня мы проверим эти гипотезы и составим точную памятку для выполнения всего рабочего листа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о чётных числах, цифрах числа и сумме цифр.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает числа 18, 25, 40, 63 и спрашивает: "Какие числа называются чётными? По какому признаку это можно определить? Чем цифра отличается от числа?" | Отвечают: "Чётное число делится на 2 без остатка"; "Последняя цифра чётного числа — 0, 2, 4, 6 или 8"; приводят примеры цифр и чисел. |
3 мин | Учитель предлагает устно найти суммы цифр чисел 432, 715, 840 и 603: "Работаем быстро, но проговариваем действие. Не называйте пока признак, только найдите сумму цифр." | Вычисляют: $4+3+2=9$, $7+1+5=13$, $8+4+0=12$, $6+0+3=9$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили чётность, последнюю цифру и сумму цифр. Теперь выясним, для каких делителей достаточно одного взгляда на последнюю цифру, а для каких нужно складывать цифры."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и план открытия признаков делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить числа 243 и 252: "Оба числа не заканчиваются нулём или пятёркой. Как проверить их делимость на 3 и 9 без деления? А число 715 делится на 2 или нет? Почему?" | Обсуждают затруднение и отвечают: "По последней цифре можно проверить 2, а для 3 и 9 пока нужен другой способ". |
2 мин | Учитель записывает на доске цель: «Открыть признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и применить их к заданиям рабочего листа». Просит назвать план: "Что нужно узнать сначала, что затем сделать на практике?" | Формулируют план: определить признаки, заполнить пропуски, научиться проверять числа, разобрать утверждения и подобрать цифры в числе 47*. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён: сначала наблюдаем и формулируем правила, затем проверяем их на конкретных числах и в конце решаем задачу с несколькими условиями."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать пять признаков делимости через наблюдение и сравнение примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с числами 12, 24, 35, 40, 56, 70, 83 и говорит: "Разложите карточки на группы по делимости на 2, 5 и 10. Сначала работайте по последней цифре, затем сформулируйте общий вывод." | Распределяют карточки, замечают: на 2 делятся числа с последней цифрой 0, 2, 4, 6, 8; на 5 — с последней цифрой 0 или 5; на 10 — с последней цифрой 0. |
4 мин | Учитель записывает на доске: «Признак делимости на 3» и «Признак делимости на 9». Предлагает проверить числа 243, 306, 415, 729: "Найдите сумму цифр каждого числа и сравните её с делителями 3 и 9. Что повторяется?" | Вычисляют суммы: $2+4+3=9$, $3+0+6=9$, $4+1+5=10$, $7+2+9=18$. Формулируют: "Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9". |
3 мин | Учитель показывает памятку и проговаривает: "Запишите пять правил. Обратите внимание: для 2, 5 и 10 проверяем последнюю цифру, для 3 и 9 — сумму цифр. Именно это различие понадобится в заданиях №2, №3 и №4." | Записывают признаки в тетрадь, задают уточняющие вопросы, соотносят каждый признак со способом проверки. |
Запись в тетрадях
Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Признак делимости на 5: последняя цифра — 0 или 5. Признак делимости на 10: последняя цифра — 0. Признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3. Признак делимости на 9: сумма цифр делится на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Пять признаков открыты и записаны. Теперь проверим, насколько уверенно мы умеем пользоваться памяткой, сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (7 мин)
Цель этапа: применить признаки в заданиях №1–5 и научиться обосновывать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к заданию №1: "Выберите единственное верное утверждение о делимости на 2. Не угадывайте: подчеркните в варианте слова, на которые опирается признак." | Выбирают утверждение «Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8», объясняют выбор. |
2 мин | Учитель предлагает заполнить пропуски в задании №2 и проверяет фронтально: "Какие цифры нужны для признака 5? Какой делитель появляется в признаке 3?" | Записывают: 0, 5, 0, 3, 9; сверяют ответы с партнёром. |
3 мин | Учитель разбирает пример из задания №5: "Число 432 делится на 9, потому что сумма его цифр равна 9. Проверьте не только ответ, но и объяснение. Затем самостоятельно оцените утверждения про 715, 840 и 234." | Записывают рассуждение: $4+3+2=9$, 9 делится на 9, значит, 432 делится на 9. Определяют: утверждение про 715 ложно, про 840 истинно, про 234 ложно, так как сумма цифр не заменяет признак делимости на 5. |
Эталон решения
Для числа 432: $4+3+2=9$. Число 9 делится на 9, поэтому 432 делится на 9. Для числа 840 последняя цифра равна 0, поэтому число делится на 10. Для числа 234 последняя цифра равна 4, поэтому по признаку делимости на 5 число не делится на 5, независимо от суммы цифр.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что важно выбирать именно подходящий признак. Сумма цифр помогает для 3 и 9, а последняя цифра — для 2, 5 и 10. Теперь каждый проверит себя в таблице без подсказки учителя."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: самостоятельно применить признаки к разным числам и выявить личные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель говорит: "Выполните задания №4 и №6 рабочего листа. В таблице для каждого числа поставьте «да» или «нет» по пяти делителям, а в задании №6 вычислите суммы цифр чисел 584, 729, 406, 953. Работайте индивидуально, при затруднении пользуйтесь памяткой." | Заполняют таблицу по числам рабочего листа, вычисляют: $5+8+4=17$, $7+2+9=18$, $4+0+6=10$, $9+5+3=17$. |
2 мин | Учитель показывает на доске порядок самопроверки: «последняя цифра → сумма цифр → вывод». Просит обменяться листами с соседом и проверить два выбранных столбца по памятке. | Выполняют взаимопроверку, отмечают карандашом одну сильную сторону и одну возможную ошибку. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно применяете все пять признаков, жёлтую — если путаете два способа проверки, красную — если нужна моя помощь." | Показывают карточку, называют конкретное затруднение: «Путаю признак 3 и 9» или «Забываю, что 0 подходит и к 5, и к 10». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какой способ уже стал привычным, а какой требует внимания. Осталось применить признаки одновременно и решить задачу, где нужно не проверить готовое число, а подобрать его."
Этап 7. Включение знаний в систему. Задания №7–10 (5 мин)
Цель этапа: применить несколько признаков одновременно, восстановить алгоритм и решить задачу на подбор цифры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание №8: "Найдите лишнее число среди 243, 516, 729, 845. Докажите выбор через сумму цифр, а не только назовите число." | Вычисляют суммы: 9, 12, 18, 17; называют лишним 845, потому что его сумма цифр не делится на 9. |
3 мин | Учитель разбирает задание №10: "Подберите все цифры вместо звёздочки в числе 47*, чтобы число делилось одновременно на 2 и на 3, но не делилось на 5. Сначала выпишите условие для последней цифры, затем условие для суммы цифр." | Рассуждают: для делимости на 2 цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8; для делимости на 3 сумма $4+7+*$ должна делиться на 3, то есть $11+*$ делится на 3. Подходят цифры 1, 4, 7; из них 4 не подходит условию делимости на 2? Проверяют: 471 нечётное, 474 делится на 2 и сумма 15 делится на 3, но оканчивается не на 5; 477 нечётное. Итог: цифра 4. |
Эталон решения
Число $47*$ должно делиться на 2, значит последняя цифра — одна из $0,2,4,6,8$. Сумма цифр равна $4+7+*=11+*$. Она должна делиться на 3. Из чётных цифр проверяем: $11+0=11$, $11+2=13$, $11+4=15$, $11+6=17$, $11+8=19$. Только 15 делится на 3, поэтому $*=4$. Число 474 не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не просто запомнили пять правил, а научились выбирать признак под условие задачи и соединять несколько признаков. Последним шагом проверим, что каждый забирает с урока и что нужно повторить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, зафиксировать затруднение и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Запишите одно правило, которое теперь можете объяснить, и одно число, делимость которого вы проверите дома. Рядом укажите, что будете проверять: последнюю цифру или сумму цифр." | Заполняют билет на выход, например: «На 9 проверяем сумму цифр; проверю 567». |
1 мин | Учитель говорит: "Оцените свою работу: поставьте в рабочем листе плюс рядом с самым уверенным заданием и вопросительный знак рядом с заданием, которое нужно повторить. Домашнее задание выберите по уровню." | Отмечают результаты, записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 9 заданий рабочего листа из 10, признаки сформулированы без ошибок, в заданиях №5, №8 и №10 приведено обоснование.
- «4» — верно выполнены 7–8 заданий, допущена не более одной ошибки в формулировке признака или вычислении суммы цифр, ход рассуждения в задаче №10 в основном верный.
- «3» — верно выполнены 5–6 заданий, основные признаки узнаются, но есть ошибки при выборе способа проверки или при одновременном применении нескольких условий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о проверке делимости чисел? | Выявление осознания пяти признаков и различия способов проверки. |
В каком задании вы использовали последнюю цифру, а в каком — сумму цифр? | Проверка понимания связи между видом делителя и способом проверки. |
Какое задание оказалось самым сложным: таблица, истинность утверждений или подбор цифры? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Какую ошибку важно не допустить при проверке числа на 5 или 10? | Проверка понимания различия между признаками делимости на 5 и 10. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и применили их к числам из рабочего листа. Запомните главное: для 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру, а для 3 и 9 складываем цифры. Типичная ошибка — использовать сумму цифр для проверки делимости на 5 или забывать, что число, оканчивающееся нулём, делится и на 5, и на 10. На следующем уроке мы продолжим применять признаки делимости в разложении чисел и в задачах на общие делители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 заданий на проверку делимости трёхзначных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10; оформить ответы в виде таблицы «число — делители» и привести вычисление суммы цифр там, где это необходимо. | Закрепляет пять признаков и умение выбирать способ проверки; при проверке обратить внимание на точность суммы цифр и различие признаков 5 и 10. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на истинность утверждений о делимости и 2 задания на подбор цифры в числе вида 36* или 52*, используя одновременно условия делимости на 2 или 5 и на 3 или 9. | Развивает анализ условия и применение нескольких признаков; при проверке смотреть на полное обоснование, а не только на найденную цифру. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 4 собственных числа, каждое из которых обладает разным набором признаков делимости из множителей 2, 3, 5, 9 и 10, и объяснить выбор. Дополнительно придумать одно ложное утверждение и исправить его. | Формирует умение создавать примеры, классифицировать числа и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «По какой цифре проверяют делимость на 2?», «Как проверить делимость на 3?», «Какие последние цифры возможны у числа, делящегося на 5?», «Почему число, оканчивающееся на 0, делится на 10?», «Какая цифра подходит вместо звёздочки в числе 47* при делимости на 2 и 3, но не на 5?»
