Умножение. Переместительное свойство умножения
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять переместительное свойство умножения для упрощения вычислений и решения практических задач, правильно объясняя, почему произведение не изменяется при перестановке множителей.
- Познакомить учащихся с переместительным свойством умножения и его буквенной записью.
- Научить использовать свойство при вычислении произведений и составлении равенств.
- Развивать умение наблюдать, сравнивать, формулировать математическое правило и проверять результат.
- Воспитывать внимательность, готовность сотрудничать и уверенность в самостоятельном поиске решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в математических выражениях.
- Осознают значение точности и взаимопроверки при выполнении вычислений.
- Развивают положительное отношение к совместной работе и уважение к мнению одноклассников.
- Формируют учебную мотивацию через связь умножения с практическими ситуациями.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Сравнивают выражения, выделяют существенный признак и делают вывод.
- Планируют последовательность действий при вычислении произведений.
- Работают в паре, аргументируют ответ и осуществляют взаимопроверку.
- Используют математическую запись для представления найденной закономерности.
Предметные
- Знать формулировку переместительного свойства умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется.
- Уметь записывать свойство с помощью букв: $a \cdot b=b \cdot a$.
- Уметь применять свойство при вычислении произведений и составлении равенств.
- Уметь объяснять переместительное свойство с помощью сложения одинаковых слагаемых и предметной модели.
- Уметь решать простые текстовые задачи, выбирая удобный порядок умножения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемого свойства и его пользу для рациональных вычислений.
- Проявляют самостоятельность при выборе удобного способа решения.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и группы.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении вычислительных затруднений.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют действия при исследовании выражений.
- Сверяют результат с образцом и находят вычислительные ошибки.
- Оценивают степень освоения правила с помощью листа самооценки.
- Корректируют решение после взаимопроверки.
Познавательные УУД
- Представляют умножение как сложение одинаковых слагаемых.
- Сравнивают пары произведений и выявляют закономерность.
- Моделируют выражения с помощью точек, фишек и прямоугольной таблицы.
- Преобразуют наблюдение в словесное и буквенное правило.
- Применяют новое знание в вычислениях и жизненной задаче.
Коммуникативные УУД
- Слушают объяснение партнёра и задают уточняющие вопросы.
- Распределяют действия при работе в малой группе.
- Формулируют вывод полным предложением.
- Аргументируют, почему два произведения равны.
- Корректно сообщают об ошибке и принимают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране тему урока, выражения $3 \cdot 4$ и $4 \cdot 3$, а также пустую схему вывода правила.
- Распечатать карточки для исследования: по одной карточке на каждую пару учащихся, всего по числу парт.
- Подготовить для каждой группы по 20 фишек или счётных палочек и лист для вывода правила.
- Распечатать индивидуальные карточки самостоятельной работы трёх уровней: минимальный, базовый и повышенный — по одной на ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю правило», «Я умею применять правило», «Я могу объяснить свой ответ».
- Вывести на экран иллюстрацию с рядами предметов: 3 ряда по 4 предмета и 4 ряда по 3 предмета.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры двух цветов и таймер на 2–3 минуты.
- Подготовить эталон для самопроверки: $2 \cdot 7=7 \cdot 2$, $5 \cdot 9=9 \cdot 5$, $6 \cdot 4=4 \cdot 6$.
- Организовать рабочие места для работы в парах и малых группах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать внимание класса и вызвать интерес к исследованию свойства умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, учебник и карточка для исследования. Сегодня мы будем не просто считать, а попробуем самостоятельно открыть математическое правило. Покажите готовность стикером: зелёный — готов, жёлтый — нужно ещё подготовиться." | Проверяют принадлежности, прикрепляют или поднимают стикер выбранного цвета, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает изображение двух прямоугольных массивов: 3 ряда по 4 точки и 4 ряда по 3 точки: "Представьте, что это места в зрительном зале. В первом варианте 3 ряда по 4 места, во втором — 4 ряда по 3 места. Изменится ли количество мест? Как это записать с помощью умножения?" | Рассматривают модели, считают точки, отвечают: "Количество мест не изменится; $3 \cdot 4=4 \cdot 3$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же набор можно расположить по-разному. Сейчас проверим, всегда ли перестановка множителей сохраняет произведение, и попробуем сформулировать правило."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения и подготовить учащихся к самостоятельному выявлению закономерности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Вспомним, что означает умножение. Как представить произведение $4 \cdot 3$ через сложение? А $3 \cdot 4$? Запишите оба выражения и сравните их." | Записывают: $4 \cdot 3=3+3+3+3$, $3 \cdot 4=4+4+4$; вычисляют оба значения: 12. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, чем похожи и чем отличаются выражения $2 \cdot 5$ и $5 \cdot 2$. После этого одна-две пары представят вывод классу." | Самостоятельно сравнивают выражения, обсуждают в парах, формулируют: "Множители стоят в другом порядке, но произведения равны десяти". |
2 мин | Учитель записывает на доске пары $6 \cdot 2$ и $2 \cdot 6$, $7 \cdot 3$ и $3 \cdot 7$: "Вычислите значения. Что повторяется во всех примерах? Обратите внимание не только на ответы, но и на порядок чисел." | Вычисляют произведения, выделяют одинаковые результаты, называют закономерность: "При перестановке чисел произведение не меняется". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что умножение можно заменить сложением одинаковых слагаемых, и заметили устойчивую закономерность. Но пока это только предположение. Давайте проверим его на модели и разных примерах."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и сформулировать цель исследовательской работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает запись $8 \cdot 3=3 \cdot 8$ и спрашивает: "Можно ли утверждать, что это равенство верно не только для этих чисел, но и для любых множителей? Как доказать это не одним вычислением? Какие модели нам помогут?" | Высказывают предположения: "Можно проверить на рисунке, разложить фишки рядами, заменить умножение сложением". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и направляет формулировку цели: "Сегодня мы исследуем перестановку множителей, докажем или опровергнем наше предположение и запишем правило так, чтобы им можно было пользоваться при вычислениях. Сформулируйте цель одним предложением." | Формулируют цель: "Узнать, изменяется ли произведение при перестановке множителей, и научиться применять это свойство". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: исследовать, доказать и применить закономерность. Начнём с предметной модели, чтобы увидеть смысл равенства, а не только запомнить его."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к открытию и формулировке переместительного свойства умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель объединяет учащихся в группы по 4 человека и раздаёт фишки: "Составьте из 12 фишек прямоугольник: сначала 3 ряда по 4, затем поверните или перестройте его в 4 ряда по 3. Запишите оба способа подсчёта. Обсудите, почему число фишек осталось тем же." | В группах выкладывают 3 ряда по 4 и 4 ряда по 3, записывают $3 \cdot 4=12$ и $4 \cdot 3=12$, формулируют: "Поворот прямоугольника не меняет количество фишек". |
3 мин | Учитель предлагает карточки с парами выражений: $2 \cdot 9$ и $9 \cdot 2$; $5 \cdot 6$ и $6 \cdot 5$; $7 \cdot 4$ и $4 \cdot 7$. "Вычислите произведения, соедините равные результаты и найдите общий способ записи." | В парах вычисляют значения, соединяют равные произведения, записывают равенства и отмечают стрелками перестановку множителей. |
3 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте правило одним предложением. Затем сравните варианты в паре, после этого объединитесь с другой парой и выберите наиболее точную формулировку. В ней обязательно должны быть слова «множители» и «произведение»." | Формулируют, уточняют и представляют классу правило: "От перестановки множителей произведение не изменяется". Записывают буквенную модель $a \cdot b=b \cdot a$. |
Запись в тетрадях
Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется. Буквенная запись: $a \cdot b=b \cdot a$. Пример: $7 \cdot 3=3 \cdot 7=21$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали правило с помощью модели, вычислений и буквенной записи. Теперь проверим, умеем ли мы применять его не только в очевидных парах, но и выбирать более удобный порядок вычисления."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить формулировку свойства и научить применять её при вычислении произведений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит игру «Математическое эхо»: "Я называю произведение, а вы называете равное ему произведение с переставленными множителями и вычисляете результат: $3 \cdot 8$, $9 \cdot 4$, $6 \cdot 7$. Отвечаем полным равенством, например: $3 \cdot 8=8 \cdot 3=24$." | По очереди отвечают: "$3 \cdot 8=8 \cdot 3=24$", "$9 \cdot 4=4 \cdot 9=36$", "$6 \cdot 7=7 \cdot 6=42$". |
2 мин | Учитель раздаёт карточку с пропусками: "$5 \cdot 8=8 \cdot \square$; $\square \cdot 6=6 \cdot 9$; $4 \cdot \square=7 \cdot 4$. Объясните, какое число нужно вписать и почему." | Заполняют пропуски: 5, 9, 7; проговаривают: "Множители переставлены местами, поэтому произведение сохраняется". |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверьте наличие всех равенств и правильность чисел. За верное решение поставьте две звезды, если есть одна неточность — одну звезду и короткое пожелание." | Проверяют работу партнёра, отмечают правильные шаги, формулируют совет: "Проверь порядок множителей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило помогает быстро составлять равные произведения и находить пропущенный множитель. Теперь каждый покажет, как умеет использовать свойство самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение свойства и умение применять его в вычислениях и практической задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выполните обязательную часть. Если она сделана уверенно, можно выбрать повышенный уровень. Работайте самостоятельно, записывайте не только ответ, но и равенство с переставленными множителями." На карточке базового уровня: 1) $4 \cdot 9$; 2) $8 \cdot 5$; 3) вставить знак: $6 \cdot 7 \square 7 \cdot 6$; 4) дополнить: $3 \cdot \square=10 \cdot 3$. | Индивидуально решают задания: записывают $4 \cdot 9=9 \cdot 4=36$, $8 \cdot 5=5 \cdot 8=40$, ставят знак равенства, вписывают 10. |
3 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "На столе лежат 4 ряда по 6 карандашей. Сколько карандашей всего? Запишите решение двумя способами: сначала как $4 \cdot 6$, затем с переставленными множителями. Какой способ удобнее лично вам?" | Записывают два способа: $4 \cdot 6=24$, $6 \cdot 4=24$; формулируют ответ: "Всего 24 карандаша". |
2 мин | Учитель открывает эталон: "$4 \cdot 9=36$, $8 \cdot 5=40$, $6 \cdot 7=7 \cdot 6$, пропущенное число 10, в задаче 24 карандаша. Проверьте решения цветной ручкой и отметьте ошибку, если она есть." | Сверяют ответы с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают верные задания и отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
1. $4 \cdot 9=9 \cdot 4=36$. 2. $8 \cdot 5=5 \cdot 8=40$. 3. Так как множители переставлены, ставим знак $=$: $6 \cdot 7=7 \cdot 6$. 4. В равенстве $3 \cdot \square=10 \cdot 3$ используется перестановка множителей, поэтому в пропуске число $10$. 5. Четыре ряда по шесть карандашей: $4 \cdot 6=24$. Переставляем множители: $6 \cdot 4=24$. Ответ: 24 карандаша.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство из вас умеет применять переместительное свойство и объяснять его. Ошибка обычно возникает, если забыть, что переставляются именно множители, а не результат. Завершим урок общей рефлексией и проверим, достигли ли мы цели."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить собственную работу и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "На маленьком листке допишите три фразы: «Переместительное свойство означает…», «Сегодня я научился…», «Мне нужно ещё потренироваться в…». Запишите честно и сдайте листок при выходе." | Письменно завершают три фразы, указывают собственную трудность или подтверждают уверенное понимание. |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что называют множителями? Что происходит с произведением при перестановке множителей? Запишите буквенную формулу свойства." | Отвечают: "Множители — числа, которые перемножают"; "Произведение не изменяется"; записывают $a \cdot b=b \cdot a$. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень или более сложный вариант. При выполнении обязательно записывайте равенства с переставленными множителями и объясняйте, где использовали свойство." | Фиксируют выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, сдают «билет на выход». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания самостоятельной работы, правильно применено переместительное свойство в практической задаче, вычисления и математические записи оформлены без ошибок.
- «4» — выполнено правильно не менее трёх заданий из четырёх, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, смысл свойства объяснён верно.
- «3» — выполнены правильно два задания из четырёх, правило воспроизведено с помощью подсказки, в применении свойства или вычислениях есть ошибки.
- Работа считается освоенной, если ученик может самостоятельно записать формулу $a \cdot b=b \cdot a$ и привести один верный числовой пример.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает переместительное свойство умножения? | Проверка осознания смысла нового правила, а не только запоминания формулы. |
Как можно доказать, что $3 \cdot 4=4 \cdot 3$? | Выявление умения использовать предметную модель, сложение одинаковых слагаемых или вычисление. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в применении свойства и выборе способа действия. |
Где в жизни может пригодиться перестановка множителей? | Осознание практической ценности нового знания и развитие функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами открыли переместительное свойство умножения и доказали его с помощью моделей, вычислений и буквенной записи. Важно помнить: при перестановке множителей произведение не изменяется, но нельзя путать множители с результатом действия. Используйте свойство, чтобы выбирать удобный порядок вычислений и проверять свои записи. На следующем уроке мы продолжим применять свойства умножения при преобразовании выражений и решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 примеров на умножение однозначных и двузначных чисел; для каждого записать равное произведение с переставленными множителями и вычислить значение. | Закрепляет формулировку и буквенную модель свойства; при проверке обратить внимание на перестановку множителей и точность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания с пропусками и знаками сравнения: восстановить множитель, определить, верно ли равенство, и кратко объяснить ответ с помощью переместительного свойства. | Развивает применение правила в изменённой ситуации и умение аргументировать математический вывод. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о рядах предметов или местах в зале, в которой один и тот же результат можно получить двумя способами умножения; записать оба решения и объяснить их равенство. | Формирует умение создавать математическую модель, применять свойство в жизненном контексте и ясно оформлять рассуждение. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется свойство, изученное сегодня?», «Что происходит с произведением при перестановке множителей?», «Как записывается свойство буквами?», «Приведите собственный пример равенства».
