Линейная зависимость и её график: открытие способа построения линии
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать простейшую линейную зависимость между двумя величинами, составлять таблицу её значений и строить по двум-трём точкам график на координатной плоскости.
- Установить связь между формулой, таблицей значений и графическим изображением зависимости величин.
- Сформировать умение находить значение одной величины по заданному значению другой и представлять результаты в виде точек на координатной плоскости.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её по таблице и аргументировать способ построения графика в парной работе.
- Воспитывать аккуратность при построении координатных точек, интерес к применению математики в жизненных ситуациях и ответственность за общий результат пары.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию реальных ситуаций с помощью математической модели.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата при построении графика.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную работу и уважительно относятся к способу решения одноклассника.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ в незнакомой ситуации.
Метапредметные
- Познавательные: устанавливают связь между формулой, таблицей и графиком, сравнивают способы построения и делают вывод.
- Коммуникативные: распределяют роли в паре, задают уточняющие вопросы, объясняют последовательность построения и аргументируют ответ.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют действия, сверяют результат с образцом и исправляют ошибки.
- Работают с информацией в таблице и переводят её из одного вида представления в другой.
- Используют координатную плоскость как математическую модель зависимости двух величин.
Предметные
- Знать, что зависимость одной величины от другой можно представить формулой, таблицей и графиком.
- Уметь составлять таблицу значений для зависимости вида $y=2x+1$ при заданных значениях $x$.
- Уметь отмечать точки с заданными координатами на координатной плоскости и соединять их отрезком или плавной линией по условию задачи.
- Уметь находить значение $y$ по известному значению $x$ и читать простейшую информацию с построенного графика.
- Владеть алгоритмом построения графика простейшей линейной зависимости по таблице значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения графиков через пример изменения стоимости покупки.
- Проявляют готовность доводить построение до результата даже при обнаружении ошибки.
- Осознают значение взаимопомощи и корректного обсуждения решения в паре.
- Формируют положительное отношение к математике как к языку описания окружающего мира.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют последовательность: выбрать значения $x$, вычислить $y$, составить точки, построить график.
- Осуществляют самопроверку по координатам и контрольным точкам.
- Находят причину ошибки в таблице или при нанесении точки и корректируют результат.
- Оценивают степень освоения алгоритма по листу самооценки и билету на выход.
Познавательные УУД
- Извлекают значения из условия и представляют их в таблице.
- Сравнивают изменение величин и выявляют правило зависимости.
- Строят математическую модель жизненной ситуации.
- Проверяют гипотезу на нескольких примерах.
- Преобразуют формулу в таблицу, а таблицу — в графическое изображение.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и координатор построения, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы о порядке построения и корректно уточняют ответ партнёра.
- Объясняют, почему точка имеет именно такие координаты.
- Сравнивают результаты двух пар и находят расхождения.
- Договариваются о едином варианте ответа и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение координатной плоскости с осями $x$ и $y$, единичным отрезком и несколькими незаполненными точками.
- Распечатать карточки с жизненной ситуацией: стоимость поездки складывается из фиксированной платы 20 рублей и 10 рублей за каждый километр; по одной карточке на пару.
- Распечатать координатные сетки формата А4 по одной на каждого ученика и две карточки повышенного уровня на группу.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «составляю таблицу», «нахожу координаты», «строю график», «объясняю способ».
- Вывесить на доске памятку: 1) выбрать $x$; 2) вычислить $y$; 3) записать точки; 4) отметить точки; 5) соединить точки.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные фишки для обозначения точек и стикеры трёх цветов для рефлексии.
- Проверить наличие у каждого ученика линейки, карандаша, ластика и тетради в клетку.
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску; при отсутствии оборудования заранее начертить координатную плоскость на доске.
- Подготовить эталон таблицы и графика зависимости $y=2x+1$ для самопроверки на этапе самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл описания зависимости величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, линейка, карандаш и ластик. Сегодня нам понадобится не только считать, но и внимательно видеть связь между числами и точками на плоскости." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Такси берёт 20 рублей за посадку и 10 рублей за каждый километр. Сколько заплатит пассажир за 0, 1, 2 и 3 километра? Как можно представить эти данные, чтобы быстро увидеть изменение стоимости?" Учитель называет приём «Крючок» и фиксирует ответы в двух столбцах. | В парах за 30 секунд вычисляют стоимость, предлагают ответы: «20, 30, 40, 50 рублей», «можно составить таблицу», «можно отметить точки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна величина меняется вместе с другой. Сейчас выясним, как записать эту связь формулой и изобразить её не только таблицей, но и линией на координатной плоскости."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, формуле и таблице значений, необходимые для открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним язык координатной плоскости. Как называются горизонтальная и вертикальная оси? В каком порядке записываются координаты точки?" На доске появляются точки $A(2;3)$ и $B(3;2)$. | Отвечают: «горизонтальная ось — ось абсцисс, вертикальная — ось ординат», «сначала записывают координату по $x$, затем по $y$». Показывают точки на своих сетках. |
4 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "В паре проверьте, какие значения принимает $y$ по формуле $y=2x+1$, если $x=0,1,2,3$. Один ученик вычисляет, второй проверяет; через две минуты поменяйтесь ролями. Затем одна пара назовёт таблицу, а другая проверит её." | Вычисляют значения: при $x=0$ получаем $y=1$, при $x=1$ — $3$, при $x=2$ — $5$, при $x=3$ — $7$. Заполняют таблицу и сверяют вычисления с партнёром. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «При каждом значении $x$ по формуле можно найти соответствующее значение $y$. Пару чисел $(x;y)$ называют координатами точки». Записывают таблицу: $x: 0,1,2,3$; $y: 1,3,5,7$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем вычислять пары связанных значений и записывать их в таблицу. Но пока не знаем, как таблица превратится в линию и сколько точек нужно построить. Зафиксируем это затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить недостаток прежнего способа и совместно сформулировать цель открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу стоимости поездки и спрашивает: "Если пассажир проехал 2,5 километра, какое значение нужно найти? А если километров может быть очень много, удобно ли каждый раз составлять длинную таблицу? Как можно увидеть все возможные пары значений сразу?" | Обсуждают в парах и формулируют затруднение: «таблица не показывает промежуточные значения», «нужен рисунок, на котором видны все пары». |
2 мин | Учитель принимает формулировки: "Сегодня мы откроем способ изображения зависимости на координатной плоскости. Сформулируйте цель одним предложением: что должны научиться делать к концу урока?" Учитель записывает общую цель на доске. | Формулируют цель: «научиться по формуле составлять таблицу и строить график зависимости», «научиться читать значение по графику». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: таблица содержит отдельные значения, а нам нужно увидеть общую картину изменения. Теперь исследуем, как каждая строка таблицы становится точкой на координатной плоскости."
Этап 4. Открытие нового знания и построение алгоритма (10 мин)
Цель этапа: открыть связь между формулой, таблицей и графиком и сформулировать алгоритм построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует координатную сетку и говорит: "Возьмём формулу $y=2x+1$. Для $x=0$ мы получили $y=1$, значит, на плоскости отмечаем точку $(0;1)$. Для $x=1$ получаем точку $(1;3)$. Посмотрите: первая координата задаёт движение по оси $x$, вторая — подъём по оси $y$." Учитель наносит две точки крупными магнитами. | Следят за построением, называют координаты точек $(0;1)$ и $(1;3)$, отмечают их на индивидуальных сетках. |
3 мин | Учитель продолжает: "Добавим точки $(2;5)$ и $(3;7)$. Все они подчиняются одной формуле. Соединим их по порядку. Что замечаете? Почему получилась прямая линия?" Учитель проводит линию и предлагает сравнить с изображением зависимости стоимости поездки. | Отмечают точки $(2;5)$ и $(3;7)$, соединяют их линейкой, формулируют наблюдение: «точки лежат на одной прямой», «чем больше расстояние, тем больше стоимость». |
3 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите шаги построения. Затем сравните их в паре, а после этого две пары объединятся и составят один общий алгоритм из пяти пунктов." Учитель принимает формулировки и фиксирует эталон на доске. | Индивидуально записывают шаги, в парах объединяют варианты, затем группа из четырёх человек предлагает алгоритм: выбрать значения $x$, вычислить $y$, записать точки, нанести их, соединить. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «График зависимости — изображение всех соответствующих пар значений на координатной плоскости. Алгоритм: 1) выбрать значения $x$; 2) вычислить значения $y$; 3) составить таблицу; 4) отметить точки $(x;y)$; 5) соединить точки по условию задачи».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли, что формула задаёт таблицу, а каждая строка таблицы задаёт точку. Несколько точек помогают увидеть линию зависимости. Проверим новый алгоритм на задаче, связанной с реальной ситуацией."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм построения графика в совместной деятельности с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Стоимость поездки складывается из 20 рублей за посадку и 10 рублей за каждый километр. Запишите формулу зависимости стоимости $y$ от расстояния $x$, составьте таблицу для $x=0,1,2,3$ и определите координаты точек." Учитель напоминает: "Сначала договоритесь, кто вычисляет, а кто проверяет." | Распределяют роли, записывают формулу $y=10x+20$, составляют таблицу: $20,30,40,50$. |
3 мин | Учитель говорит: "Теперь нанесите четыре точки на координатную сетку. Проверяйте не только положение точки, но и порядок координат. Если первая точка имеет координаты $(0;20)$, она находится на оси $y$." Учитель проходит между рядами и задаёт уточняющие вопросы. | Строят точки $(0;20)$, $(1;30)$, $(2;40)$, $(3;50)$, сверяют координаты по очереди, исправляют неточности. |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить решение: "Объясните классу не только ответ, но и почему выбран именно такой порядок действий. Остальные пары показывают зелёный стикер, если согласны, и жёлтый, если нашли расхождение." | Одна пара объясняет алгоритм, остальные сравнивают построения, аргументируют согласие или указывают на ошибку в вычислении или нанесении точки. |
Эталон решения
Формула зависимости: $y=10x+20$. При $x=0$ получаем $y=20$; при $x=1$ — $y=30$; при $x=2$ — $y=40$; при $x=3$ — $y=50$. Точки: $(0;20)$, $(1;30)$, $(2;40)$, $(3;50)$. После нанесения точек проводится прямая линия, проходящая через них.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили алгоритм к задаче о поездке и убедились, что график позволяет увидеть рост стоимости. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он выполнить весь алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение способа построения и чтения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Для базового уровня: "Постройте по таблице график зависимости $y=x+2$ для $x=0,1,2,3$." Для повышенного: "По графику или таблице определите значение $y$ при $x=4$ и объясните, как изменяется $y$ при увеличении $x$ на 1." Учитель напоминает, что критерии проверки написаны вверху карточки. | Индивидуально составляют таблицу: $y=2,3,4,5$, отмечают точки $(0;2)$, $(1;3)$, $(2;4)$, $(3;5)$ и проводят линию. Выполняющие повышенный уровень записывают: при $x=4$ значение $y=6$, при увеличении $x$ на 1 значение $y$ увеличивается на 1. |
3 мин | Учитель открывает эталон: таблицу, четыре точки и линию. Инструктирует: "Проверьте три позиции: вычисления, порядок координат, аккуратность построения. Ошибку не зачёркивайте без объяснения — рядом запишите, на каком шаге она возникла и как исправлена." | Сверяют работу с эталоном, ставят отметки в листе самопроверки, исправляют ошибки, формулируют причину: «ошибся при вычислении», «перепутал координаты», «не выдержал единичный отрезок». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно выполнять без поддержки пары. Осталось связать новый способ с исходной жизненной ситуацией и проверить, что именно показывает построенная линия."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить связь между формулой, таблицей и графиком, осмыслить результат и определить дальнейший шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к начальной задаче: "На графике стоимости поездки найдите значение, соответствующее 2 километрам. Как можно использовать график, если стоимость известна, а расстояние нужно определить?" | Находят точку $(2;40)$, отвечают: «за 2 километра заплатят 40 рублей», предлагают провести от значения стоимости к линии и затем к оси $x$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы высокого уровня: "Что произойдёт с графиком, если фиксированная плата станет 30 рублей? Что изменится, если за километр будут брать 5 рублей?" Учитель просит объяснить, не строя полностью новый график. | Предполагают: «при увеличении фиксированной платы линия поднимется», «при уменьшении платы за километр линия будет менее крутой». Аргументируют через формулу и изменение таблицы. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и «Билет на выход»: "Покажите цвет: зелёный — могу построить график сам, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужен разбор. На листочке ответьте: какой шаг алгоритма самый важный и почему?" | Показывают карточку цвета, пишут билет на выход: «важно правильно записать координаты, потому что каждая строка таблицы превращается в точку» или указывают личное затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили цепочку: формула задаёт таблицу, таблица задаёт точки, а точки образуют график зависимости. Вы научились не только строить линию, но и объяснять, что она означает в жизненной ситуации."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно записана формула, без ошибок составлена таблица, правильно нанесены все точки, проведена линия и дано объяснение зависимости.
- «4» — алгоритм выполнен верно, но допущена одна вычислительная или графическая неточность, самостоятельно исправленная при проверке.
- «3» — составлена формула или таблица и нанесена большая часть точек, но допущены две ошибки в вычислениях, координатах или оформлении.
- Работа требует доработки, если ученик не связывает значения таблицы с координатами точек и не может объяснить порядок построения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи формулы, таблицы и графика? | Выявление осознания центральной идеи урока. |
Какой шаг алгоритма построения графика вы выполняете уверенно? | Определение освоенных действий и фиксация личного успеха. |
На каком шаге возникло затруднение: вычисление, запись координат или построение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как график помогает решить задачу о стоимости поездки? | Проверка переноса предметного знания в жизненный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли способ видеть зависимость не только в числах и таблицах, но и на координатной плоскости. Запомните главную цепочку: формула — таблица — точки — график. Самая частая ошибка заключается в перестановке координат или нарушении единичного отрезка, поэтому всегда проверяйте построение. На следующем уроке мы продолжим читать графики и узнаем, какую информацию можно получить по их наклону и положению."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания: для каждой из трёх простейших зависимостей вида $y=x+3$, $y=2x$ и $y=10x+20$ составить таблицу для четырёх значений $x$, записать координаты точек и построить график на координатной сетке. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на формулу, таблицу, порядок координат и аккуратность линии. |
Средний (повышающий) | Решить 2 практические задачи на зависимость величин: стоимость покупки от количества товара и путь от времени движения. Для каждой составить формулу, таблицу минимум из пяти значений и график. | Формирует математическое моделирование и функциональную грамотность; проверить соответствие единиц измерения и смысл подписей осей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизни, описываемую линейной зависимостью, выбрать не менее пяти значений, построить график и письменно объяснить, что означают координаты двух выбранных точек. | Развивает создание математической модели и аргументацию; проверить реалистичность условия, правильность формулы и содержательное чтение графика. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют координатами точки? Как по формуле получить таблицу? Какая координата записывается первой? Почему нельзя строить график, не проверив единичный отрезок? Как по графику зависимости стоимости найти стоимость поездки?»
