Степень как произведение одинаковых множителей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать произведение одинаковых множителей в виде степени, читать и вычислять степени с натуральным показателем, а также применять новое обозначение при решении учебных и жизненных задач.
- Сформировать представление о степени как краткой записи произведения одинаковых множителей и научить выделять основание и показатель степени.
- Закрепить умение читать степени, находить значение степени и переводить запись из одной формы в другую.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить ошибки, аргументировать ответ в парной работе и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность математической записи, интерес к поиску закономерностей и ответственное отношение к результату совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к новому математическому обозначению и видят его пользу для краткой записи больших произведений.
- Осознают значение аккуратной записи и самопроверки при вычислениях.
- Принимают правила сотрудничества в паре: распределяют роли, выслушивают мнение партнёра и корректно исправляют ошибку.
- Оценивают собственную готовность применять понятие степени в новых заданиях.
Метапредметные
- Познавательные: преобразуют произведение одинаковых множителей в степень, извлекают информацию из схемы и текста учебника, устанавливают закономерность.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность действий, выполняют самопроверку по эталону и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: объясняют партнёру способ решения, задают уточняющие вопросы и согласуют общий ответ.
- Используют интерактивную доску или презентацию для анализа математических записей и осуществляют смысловое чтение задания с реальным контекстом.
Предметные
- Знать определения степени, основания степени и показателя степени.
- Уметь записывать произведение одинаковых множителей в виде степени и раскрывать степень в виде произведения.
- Уметь читать записи вида $a^n$, находить основание и показатель степени.
- Уметь вычислять значения степеней с натуральным показателем и применять порядок действий.
- Уметь находить и объяснять ошибки в записях вида $3^4=3\cdot4$ и $2^3=2+2+2$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, зачем математика использует краткие обозначения при записи повторяющихся действий.
- Проявляют готовность к преодолению затруднения через обсуждение и проверку гипотез.
- Формируют ответственное отношение к парному результату и взаимопомощи.
- Оценивают собственный вклад в открытие нового правила.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют алгоритм: определить одинаковый множитель, посчитать его повторения, записать основание и показатель.
- Сверяют решение с эталоном и устанавливают причину ошибки.
- Выбирают уровень самостоятельного задания с учётом собственной готовности.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки степени в математической записи.
- Сравнивают произведение одинаковых множителей и его краткую запись.
- Моделируют понятие степени с помощью схемы и таблицы.
- Применяют новое правило в вычислениях и в задаче о расположении объектов по группам.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один записывает, другой проверяет, затем меняются.
- Объясняют значение основания и показателя степени полным предложением.
- Аргументируют выбор записи и корректно задают вопрос о непонятном шаге.
- Согласуют общий ответ и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или материал для интерактивной доски: произведения $2\cdot2\cdot2$, $5\cdot5\cdot5\cdot5$, соответствующие степени и схема с подписями «основание» и «показатель».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе, и две карточки с заданиями для каждой пары.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета по одной на ученика для быстрой обратной связи.
- Разложить на парты листы для взаимопроверки и памятку с алгоритмом записи произведения одинаковых множителей в виде степени.
- Вывести на доску тему урока, проблемный вопрос и заготовку: $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}}$.
- Подготовить задания из учебника по теме «Степень» без фиксации номеров: один пример на чтение степени, один на раскрытие скобок и несколько на вычисление.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, ноутбук учителя, маркеры и магнитные карточки.
- Подготовить разноуровневую домашнюю работу: обязательную, повышающую и дополнительную.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой, показать практическую необходимость краткой записи повторяющихся множителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, на парте тетрадь, ручку, учебник и карточки для сигналов. Сегодня нам понадобится внимательность и умение объяснять свой ответ партнёру. Повернитесь к соседу и договоритесь: кто сначала будет записывать, а кто проверять." | Проверяют принадлежности, садятся по парам, распределяют роли и готовят тетради. |
2 мин | Учитель включает на экране запись $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$ и говорит: "Представьте, что эту запись нужно быстро передать в сообщении или внести в таблицу. Можно ли сделать её короче, не потеряв смысл? Подумайте несколько секунд, обсудите ответ в паре и предложите свой вариант." Учитель принимает гипотезы, но пока не сообщает правило. | Индивидуально обдумывают вопрос, затем обсуждают его в парах и предлагают варианты: "Записать число 7 шесть раз" или "Нужен специальный короткий знак". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одинаковые множители приходится записывать много раз. Сегодня мы узнаем специальный способ сделать такую запись короткой и понятной."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия множителя, произведения и порядок действий, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске произведение $4\cdot4\cdot4$ и спрашивает: "Как называются числа, которые перемножаются? Что показывает знак умножения? Сколько множителей записано?" Затем предлагает заменить произведение суммой одинаковых слагаемых и сравнить смысл действий. | Отвечают: "Числа называются множителями, знак показывает умножение, записано три множителя"; преобразуют в сумму $4+4+4$ и объясняют, что умножение является краткой записью сложения одинаковых слагаемых. |
3 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с выражениями $3\cdot3$, $6\cdot6\cdot6\cdot6$, $2+2+2+2$ и говорит: "За две минуты распределите записи на группы: произведение одинаковых множителей, сумма одинаковых слагаемых и другие записи. В каждой паре один ученик классифицирует, второй проверяет по признаку." | Работают в парах, раскладывают выражения по группам, формулируют признак: в произведении одинаковых множителей одно и то же число повторяется несколько раз. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили, что произведение может содержать одинаковые множители. Но пока у нас нет короткой записи для такого произведения. Зафиксируем это затруднение и попробуем решить его."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает рядом выражения $5\cdot5\cdot5\cdot5$ и предполагаемую краткую запись $5^4$. Обращается к классу: "Что, по-вашему, может означать маленькая четвёрка? Почему основанием стало число 5? Можно ли назвать такую запись произведением? Обсудите ответ с партнёром и приведите доказательство." | Обсуждают гипотезу, предполагают: "Число 5 повторяется четыре раза, поэтому внизу стоит 5, а маленькая 4 показывает количество множителей". |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Как правильно записывать и читать степень, как находить её значение и как не перепутать показатель с множителем? Сформулируйте цель урока одним предложением. Я запишу лучшие варианты на доске." | Формулируют цель: "Научиться записывать произведение одинаковых множителей степенью, читать степень и вычислять её значение". Записывают тему и цель в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно открыть правило записи степени и научиться пользоваться им. Теперь исследуем несколько примеров и сами сформулируем определение."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания. Работа с учебником и схемой (10 мин)
Цель этапа: вывести определение степени, выделить основание и показатель, научиться читать и раскрывать степень.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть учебник на теме урока и демонстрирует на доске три примера: $3\cdot3=3^2$, $2\cdot2\cdot2=2^3$, $10\cdot10\cdot10\cdot10=10^4$. Говорит: "Посмотрите, какое число повторяется в каждом произведении и сколько раз. Нижнее число называют основанием степени, а маленькое верхнее число — показателем степени. Показатель сообщает, сколько одинаковых множителей содержится в произведении." | Сопоставляют произведения и степени, подчёркивают основание одной чертой, показатель двумя чертами, проговаривают: "$3^2$ — основание 3, показатель 2; в произведении два множителя 3". |
3 мин | Учитель записывает определение: "Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}}$." Затем спрашивает: "Как читаются записи $4^3$, $7^2$, $1^5$?" | Записывают определение и отвечают: "$4^3$ — четыре в третьей степени, или четыре в кубе; $7^2$ — семь во второй степени, или семь в квадрате; $1^5$ — единица в пятой степени". |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно объясните, чем отличаются записи $6^3$ и $3^6$. Затем сравните объяснения с партнёром. Помните: основание показывает множитель, показатель — число повторений." | Записывают расшифровку: $6^3=6\cdot6\cdot6$, а $3^6=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$; объясняют, что записи имеют разные основания и показатели. |
2 мин | Учитель показывает на экране ошибочные утверждения: $2^4=2\cdot4$ и $3^3=3+3+3$. Спрашивает: "Найдите ошибку и исправьте запись. Какое правило нарушено?" Учитель принимает ответы и фиксирует эталон. | Находят ошибки, исправляют: $2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$; $3^3=3\cdot3\cdot3=27$. Формулируют: показатель показывает количество одинаковых множителей, а не множитель, и степень связана с умножением, а не со сложением. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$. В записи $a^n$ число $a$ — основание степени, число $n$ — показатель степени».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что степень — это не новое действие, а удобная запись повторяющегося умножения. Теперь проверим правило на примерах и научимся быстро переходить от одной формы записи к другой."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить перевод произведения в степень и раскрытие степени с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Запишите в виде степени произведения $4\cdot4\cdot4\cdot4$, $9\cdot9$, $1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1$.» Говорит: "Работаем две минуты. Первый ученик считает одинаковые множители и записывает степень, второй проговаривает основание и показатель. Затем поменяйтесь ролями." | В парах записывают $4^4$, $9^2$, $1^5$, проговаривают: «Основание — 4, показатель — 4» и аналогично для остальных примеров. |
2 мин | Учитель предлагает обратное задание: "Раскройте степени $5^3$, $8^2$, $2^5$. Не торопитесь вычислять: сначала запишите произведение, затем по желанию найдите его значение." | Раскрывают степени: $5^3=5\cdot5\cdot5$, $8^2=8\cdot8$, $2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$; вычисляют значения $125$, $64$, $32$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте два признака: основание совпадает с множителем, показатель равен количеству множителей. Поставьте рядом с верным ответом знак плюс, а рядом с ошибкой запишите короткое пожелание." | Обмениваются карточками, проверяют записи по двум критериям, отмечают ошибки и формулируют пожелание: «Проверь количество множителей» или «Не перепутай основание и показатель». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем записывать степень и раскрывать её. Следующий шаг — применить новое знание в вычислениях и увидеть, где степень встречается в обычной жизни."
Этап 6. Самостоятельная разноуровневая работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание темы и обеспечить посильное задание для каждого ученика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть три уровня. Уровень 1 — обязательный минимум, уровень 2 — базовый с вычислениями, уровень 3 — повышенный с рассуждением. Выберите тот, который позволит честно показать ваши знания. Можно начать с первого и перейти выше, если останется время." | Выбирают карточку с учётом своей готовности, записывают номер уровня и приступают к работе. |
4 мин | Учитель напоминает алгоритм на доске: "Сначала определите основание, затем посчитайте количество повторений, после этого запишите степень или раскройте её и только затем вычисляйте. Уровень 1: представить в виде степени $3\cdot3\cdot3$, $7\cdot7$. Уровень 2: вычислить $2^4$, $5^2$, $10^3$. Уровень 3: найти ошибку в рассуждении: «$4^3=4\cdot3=12$, потому что показатель показывает второй множитель». Исправьте объяснение." | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Для повышенного задания формулируют исправление: $4^3=4\cdot4\cdot4=64$, показатель показывает количество множителей, а не число, на которое умножают. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $3^3=27$, $7^2=49$, $2^4=16$, $5^2=25$, $10^3=1000$. Говорит: "Проверьте не только ответ, но и запись промежуточного действия. Если обнаружили ошибку, зачеркните её одной линией и рядом запишите правильный шаг. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если исправили одну ошибку, красную — если нужна помощь." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, показывают сигнальную карточку и отмечают в тетради, какое действие вызвало затруднение. |
Эталон решения
Для примера $2^4$: 1) основание степени равно 2; 2) показатель равен 4, значит, множитель 2 повторяется четыре раза; 3) раскрываем степень: $2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2$; 4) вычисляем: $2\cdot2=4$, $4\cdot2=8$, $8\cdot2=16$. Следовательно, $2^4=16$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже начинает работать. Мы проверили себя и увидели личные затруднения. Теперь применим степени в задаче, связанной с геометрией и реальной организацией предметов."
Этап 7. Включение в систему знаний. Межпредметная задача (5 мин)
Цель этапа: применить понятие степени в жизненном и межпредметном контексте, связать математику с информатикой и геометрией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране схему квадратного листа бумаги, разделённого на 4 равных квадрата, и затем схему куба из единичных кубиков. Говорит: "В геометрии площадь квадрата со стороной 4 записывают как $4^2$. Почему показатель равен 2? А если куб состоит из 3 слоёв, в каждом направлении по 3 кубика, сколько всего кубиков? Запишите вычисление степенью." | Объясняют: «В квадрате два измерения, поэтому $4^2=4\cdot4=16$». Для куба записывают $3^3=3\cdot3\cdot3=27$ и делают вывод: в кубе три измерения. |
3 мин | Учитель добавляет связь с информатикой: "В двоичной системе после трёх независимых переключателей можно получить $2^3$ комбинаций. Не будем перечислять их все: используем степень. Сколько комбинаций получится? Объясните, почему основание равно 2." | Записывают $2^3=2\cdot2\cdot2=8$, отвечают: «Основание 2, потому что каждый переключатель имеет два состояния; показатель 3, потому что переключателей три». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Степень помогает кратко записывать не только учебные примеры, но и количество объектов в квадратных и кубических моделях, а также число вариантов в информатике. Осталось подвести личный итог и определить домашнюю тренировку."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На маленьком листе закончите три предложения: «Степень — это…», «В записи $6^4$ число 6 — это…, число 4 — это…», «Сегодня мне нужно ещё потренироваться…». Перед выходом положите лист на стол." | Письменно формулируют определение, называют основание и показатель в $6^4$, указывают собственное затруднение или пишут, что готовы решать более сложные задания. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Обязательное задание выполняют все. Затем выберите повышающий или дополнительный уровень. Важно не просто получить ответ, а показать переход от произведения к степени или от степени к произведению." Учитель напоминает критерии аккуратности и отвечает на уточняющие вопросы. | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают вопросы о количестве примеров и сверяют запись с доской. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ кратко записывать произведение одинаковых множителей, научились различать основание и показатель и проверили правило в задачах. Сохраните билет на выход как подсказку для домашней работы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — без ошибок выполнены все задания выбранного уровня, правильно определены основание и показатель, степень раскрыта корректно, вычисления записаны аккуратно и приведено объяснение межпредметной задачи.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но определение степени и различение основания с показателем усвоены.
- «3» — правильно выполнены обязательные задания на запись произведения в виде степени или раскрытие степени, но допущены две ошибки в вычислениях либо требуется подсказка при объяснении.
- Ниже базового уровня — ученик неверно определяет количество множителей или путает основание с показателем; результат дорабатывается по индивидуальной карточке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает показатель степени в записи $5^3$? | Проверка понимания количества одинаковых множителей. |
Какой шаг алгоритма помог вам записать $7\cdot7\cdot7\cdot7$ в виде степени? | Выявление освоения последовательности действий. |
Какую ошибку легче всего допустить при работе со степенями? | Диагностика типичного смешения основания, показателя и множителя. |
Какой уровень задания вы выбрали и почему? | Осознание учеником собственной готовности и развитие самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать длинное произведение одинаковых множителей в короткую запись — степень. Запомните главное: основание показывает, какой множитель повторяется, а показатель — сколько раз он повторяется. Самая частая ошибка — заменить умножение основания на показатель, поэтому всегда сначала раскрывайте степень произведением. На следующем уроке мы продолжим вычислять значения выражений со степенями и будем внимательно соблюдать порядок действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий по материалу урока: три произведения одинаковых множителей записать в виде степеней и три степени раскрыть в виде произведений; вычислить значения двух получившихся степеней. | Закрепляет различение основания и показателя и переход между двумя формами записи; при проверке смотреть на количество множителей. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на вычисление степеней с натуральными показателями, включая степени чисел 2, 5 и 10, и составить две собственные записи: одну с квадратом и одну с кубом. | Формирует навык вычисления и связь степени с площадью квадрата и объёмом куба; при проверке учитывать промежуточную запись произведения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить задачу из жизненного или информатического контекста, где появляется $2^n$, $3^n$ или другая степень: описать смысл основания и показателя, записать решение и ответ. | Развивает создание математической модели, аргументацию и функциональную грамотность; при проверке смотреть, объяснены ли оба элемента степени. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется степенью?», «Как определить основание и показатель в записи $8^4$?», «Как раскрыть степень $3^5$?», «Почему запись $6^2=6\cdot2$ неверна?»
