Построение циркулем и линейкой
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выполнять построение отрезка, равного данному, и середины отрезка с помощью циркуля и линейки, объясняя последовательность действий и проверяя точность результата.
- Сформировать представление о назначении циркуля и линейки при геометрических построениях без измерения длины отрезка линейкой.
- Научить выполнять построение отрезка, равного данному, и середины отрезка по алгоритму.
- Развивать пространственное и логическое мышление, точность движений, умение находить и исправлять ошибки в построении.
- Воспитывать аккуратность, ответственность за результат индивидуальной и парной работы, готовность аргументировать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к геометрическим построениям как к способу решать практические задачи.
- Понимают ценность аккуратности и точности при работе с чертёжными инструментами.
- Осознают личную ответственность за соблюдение алгоритма и качество чертежа.
- Готовы спокойно анализировать ошибку и исправлять её без отказа от выполнения задания.
Метапредметные
- Читают инструкцию, выделяют последовательность действий и преобразуют её в алгоритм.
- Сравнивают полученный чертёж с условием, находят несоответствия и предлагают способ коррекции.
- Планируют выполнение практического задания, распределяют время и осуществляют самопроверку.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопросы и аргументируют оценку работы по заданным критериям.
Предметные
- Знать назначение циркуля и линейки при выполнении геометрических построений.
- Уметь строить отрезок, равный данному, переносом расстояния циркулем.
- Уметь строить середину отрезка с помощью дуг окружностей.
- Уметь объяснять, почему построенная точка является серединой отрезка, и проверять результат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной задачи и оценивают собственную готовность к практической работе.
- Проявляют познавательную мотивацию при открытии способа построения без измерительной шкалы.
- Соблюдают аккуратность и безопасные правила обращения с циркулем.
- Принимают конструктивную обратную связь от учителя и одноклассников.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют последовательность действий.
- Удерживают алгоритм построения при выполнении чертежа.
- Сверяют каждый этап с образцом и выявляют отклонения.
- Оценивают результат по критериям и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки построения циркулем и линейкой.
- Устанавливают связь между равенством радиусов дуг и равенством отрезков.
- Моделируют построение в виде последовательности точек, дуг и прямых.
- Применяют известные свойства окружности для обоснования результата.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по ролям: исполнитель и контролёр, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий.
- Используют математические термины при объяснении построения.
- Аргументированно сообщают о найденной ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить циркули и линейки для каждого ученика, запасные инструменты для двух-трёх учеников и несколько простых карандашей.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые — по одной на ученика, повышающие — по одной на пару, дополнительные — по одной на желающего ученика.
- Подготовить листы формата А4 с отрезками для практической работы — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран тему урока, правила безопасной работы и краткую памятку: «точка — дуга — пересечение — прямая».
- Подготовить крупный демонстрационный циркуль, линейку и магнитные или нарисованные дуги для показа построения.
- Разместить на доске критерии: точность, соблюдение алгоритма, аккуратность, объяснение результата.
- Подготовить карточки-сигналы трёх цветов для быстрой самооценки: зелёная — могу объяснить, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь.
- Организовать рабочие места так, чтобы ученики могли безопасно пользоваться циркулем и свободно поворачивать лист.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в практическую деятельность и вызвать интерес к построению без измерения длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает циркуль и линейку: "Здравствуйте, ребята. Сегодня эти инструменты станут нашими помощниками в решении геометрической задачи. Проверьте, есть ли у вас тетрадь, простой карандаш, линейка и циркуль. Циркуль держим аккуратно, остриём не направляем на соседа." | Проверяют наличие инструментов, располагают их справа от тетради, формулируют правило безопасности: "Работаем осторожно и передаём циркуль закрытым". |
2 мин | Учитель показывает на экране два отрезка и спрашивает: "Как доказать, что эти отрезки равны, если не пользоваться делениями линейки? Можно ли перенести длину одного отрезка на другое место? Сегодня мы попробуем открыть такой способ сами. Работает приём «Крючок»: сначала предположите способ, а затем проверим его на практике." | Рассматривают рисунок, высказывают предположения: "Можно измерить линейкой", "Можно поставить раствор циркуля на один отрезок и перенести его". Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что циркуль может не только рисовать окружности. Сегодня выясним, как с его помощью переносить расстояние и выполнять точные построения."
Этап 2. Актуализация знаний и пробное действие (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия отрезка, окружности, радиуса и выявить затруднение при переносе длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает окружность и задаёт вопросы: "Что называют окружностью? Как называется отрезок от центра до точки окружности? Если две окружности имеют одинаковый радиус, что можно сказать о расстояниях от их центров до точек окружности?" Учитель фиксирует ключевые слова на доске. | Отвечают: "Окружность — граница круга", "Отрезок от центра до окружности — радиус", "Одинаковые радиусы имеют одинаковую длину". Показывают на рисунке центр, радиус и диаметр. |
3 мин | Учитель раздаёт листы с отрезком $AB$ и предлагает пробное действие: "Попробуйте построить от точки $C$ отрезок такой же длины, как $AB$. Пока не обсуждаем правильный алгоритм: попробуйте самостоятельно и отметьте, на каком шаге возникло затруднение. Линейкой отрезок $AB$ не измеряем." | Пытаются установить раствор циркуля по отрезку $AB$ и перенести его от точки $C$. Записывают или проговаривают затруднение: "Не уверен, где поставить иглу", "Не знаю, как отметить вторую точку", "Не получается провести ровную линию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем пользоваться инструментами, но пока не договорились о точном порядке действий. Значит, нам нужен алгоритм, который позволит каждому получить одинаково правильный результат."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте, какие действия обязательно должны быть в построении. Затем обсудите с соседом и выберите три-четыре главных шага. Не называйте только инструменты — объясните, что ими нужно сделать." | Сначала индивидуально формулируют шаги, затем обсуждают их в парах. Предлагают варианты: "Поставить иглу в точку", "Раздвинуть циркуль по данному отрезку", "Провести дугу", "Соединить точки линейкой". |
2 мин | Учитель уточняет цель: "Какой результат покажет, что построение выполнено верно? Назовите критерии. Верно ли, что одной аккуратности недостаточно? Нужно ещё сохранить длину и объяснить свои действия." Учитель записывает на доске цель: «Построить и проверить». | Формулируют критерии: "Полученный отрезок равен данному", "Точки обозначены", "Линии проведены аккуратно", "Могу объяснить порядок действий". Записывают цель урока кратко. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы откроем алгоритмы двух построений и проверим их на практике. Начнём с самого важного действия — переноса длины отрезка."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания и практическая работа (10 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм построения равного отрезка и середины отрезка через практическое действие.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует построение отрезка $CD$, равного $AB$: "Посмотрите на доску. Сначала я выбираю точку $C$ и провожу из неё луч. Затем ставлю иглу циркуля в точку $A$, а карандаш — в точку $B$. Это раствор циркуля, равный $AB$. Раствор не меняю. Иглу ставлю в $C$, делаю засечку на луче и обозначаю точку $D$. Получаем $CD=AB$. Почему? Потому что радиус дуги равен длине $AB$." | Следят за демонстрацией, называют шаги по порядку, записывают обозначения $AB$, $CD$, формулируют вывод: "Раствор циркуля переносит длину отрезка". |
3 мин | Учитель показывает построение середины отрезка $AB$: "Теперь построим середину данного отрезка. Разведите циркуль больше чем на половину $AB$. Из точки $A$ проведите дуги сверху и снизу. Не меняя раствор, проведите такие же дуги из точки $B$. Дуги пересекутся в точках $M$ и $N$. Проведите прямую $MN$. Она пересечёт $AB$ в точке $O$. Почему $O$ — середина? Точка $M$ равноудалена от $A$ и $B$, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к $AB$; то же верно для $N$." | Выполняют построение вместе с учителем на листе: проводят четыре дуги, отмечают точки $M$ и $N$, соединяют их линейкой, обозначают точку пересечения $O$. Проговаривают: "$OA=OB$, значит, $O$ — середина $AB$". |
3 мин | Учитель предлагает восстановить алгоритм по приёму «Чистая доска»: "Я закрою часть записей. Восстановите порядок действий: где ставим иглу, когда нельзя менять раствор циркуля, какие точки соединяем? Один ученик объясняет, второй показывает действие на своём чертеже." | В парах по очереди объясняют алгоритм и показывают соответствующие элементы чертежа. Исправляют пропущенные или перепутанные шаги. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Чтобы построить отрезок, равный данному, установить раствор циркуля по концам данного отрезка, перенести его от новой точки и отметить вторую конечную точку. Чтобы найти середину отрезка, из его концов провести дуги одинакового радиуса, соединить точки пересечения дуг и отметить пересечение этой прямой с данным отрезком».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два алгоритма: перенос длины и построение середины отрезка. Теперь проверим, насколько уверенно каждый сможет выполнить первое построение без подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения равного отрезка через взаимное объяснение и проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт базовую карточку: «На луче с началом $C$ постройте отрезок $CD$, равный данному $AB$. Обозначьте все точки». Инструктирует: "Сначала выполните построение самостоятельно. После этого поменяйтесь листами с соседом и проверьте работу по четырём критериям: раствор установлен по $AB$, перенос выполнен от $C$, точка $D$ отмечена на луче, обозначения читаются." | Индивидуально выполняют построение $CD=AB$, подписывают точки и четыре критерия проверки. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Теперь контролёр не просто ставит знак. Он задаёт автору два вопроса: «Где ты устанавливал раствор циркуля?» и «Почему твой новый отрезок равен данному?». Если найдена ошибка, объясните её спокойно и покажите место исправления." | В парах проверяют чертежи, отвечают на вопросы, отмечают две сильные стороны и одно пожелание по приёму «Две звезды и пожелание». |
2 мин | Учитель просит двух учеников показать решения на доске и уточняет: "Какая ошибка встречается чаще всего? Что произойдёт, если после установки раствора немного изменить циркуль?" | Сравнивают свои чертежи с образцами, отвечают: "Получится отрезок другой длины"; исправляют неверные обозначения или положение точки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Перенос длины получается только при неизменном растворе циркуля. Теперь каждый выполнит самостоятельную работу, а уровень задания можно выбрать по своей уверенности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (11 мин)
Цель этапа: самостоятельно применить алгоритмы построения и выполнить самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Базовый уровень — построить равный отрезок. Повышенный — построить середину отрезка. Дополнительный — выполнить оба построения и объяснить, почему второе построение даёт середину. Выберите посильный уровень, но сначала внимательно прочитайте условие." | Выбирают карточку, записывают на полях уровень задания и готовят лист. |
5 мин | Учитель напоминает порядок самоконтроля: "Не торопитесь. Сначала прочитайте условие, затем выполните построение тонкими линиями, после этого подпишите точки и проверьте результат. В базовой карточке постройте $EF=AB$. В повышенной карточке найдите середину $AB$ через дуги из $A$ и $B$. В дополнительной карточке постройте $GH=CD$ и середину $AB$." | Самостоятельно выполняют выбранное задание, соблюдая алгоритм. Базовый уровень: строят равный отрезок. Повышенный уровень: строят середину отрезка. Дополнительный уровень: выполняют оба построения и записывают краткое обоснование. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Сверьте не внешний вид, а последовательность. Для равного отрезка должно быть видно, что раствор циркуля снят с данного отрезка и перенесён на новый луч. Для середины должны быть две пары дуг одинакового радиуса и прямая через их точки пересечения." | Сверяют работу с эталоном, отмечают пропущенные элементы, исправляют ошибки другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить оба алгоритма; жёлтую, если построение получается, но объяснение пока неполное; красную, если нужна помощь. По красным и жёлтым сигналам я подойду после урока и разберу затруднение." | Показывают карточку самооценки, формулируют личное затруднение одним предложением: "Мне трудно сохранить раствор" или "Мне трудно объяснить роль прямой MN". |
Эталон решения
Для построения $EF=AB$: 1) провести луч с началом $E$; 2) установить раствор циркуля по точкам $A$ и $B$; 3) не изменяя раствор, поставить иглу в $E$ и сделать засечку на луче; 4) обозначить засечку точкой $F$; 5) сделать вывод $EF=AB$. Для построения середины $AB$: 1) взять раствор циркуля больше половины $AB$; 2) из $A$ и $B$ провести дуги одинакового радиуса; 3) обозначить их пересечения $M$ и $N$; 4) провести $MN$; 5) обозначить $O=MN\cap AB$; 6) записать $OA=OB$, поэтому $O$ — середина $AB$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритмы на разных уровнях сложности и увидели, что точность зависит от порядка действий. Осталось проверить, что именно мы научились делать и какие шаги нужно сохранить в памяти."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить продвижение и определить содержание дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На маленьком листке завершите три фразы: «Чтобы построить равный отрезок, я…», «Середина отрезка находится…», «Мне нужно потренировать…». Пишите кратко, но используйте математические термины." | Заполняют билет на выход: формулируют алгоритм переноса длины, объясняют построение середины, называют личное затруднение. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Можно ли после установки раствора изменить ширину циркуля? Что должны иметь дуги, построенные из концов отрезка? Как доказать, что точка является серединой?" | Отвечают: "Нет, раствор должен оставаться неизменным"; "Одинаковый радиус"; "$OA=OB$, значит, точка делит отрезок пополам". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по таблице. В тетради сохраните аккуратный рисунок и подписи. На следующем уроке мы будем использовать построенные элементы в более сложных геометрических задачах." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, сдают билеты на выход и убирают инструменты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переносить длину отрезка циркулем и находить середину отрезка построением дуг. Главное — не менять раствор циркуля и соблюдать порядок действий. На следующем уроке применим эти умения для построения перпендикулярных и других взаимосвязанных элементов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнено выбранное задание, соблюдён полный алгоритм, все точки и линии обозначены аккуратно, ученик объясняет, почему построенный отрезок равен данному или почему точка является серединой.
- «4» — построение в целом верно, но допущена одна неточность в обозначении или оформлении, не нарушившая способ построения; объяснение содержит небольшую неполноту.
- «3» — выполнена основная часть построения, но допущены две существенные ошибки в последовательности действий, обозначениях или сохранении раствора циркуля; после подсказки ученик может исправить работу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о возможностях циркуля? | Выявление понимания функции циркуля как инструмента переноса расстояния. |
Какой шаг алгоритма построения равного отрезка нельзя пропустить? Почему? | Проверка осознания роли неизменного раствора циркуля. |
Что нужно сделать, чтобы доказать, что точка является серединой отрезка? | Выявление понимания условия $OA=OB$ и связи построения с результатом. |
Какое задание оказалось для вас посильным, а какое потребовало помощи? | Определение субъективной оценки освоения темы и планирование дифференцированной поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы открыли практический способ выполнять геометрические построения без измерения длины линейкой. Мы научились переносить отрезок циркулем и находить середину отрезка через пересечение дуг. Самая частая ошибка — изменение раствора циркуля или проведение дуг разного радиуса. Проверьте дома, можете ли вы объяснить каждый шаг не только словами, но и чертежом. На следующем уроке мы продолжим строить геометрические объекты и будем использовать сегодняшний алгоритм как основу."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить два построения: отрезок, равный данному, и середину данного отрезка. Подписать все точки и кратко записать алгоритм каждого построения. | Закрепляет базовую последовательность действий; при проверке обратить внимание на неизменность раствора циркуля, одинаковый радиус дуг и точность обозначений. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 построения: перенести длину отрезка на новый луч, построить середину другого отрезка и проверить результат измерением линейкой после завершения построения. | Развивает самостоятельное применение алгоритмов и навык самопроверки; проверить наличие обоснования и совпадение полученных длин. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить практическую задачу: на листе построить отрезок, равный данному, разделить его на две равные части и затем на четыре равные части, используя только циркуль и линейку. Описать последовательность действий. | Развивает перенос способа в новую ситуацию и умение составлять составной алгоритм; при проверке оценить полноту объяснения и точность всех построений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как перенести длину отрезка циркулем? Почему раствор нельзя менять? Какие дуги нужны для построения середины отрезка? Как доказать, что полученная точка делит отрезок пополам?»
