Сравнение объектов по площади. Соотношения между единицами площади и их применение
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться сравнивать площади объектов, устанавливать и применять соотношения между квадратными единицами площади — квадратным сантиметром, квадратным дециметром и квадратным метром — при решении практических задач.
- Сформировать представление о площади как величине, характеризующей размер поверхности, и уточнить способы сравнения площадей наложением, разбиением на одинаковые квадраты и вычислением.
- Научить устанавливать соотношения $1\ дм^2 = 100\ см^2$ и $1\ м^2 = 100\ дм^2$, выполнять переход от одной единицы площади к другой.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать единицу измерения, работать по алгоритму и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность измерений, интерес к математике, ответственность за результат парной работы и умение аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость измерения площади при планировании ремонта, изготовлении предметов и сравнении размеров поверхностей.
- Проявляют интерес к исследовательскому заданию и стремление самостоятельно найти закономерность.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и доброжелательно относятся к ответам одноклассников.
- Понимают значение точности, аккуратности и проверки результата в математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют существенные признаки единиц площади, устанавливают закономерность между квадратными единицами и преобразуют величины.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность действий, сверяют результат с эталоном и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: распределяют действия в паре, формулируют вопрос и аргументируют способ сравнения площадей.
- Работают с таблицей на экране, схемой, измерительными данными и текстом практической задачи.
- Развивают математическую и функциональную грамотность через решение задачи о площади ковра и поверхности стола.
Предметные
- Знают единицы площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр.
- Понимают, что $1\ дм^2$ состоит из 100 квадратов площадью $1\ см^2$, а $1\ м^2$ — из 100 квадратов площадью $1\ дм^2$.
- Умеют сравнивать площади наложением, по числу одинаковых квадратных единиц и по числовым значениям.
- Умеют заменять крупные единицы площади мелкими и мелкие единицы крупными.
- Решают практические задачи на сравнение и преобразование единиц площади, записывая вычисления и единицы измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность измерений и правильность записи единиц площади.
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности в строении квадратных единиц.
- Оценивают собственное продвижение по чек-листу «Я могу…».
- Соблюдают правила сотрудничества: выслушивают партнёра и предлагают помощь без готового ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования соотношений между единицами площади.
- Планируют действия: измерить или рассмотреть модель, подсчитать квадраты, сформулировать соотношение.
- Контролируют запись чисел, нулей и единиц измерения.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают уровень освоения материала по сигналу «светофор» и контрольным вопросам.
Познавательные УУД
- Сравнивают объекты по площади на основе наложения, разбиения и вычисления.
- Моделируют квадратный дециметр с помощью сетки $10\times10$ квадратов.
- Устанавливают причинно-следственную связь между длиной стороны единицы и числом квадратов внутри крупной единицы.
- Переводят информацию из рисунка и таблицы в математическую запись.
- Выбирают подходящую единицу площади для конкретного объекта.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: измеритель, счётчик, секретарь и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о способе сравнения и единице измерения.
- Формулируют вывод полным предложением и подтверждают его моделью или вычислением.
- Сравнивают разные способы решения без отрицательной оценки личности одноклассника.
- Представляют результат парного исследования классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный слайд с изображениями ковра, парты, листа бумаги и футбольного поля, а также таблицей единиц площади.
- Распечатать на каждого ученика карточку самостоятельной работы с заданиями трёх уровней и лист самооценки.
- Подготовить на каждую пару модель $1\ дм^2$ с сеткой $10\times10$ квадратов со стороной $1\ см$, линейку и карточку с практическим заданием.
- Подготовить демонстрационный квадратный метр из скреплённых полос бумаги или малярной ленты и разместить его на полу до начала урока.
- Вывесить на доску памятку: «Сравнить площадь → выбрать единицу → выполнить перевод → решить → проверить единицу».
- Подготовить цветные карточки «зелёный», «жёлтый», «красный» для сигнала «светофор» — по три на каждого ученика.
- Подготовить 15 стикеров для рефлексии и один лист ватмана или свободную область доски для фиксации открытой закономерности.
- Организовать показ изображения на проекторе или интерактивной доске; заранее проверить читаемость сетки и таблицы.
- Подготовить карточки межпредметного содержания: площадь страницы, ковра, клумбы и поверхности стола — по одной на пару.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать ситуацию практической необходимости сравнивать площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: на парте должны быть тетрадь, ручка, линейка и карандаш. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение договариваться. Повернитесь к соседу и быстро распределите роли: кто будет аккуратно измерять, а кто — записывать результаты." | Проверяют принадлежности, в парах называют роли: «измеритель» и «секретарь». |
2 мин | Учитель показывает на экране фотографию двух ковров разной формы и спрашивает: "Какой ковёр занимает больше места на полу? Можно ли определить это только по длине и ширине, если формы разные? Как мы назовём величину, которая показывает, сколько места занимает поверхность? Сегодня мы проведём небольшое исследование и сами откроем правило." | Рассматривают изображения, предлагают варианты: «нужно сравнить площадь», «можно наложить один ковёр на другой», «нужно измерить поверхность». Формулируют проблемный вопрос: «Как сравнить площади и перевести одну единицу площади в другую?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что для сравнения поверхностей недостаточно смотреть только на форму или одну сторону объекта. Сейчас вспомним, какие единицы площади уже знаем и как ими пользуемся."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить представления о площади, квадратной единице и способах сравнения величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске два прямоугольника, составленных из одинаковых квадратов: "Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый молча определите, какой прямоугольник имеет большую площадь. Затем одну минуту обсудите способ доказательства. Не достаточно сказать «этот больше» — назовите основание ответа." | Сначала сравнивают фигуры индивидуально, затем обсуждают в парах и формулируют: «Площадь можно сравнить по числу одинаковых квадратов» или «одну фигуру можно наложить на другую». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что такое площадь? Какими единицами площади вы пользовались раньше? Что означает запись $1\ см^2$? Почему нельзя измерять площадь только сантиметрами?" На доске фиксирует ключевые слова: «поверхность», «квадратная единица», «число квадратов». | Отвечают: «Площадь — это размер поверхности», «квадратный сантиметр», «$1\ см^2$ — площадь квадрата со стороной $1\ см$», «для площади нужны квадратные единицы». |
1 мин | Учитель проводит быструю проверку на экране: «Выберите верную единицу: площадь книжной обложки; площадь классной комнаты; площадь клеточки тетради». Просит объяснить один ответ. | Поднимают карточки с обозначениями $см^2$, $дм^2$, $м^2$ и объясняют выбор: «Для клеточки подходит квадратный сантиметр, для комнаты — квадратный метр». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь измеряют квадратными единицами и сравнивают по числу одинаковых квадратов. Но пока не ответили, сколько квадратных сантиметров помещается в одном квадратном дециметре. Это и станет нашим исследовательским вопросом."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при сравнении площадей, выраженных в разных единицах, и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $1\ дм^2\ ?\ 80\ см^2$ и спрашивает: "Поставьте знак сравнения. Можно ли сразу сравнить эти величины? Почему запись вызывает затруднение? Что нужно узнать, чтобы сравнение стало возможным?" | Замечают, что единицы разные, и отвечают: «Сначала нужно выразить обе площади в одной единице», «нужно узнать, сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре». |
2 мин | Учитель предлагает составить план: "Давайте договоримся о последовательности действий. Что исследуем сначала? Что запишем затем? Как проверим открытое правило?" На доске фиксирует план: 1) исследовать модель; 2) сформулировать соотношение; 3) применить его в вычислениях и задачах. | Предлагают и принимают план: «Рассмотреть модель $1\ дм^2$, посчитать квадраты, записать соотношение, решить задания и проверить себя». Формулируют цель: «Научиться сравнивать площади и переводить их из одной единицы в другую». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: разные единицы нельзя сравнивать напрямую. Теперь каждая пара проведёт исследование и докажет, какое соотношение скрыто в модели квадратного дециметра."
Этап 4. Открытие нового знания. Парное исследование с ИКТ (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно установить соотношения между квадратными сантиметрами, квадратными дециметрами и квадратными метрами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на интерактивную доску увеличенную модель квадрата со стороной $1\ дм$, разделённого на клетки по $1\ см$: "Рассмотрите модель. Сколько сантиметров составляет сторона квадрата? На сколько рядов и столбцов разделена фигура? Не спешите считать все клетки по одной — найдите более удобный способ." | Рассматривают модель и отвечают: «Сторона равна $10\ см$», «10 рядов и 10 столбцов», «можно умножить $10\cdot10$». |
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре модель и карточку исследования: "Работайте по шагам. Измерьте или проверьте длину стороны. Запишите число квадратов в одном ряду, число рядов и произведение. Сформулируйте вывод одним предложением. Один ученик считает и показывает, второй записывает и проверяет, затем поменяйтесь ролями." Учитель подходит к парам и задаёт вопросы: "Что означает один маленький квадрат? Почему нужно умножать количество рядов на количество клеток в ряду?" | Рассматривают модель $1\ дм^2$, записывают: $10\ см\cdot10\ см=100\ см^2$. Формулируют вывод: «В одном квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров», записывают соотношение $1\ дм^2=100\ см^2$. |
2 мин | Учитель показывает на экране квадрат со стороной $1\ м$, разбитый на квадраты со стороной $1\ дм$: "Представьте такую же модель в крупном масштабе. Сколько дециметров в метре? Сколько рядов и столбцов квадратных дециметров получится?" | Отвечают: «В метре 10 дециметров», «10 рядов и 10 столбцов», «$10\cdot10=100$ квадратных дециметров». |
2 мин | Учитель оформляет на доске схему: $1\ дм^2=100\ см^2$; $1\ м^2=100\ дм^2$. Затем говорит: "Обратите внимание: при переходе от крупной единицы к мелкой число увеличивается в 100 раз, а при переходе от мелкой к крупной — уменьшается в 100 раз. Сейчас проверим правило на конкретных величинах." | Переписывают схему, проговаривают правило хором и приводят примеры: «$3\ дм^2=300\ см^2$», «$500\ см^2=5\ дм^2$». |
Запись в тетрадях
Записать: $1\ дм^2=100\ см^2$; $1\ м^2=100\ дм^2$. При переводе крупных единиц в мелкие умножаем на 100, при переводе мелких единиц в крупные делим на 100.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали соотношения с помощью модели, а не просто запомнили их. Теперь применим открытое правило сначала вместе, затем самостоятельно, чтобы убедиться, что оно работает в разных заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление и физкультминутка (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перевода единиц площади и снять напряжение после исследовательской работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает игру «Математическая эстафета»: "Решаем по цепочке. Первую величину преобразуем в квадратные сантиметры, вторую — в квадратные дециметры. После каждой записи обязательно называем действие и единицу ответа. Задания: $4\ дм^2=...\ см^2$; $700\ см^2=...\ дм^2$; $2\ м^2=...\ дм^2$." Вызывает к доске трёх учеников и просит класс проверить записи. | По очереди решают: $4\ дм^2=400\ см^2$; $700\ см^2=7\ дм^2$; $2\ м^2=200\ дм^2$. Остальные записывают решения в тетради, показывают сигнал согласия или исправляют ошибку. |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партой. Если я называю переход от крупной единицы к мелкой, тянемся вверх и делаем два хлопка; если от мелкой к крупной — приседаем один раз. $м^2$ в $дм^2$; $см^2$ в $дм^2$; $дм^2$ в $см^2$." | Выполняют движения по правилу, проговаривают: «умножаем на 100», «делим на 100». |
1 мин | Учитель спрашивает: "Почему при переходе от $дм^2$ к $см^2$ мы умножаем, а не прибавляем 100? Что изменяется — длина стороны или число квадратов?" | Отвечают: «Умножаем, потому что в одном квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров», «увеличивается число единичных квадратов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает: определяем направление перехода, умножаем или делим на 100 и записываем единицу. Теперь каждый проверит себя без подсказки, а затем мы применим знания к жизненной задаче."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание соотношений и умение применять их в задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выполните задания самостоятельно. Минимальный уровень: $6\ дм^2=...\ см^2$ и $900\ см^2=...\ дм^2$. Базовый уровень: сравните $3\ дм^2$ и $250\ см^2$; сравните $2\ м^2$ и $150\ дм^2$. Повышенный уровень: поверхность стола имеет площадь $12\ дм^2$, а папка — $900\ см^2$. Что занимает большую площадь и на сколько? Записывайте промежуточный перевод." | Решают выбранные задания индивидуально. Переводят $6\ дм^2=600\ см^2$, $900\ см^2=9\ дм^2$; приводят величины к одной единице и ставят знаки сравнения; в задаче переводят $12\ дм^2=1200\ см^2$ и находят разность $1200-900=300\ см^2$. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: $6\ дм^2=600\ см^2$; $900\ см^2=9\ дм^2$; $3\ дм^2=300\ см^2>250\ см^2$; $2\ м^2=200\ дм^2>150\ дм^2$; $1200-900=300\ см^2$. Просит провести самопроверку условными знаками. | Сверяют каждую строку, отмечают плюс правильному действию, кружком — месту ошибки, исправляют вычисление другим цветом. |
1 мин | Учитель предлагает сигнал «светофор»: "Зелёная карточка — могу объяснить правило и решить задачу; жёлтая — понимаю, но иногда путаю направление перевода; красная — нужна помощь. Покажите сигнал и запишите, что именно требует повторения." | Показывают цвет карточки, записывают в листе самооценки: «Мне легко…», «Мне нужно повторить…». |
Эталон решения
Сравним $3\ дм^2$ и $250\ см^2$. Переведём $3\ дм^2$ в квадратные сантиметры: $3\cdot100=300\ см^2$. Сравним одинаковые единицы: $300\ см^2>250\ см^2$. Следовательно, $3\ дм^2>250\ см^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главное — не потерять два нуля и обязательно сравнить величины в одинаковых единицах. Теперь используем это умение в задаче, связанной с оформлением школьного пространства."
Этап 7. Включение в систему знаний. Межпредметная практическая задача (5 мин)
Цель этапа: применить преобразование единиц площади в реальной ситуации и связать математику с технологией и окружающим миром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране план клумбы и читает условие: "Школьники хотят украсить стенд квадратной бумагой площадью $2\ дм^2$. Для рамки у них есть прямоугольный лист площадью $1500\ см^2$. Хватит ли листа, чтобы вырезать квадратную бумагу? На сколько квадратных сантиметров площадь листа больше?" Учитель напоминает: "Сначала определите, в каких единицах удобнее сравнивать." | В парах обсуждают, переводят $2\ дм^2=200\ см^2$, выбирают единицу $см^2$, записывают план решения. |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить решение, а остальные проверить: "Назовите не только ответ, но и действие, которым вы его получили. Где здесь проявляется связь математики с технологией?" | Представляют решение: $1500-200=1300\ см^2$; формулируют ответ: «Листа хватит, площадь листа больше на $1300\ см^2$». Объясняют, что расчёт площади нужен при изготовлении рамки и выборе материала. |
1 мин | Учитель обобщает: "В подобных задачах единицы измерения — это часть ответа, а не украшение записи. Если единицы разные, сравнение откладываем до перевода к одной единице." | Повторяют алгоритм в виде трёх шагов: «выбрать единицу, перевести, сравнить или вычислить». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили правило не только к отдельным примерам, но и к ситуации выбора материала. Осталось обобщить, чему научились, и определить, какой шаг алгоритма стал для каждого самым важным."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и получить посильное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры: "Заполните билет на выход. Закончите три фразы: «Сегодня я узнал…»; «Чтобы сравнить площади, нужно…»; «Мне нужно потренироваться…». Затем поставьте рядом значок: уверенно, почти уверенно или нужна помощь." | Пишут ответы: «$1\ дм^2=100\ см^2$», «сначала привести к одной единице», «мне нужно потренироваться делить на 100». Прикрепляют стикеры к доске в разделе «Узнал — Применю — Повторю». |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; если чувствуете уверенность, добавьте повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте устно на два вопроса: сколько квадратных сантиметров в $5\ дм^2$ и почему $300\ см^2=3\ дм^2$?" | Отвечают: «$500\ см^2$», «потому что в одном квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров, а $300:100=3$». Записывают задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — выполнены все обязательные задания и практическая задача, правильно установлены соотношения, все величины переведены к одинаковой единице, вычисления и ответы записаны с единицами площади; допущено не более одной несущественной ошибки, исправленной при самопроверке.
- «4» — правильно выполнены не менее 4 заданий из 5, соотношения поняты, но допущена одна ошибка в вычислении, записи нулей или оформлении единицы; ход решения в целом верный.
- «3» — правильно выполнены не менее 3 базовых заданий, ученик понимает необходимость перевода величин к одной единице, но нуждается в помощи при выборе действия или сравнении.
- «2» — выполнено менее трёх базовых заданий либо отсутствует понимание соотношений; работа требует повторного объяснения по модели квадратного дециметра.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о соотношении квадратного дециметра и квадратного сантиметра? | Выявление осознания основного математического содержания урока. |
Какой шаг алгоритма помогает сравнивать площади с разными единицами? | Проверка понимания последовательности действий. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в переводе единиц и решении задач. |
В каком случае вы покажете зелёный, жёлтый или красный сигнал? | Получение субъективной оценки уровня освоения темы и планирование помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились сравнивать площади не только по внешнему виду, но и с помощью одинаковых квадратных единиц. Мы установили, что $1\ дм^2=100\ см^2$ и $1\ м^2=100\ дм^2$, а затем применили эти соотношения в практической задаче. Помните о типичной ошибке: нельзя сравнивать числа, если рядом стоят разные единицы площади. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на нахождение площади прямоугольника и будем выбирать наиболее удобную единицу измерения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на перевод единиц площади: два перехода от $дм^2$ к $см^2$, один переход от $см^2$ к $дм^2$ и один переход от $м^2$ к $дм^2$. Записать промежуточное действие и единицу ответа. | Закрепляет соотношения между квадратными единицами; при проверке обратить внимание на направление перевода и наличие двух нулей или деления на 100. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сравнение площадей, выраженных в разных единицах, и одну практическую задачу о выборе материала для покрытия стола, ковра или клумбы. | Формирует умение приводить величины к одной единице и применять правило в жизненном контексте; при проверке смотреть на обоснование знака сравнения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о площадях двух предметов, используя $см^2$ и $дм^2$, решить её двумя способами: переводом единиц и сравнением по числу квадратов или разности. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценить реалистичность условия, правильность единиц и полноту ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Сколько квадратных сантиметров в $1\ дм^2$?», «Что делаем, если площади записаны в разных единицах?», «Во сколько раз изменяется числовое значение при переходе от квадратных дециметров к квадратным сантиметрам?»
