Связь деления и умножения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся составлять по одному равенству на умножение и два связанных с ним равенства на деление, решать не менее 4 из 5 учебных заданий и объяснять взаимосвязь действий.
- Сформировать представление о делении как действии, обратном умножению, на основе предметных моделей и таблицы умножения.
- Научить проверять результат деления умножением и применять связь действий при решении текстовых задач.
- Развивать умение рассуждать, сравнивать способы решения, работать в паре и аргументировать ответ.
- Воспитывать внимательность, взаимопомощь, интерес к математике и ответственное отношение к результату собственной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску способа решения учебной проблемы.
- Осознают ценность взаимопомощи при совместной работе в паре.
- Понимают значение самопроверки и аккуратной записи вычислений.
- Положительно оценивают собственный прогресс и готовы исправлять ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из схем, равенств, таблицы и интерактивного задания.
- Сравнивают умножение и деление, устанавливают обратную связь между действиями.
- Сотрудничают в парах, распределяют действия и аргументируют выбранный ответ.
- Проверяют результат по эталону, находят и исправляют ошибку.
Предметные
- Знать, что умножение и деление являются взаимно обратными действиями.
- Уметь по равенству на умножение составлять два равенства на деление.
- Уметь проверять деление умножением и находить неизвестный множитель или делитель.
- Уметь решать простые текстовые задачи на деление и объяснять выбор действия.
- Владеть терминологией: делимое, делитель, частное, множители, произведение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться пользоваться связью умножения и деления.
- Проявляют готовность спокойно воспринимать ошибку как шаг к пониманию.
- Оценивают вклад партнёра и собственное участие в общей работе.
- Сохраняют положительную мотивацию при выполнении задания повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность: составить равенства, решить, проверить.
- Контролируют вычисления по таблице умножения и обратному действию.
- Сравнивают работу с эталоном, исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат с помощью листа самооценки и сигнальных карточек.
Познавательные УУД
- Моделируют деление предметной схемой и группировкой объектов.
- Устанавливают закономерность между произведением и частными.
- Классифицируют равенства в семейства взаимосвязанных выражений.
- Используют таблицу умножения как средство проверки деления.
- Переводят условие текстовой задачи в математическую модель.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ на вопрос и поясняют ход рассуждения.
- Задают партнёру уточняющие вопросы: «Почему выбрано деление?»
- Согласовывают общий ответ и распределяют роли в парной игре.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с рисунками предметов, равенствами и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить карточки с числами и знаками «×», «:», «=» для каждой пары.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею составлять связанные равенства», «Я умею проверять деление», «Я могу объяснить решение задачи».
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на ученика.
- Разместить на доске памятку: «Произведение : множитель = другой множитель» и «частное × делитель = делимое».
- Подготовить 24 фишки или изображения яблок для моделирования деления на группы.
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску с интерактивными упражнениями и таймером.
- Подобрать межпредметный сюжет о распределении семян по одинаковым пакетам для связи с окружающим миром и трудом.
- Приготовить магнитные изображения команд «Умножение» и «Деление» для игровой эстафеты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой, вызвать интерес к теме и включить детей в проблемный диалог.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к математическому исследованию: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня нам предстоит не просто считать, а разгадать связь двух действий. Покажите большой палец, если готовы работать внимательно." | Проверяют принадлежности, садятся правильно, показывают сигнал готовности. |
2 мин | Учитель показывает на экране 12 яблок и задаёт проблемный вопрос: "Нужно разложить 12 яблок поровну в 3 корзины. Каким действием узнаем, сколько яблок будет в каждой корзине? А можно ли проверить ответ другим действием? Пока не называйте правило, попробуйте догадаться." | Рассматривают модель, предлагают: «Нужно разделить 12 на 3», «Проверить можно умножением: 4 умножить на 3 — получится 12». Формулируют предположение о связи действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что деление можно проверить умножением. Сейчас вспомним известные факты и выясним, как составлять связанные равенства."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать таблицу умножения, термины и смысл деления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит игровую разминку «Математический мяч»: "Я называю первый множитель и второй множитель, а вы быстро называете произведение. Если ответ не готов, передайте ход соседу — мы учимся помогать, а не спешить." Учитель предлагает: 3 и 4, 5 и 2, 6 и 3, 4 и 7. | По очереди называют произведения: «12», «10», «18», «28». При затруднении находят ответ по таблице умножения. |
3 мин | Учитель показывает на доске равенство $4 \times 3 = 12$ и спрашивает: "Как называются числа 4 и 3? Как называется число 12? Что означает выражение 12 : 3? Что означает 12 : 4? Запишите два последних выражения в тетрадь." | Отвечают: «4 и 3 — множители, 12 — произведение». Объясняют деление как распределение на равные группы и записывают $12 : 3 = 4$, $12 : 4 = 3$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили множители, произведение и смысл деления. Но пока не сформулировали общее правило. Найдём его через исследование примеров."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает диалог: "Сравните три записи: $5 \times 4 = 20$, $20 : 5 = 4$, $20 : 4 = 5$. Как вы думаете, случайно ли они связаны? Что общего у чисел? Каким действием можно проверить деление?" Учитель фиксирует детские гипотезы на доске. | Обсуждают в парах 30 секунд, затем формулируют гипотезы: «Во всех равенствах используются одни и те же числа», «Деление возвращает один из множителей», «Умножение проверяет деление». |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируем цель. Сегодня мы узнаем, как по одному равенству на умножение составлять два равенства на деление и как использовать эту связь при проверке и решении задач. Назовите план действий." | Предлагают план: «Вспомнить умножение, составить равенства, потренироваться, решить задачу, проверить себя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена, план определён. Теперь проведём маленькое математическое исследование и сами откроем правило."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания. Работа с моделью и ИКТ (8 мин)
Цель этапа: вывести правило связи умножения и деления и научиться составлять семейство равенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на экране 18 фишек, объединённых в 3 одинаковые группы: "Посмотрите, перед нами 18 фишек. В каждой из 3 групп по 6. Запишем равенство: $3 \times 6 = 18$. Если известно общее количество и число групп, как узнать количество фишек в группе? Если известно общее количество и размер группы, как узнать число групп?" | Пересчитывают группы, отвечают: «18 разделить на 3 — получится 6», «18 разделить на 6 — получится 3». Составляют $18 : 3 = 6$ и $18 : 6 = 3$. |
3 мин | Учитель на интерактивной доске перемещает числа в шаблон: "Обратите внимание: произведение становится делимым, а каждый множитель по очереди становится делителем. Вторым множителем становится частное. Повторите правило полным предложением." | Составляют и проговаривают: «Если произведение разделить на один множитель, получится другой множитель». Записывают правило в тетрадь. |
2 мин | Учитель предлагает интерактивное задание «Собери семейство»: "Перетащите числа 7, 3 и 21 в три равенства. Объясните, почему равенства связаны." | По очереди выполняют задание у доски или на планшете, составляют $7 \times 3 = 21$, $21 : 7 = 3$, $21 : 3 = 7$. Объясняют связь. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $a \times b = c$; $c : a = b$; $c : b = a$. Правило: «Деление можно проверить умножением: частное умножить на делитель — получим делимое».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило: каждому равенству на умножение соответствуют два равенства на деление. Сейчас проверим новое знание в движении и убедимся, что умеем применять его быстро и точно."
Этап 5. Физкультминутка-игра «Умножение — деление» (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить математические термины через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: "Если я называю умножение, соедините ладони над головой. Если называю деление, разведите руки в стороны. Если называю произведение — присядьте, если частное — потянитесь вверх. Выполняем движения точно, без толчков." | Повторяют движения по инструкции, проговаривают названия действий. |
2 мин | Учитель проводит игру с примерами: $3 \times 4$, $12 : 3$, $5 \times 2$, $10 : 5$. Затем говорит: "Назовите результат и покажите движение, соответствующее действию." | Показывают движения, называют: «12», «4», «10», «2». Исправляют ошибки по сигналу класса. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы отдохнули и ещё раз связали действие, выражение и результат. Теперь применим правило в заданиях разной сложности."
Этап 6. Первичное закрепление. Парная игра «Математическое домино» (8 мин)
Цель этапа: закрепить составление связанных равенств и развивать сотрудничество.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточки с равенствами и объясняет: "Сначала найдите карточку с умножением, затем подберите к ней два равенства на деление. Один ученик составляет выражения, второй проверяет по правилу, затем поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, находят семейства равенств, проверяют друг друга. |
3 мин | Учитель предлагает базовый набор: $2 \times 6 = 12$, $4 \times 5 = 20$, $3 \times 7 = 21$. Реплика: "Запишите для каждого примера два равенства на деление. Не забывайте проговаривать, какое число является делимым." | Записывают $12 : 2 = 6$, $12 : 6 = 2$ и аналогичные пары для 20 и 21. Объясняют выбор делимого и делителя. |
3 мин | Учитель предлагает выбор: "Кто готов к повышенному уровню, составьте своё семейство равенств с числами из таблицы умножения. Остальные выберите карточку с подсказкой. В конце пара прикрепит одно семейство на доску." | Выполняют базовое или повышенное задание, прикрепляют карточку, проводят взаимопроверку по памятке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство пар правильно составили семейства равенств. Если деление вызывает сомнение, его всегда можно проверить умножением. Перейдём к самостоятельной работе и проверим личный результат."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание связи умножения и деления и обеспечить дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Базовый уровень обязателен для всех. Повышенный и высокий можно выполнить дополнительно. Работайте самостоятельно, сначала решите, затем проверьте." | Выбирают карточку с учётом самооценки, подписывают работу. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: дополнить $6 \times 4 = 24$, $24 : 6 = \Box$, $24 : 4 = \Box$; решить $18 : 3$. Повышенный: составить семейства для $8 \times 3$ и $5 \times 6$; решить задачу: «24 карандаша разложили поровну в 4 пенала. Сколько карандашей в каждом пенале?» Высокий: придумать текстовую задачу к выражению $36 : 6$ и записать проверку. | Решают выбранные задания, записывают равенства и краткое решение задачи. Сильные ученики составляют собственную задачу и проверку. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: $24 : 6 = 4$, проверка $4 \times 6 = 24$; $24 : 4 = 6$, проверка $6 \times 4 = 24$. Говорит: "Проверьте каждую строку, подчеркните ошибку, если она есть, и исправьте её рядом. Поднимите зелёную карточку, если всё верно, жёлтую — если нужна помощь." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, поднимают сигнальные карточки, формулируют причину затруднения. |
Эталон решения
$24 : 4 = 6$, потому что $6 \times 4 = 24$. Ответ: в каждом пенале 6 карандашей. Проверка: количество карандашей в одном пенале умножаем на число пеналов: $6 \times 4 = 24$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы показали, что умеете выбирать посильный уровень, решать и проверять. Осталось применить правило в жизненной ситуации и доказать, почему выбранное действие подходит."
Этап 8. Включение в систему знаний. Межпредметная задача (3 мин)
Цель этапа: применить связь действий при решении задачи с практическим и межпредметным содержанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает рисунок с 30 семенами и 5 одинаковыми пакетами: "На занятии по окружающему миру ребята подготовили 30 семян для посадки и разложили их поровну в 5 пакетиков. Сколько семян в каждом пакетике? Каким действием решим задачу? Как проверим результат? Запишите краткую запись, решение и ответ." | Выделяют известные величины, записывают $30 : 5 = 6$, формулируют ответ: «В каждом пакетике 6 семян». Проверяют: $6 \times 5 = 30$. Объясняют, что деление выбрано для равного распределения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы использовали математическое правило в ситуации, связанной с посадкой растений. Теперь подведём итог урока и определим, чему каждый научился."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте один пункт: я могу составить два деления по умножению; я могу проверить деление; я могу объяснить решение задачи. Внизу допишите: «Мне ещё нужно потренироваться в...»." | Заполняют лист самооценки, отмечают сильную сторону и одно затруднение. |
1 мин | Учитель говорит: "Закончите фразу: «Сегодня я узнал...», «Теперь я могу...». Домашнее задание выберите по уровню, а перед выходом ответьте: если $7 \times 4 = 28$, чему равны $28 : 7$ и $28 : 4$?" | Формулируют ответы: «Сегодня я узнал связь умножения и деления», «Теперь я могу проверить деление умножением». Отвечают: «4 и 7». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания выбранной карточки, составлены связанные равенства, решение текстовой задачи оформлено с пояснением и выполнена проверка умножением.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но связь умножения и деления понята и способ проверки выбран верно.
- «3» — выполнено не менее половины обязательных заданий, допущены ошибки в одном из равенств или проверке, но ученик с помощью памятки объясняет общий способ.
- Ниже базового уровня — требуется дополнительная работа с моделью равных групп и индивидуальная помощь при составлении связанных равенств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи умножения и деления? | Проверить осознание основного математического правила. |
Как по равенству $6 \times 4 = 24$ получить два равенства на деление? | Выявить понимание алгоритма составления семейства равенств. |
Как проверить результат деления? | Проверить осознание обратного действия как средства самоконтроля. |
Какое задание было для вас самым сложным и почему? | Выявить индивидуальные затруднения и потребность в дифференцированной поддержке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что умножение и деление связаны и помогают проверять друг друга. Если произведение разделить на один множитель, получится другой множитель. Важно не путать делимое и делитель и всегда проверять деление умножением. Вы хорошо работали в парах, рассуждали и выбирали подходящий уровень. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на деление и будем учиться находить неизвестный компонент действия."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 примеров: по данным равенствам на умножение составить два равенства на деление; решить 2 простых примера на деление и выполнить проверку умножением. | Закрепляет алгоритм составления связанных равенств и навык самопроверки; при проверке обратить внимание на правильный выбор делимого и делителя. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на равное распределение или группировку, записать краткое условие, решение, ответ и проверку умножением. | Формирует умение выбирать деление по смыслу ситуации и объяснять связь компонентов действий. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать две задачи: одну на равное распределение и одну на образование групп, используя числа из таблицы умножения; решить их и составить обратные равенства. | Развивает создание математической модели, различение смыслов деления и самостоятельное применение правила. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие два действия являются взаимно обратными?», «Какое число в делении называют делимым?», «Как проверить равенство $32 : 4 = 8$ умножением?». Ожидаемый ответ: «$8 \times 4 = 32$».
