Конструирование и сравнение площадей геометрических фигур
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться разбивать геометрическую фигуру на части и составлять из частей новую фигуру, изображать на клетчатой бумаге прямоугольник с заданной площадью и сравнивать площади фигур способом наложения.
- Сформировать умение находить разные способы разбиения геометрической фигуры на части и составления фигуры из предложенных частей.
- Научить изображать на клетчатой бумаге прямоугольники с заданным значением площади, подбирая длины сторон в клетках.
- Закрепить умение сравнивать площади фигур с помощью наложения и объяснять полученный вывод.
- Развивать навыки сотрудничества в паре, математической речи, самоконтроля и осознанного отношения к результату своей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к конструированию фигур и поиску нескольких способов решения одной задачи.
- Осознают ценность точности, аккуратности и доведения практической работы до результата.
- Формируют положительную учебную мотивацию через исследовательскую и парную деятельность.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и доброжелательно принимают мнение одноклассника.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют части фигуры, устанавливают связи между формой фигуры и её площадью, моделируют фигуры на клетчатой бумаге.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность действий, проверяют чертёж и корректируют ошибки.
- Коммуникативные: договариваются о способе решения, объясняют партнёру ход рассуждений и аргументируют сравнение площадей.
- Используют цифровое изображение клетчатого поля для проверки построенных прямоугольников и формулируют вывод по результатам наблюдения.
Предметные
- Знать, что фигуру можно разбить на части и составить из частей другую фигуру.
- Уметь составлять геометрическую фигуру из предложенных частей и описывать способ составления.
- Уметь изображать на клетчатой бумаге прямоугольник с заданной площадью, подсчитывая количество клеток.
- Уметь сравнивать площади фигур способом наложения и объяснять случаи равенства, большей и меньшей площади.
- Уметь выполнять построения аккуратно и проверять результат подсчётом клеток.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл практической работы с фигурами и связь математики с конструированием.
- Проявляют готовность к самостоятельному поиску решения, даже если первый способ оказался неудачным.
- Оценивают собственную работу по понятным критериям: точность, полнота, аккуратность.
- Соблюдают правила сотрудничества и уважительно относятся к идеям партнёра.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы: построить фигуру с заданной площадью и сравнить площади.
- Планируют действия: выбрать способ разбиения, выполнить построение, подсчитать клетки, проверить результат.
- Осуществляют самопроверку по образцу и с помощью наложения одной фигуры на другую.
- Обнаруживают неточности в чертеже и исправляют их до предъявления результата.
Познавательные УУД
- Различают целую фигуру и её части, устанавливают, как части соединяются между собой.
- Сравнивают способы построения прямоугольников с одинаковой площадью.
- Используют клетку как единицу измерения площади и строят простую математическую модель.
- Формулируют вывод на основе наблюдения, подсчёта и наложения фигур.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: конструктор, проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему площадь получилась такой?», «Как ты проверил?».
- Объясняют способ решения полными предложениями и используют математические термины.
- Сравнивают результаты разных пар без отрицательной оценки чужого способа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями разрезанной фигуры, набора геометрических частей, двух фигур для наложения и клетчатого поля.
- Распечатать карточки с наборами геометрических частей: по одному набору на каждую пару; предусмотреть 2–3 варианта сложности.
- Распечатать листы в клетку с заданиями на построение прямоугольников площадью 6, 8, 12 и 15 квадратных единиц — по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить прозрачные или вырезанные из бумаги фигуры для сравнения площадей — по одному комплекту на пару.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывесить на доске памятку: «1. Выбери стороны. 2. Построй по клеткам. 3. Подсчитай клетки. 4. Проверь».
- Подготовить интерактивную доску или проектор с цифровым клетчатым полем для демонстрации и проверки построений.
- Подготовить ножницы, карандаши, линейки и цветные карандаши; проверить безопасное использование ножниц.
- Разложить на парты карточки, бумажные фигуры и листы клетчатой бумаги до начала урока.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и вызвать интерес к исследованию фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не только считать, но и конструировать. Проверьте, пожалуйста, чтобы на парте были тетрадь, карандаш, линейка и цветные карандаши. Работать мы будем как настоящие исследователи: сначала предположим, затем проверим результат." | Проверяют готовность к уроку, раскладывают материалы, садятся по парам. |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение большой фигуры, разделённой на несколько частей: "Посмотрите на экран. Как вы думаете, можно ли из этих частей собрать другую фигуру? Изменится ли при этом площадь? Сегодня мы попробуем ответить на эти вопросы и построить свои прямоугольники на клетчатом поле." | Рассматривают изображение, высказывают предположения: "Фигуру можно собрать по-другому", "Площадь частей останется той же". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам предстоит проверить, как части образуют целое, научиться строить прямоугольники заданной площади и выяснить, как сравнить площади двух фигур. Начнём с того, что уже умеем делать с клетками и фигурами."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о прямоугольнике, клетке и площади фигуры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что такое площадь фигуры. Сначала подумайте молча, затем обсудите ответ с соседом. Какая фигура называется прямоугольником? Что можно использовать как единицу измерения площади на клетчатой бумаге?" | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в паре и готовят общий вариант: "Площадь показывает, сколько места занимает фигура", "Единицей может быть одна клетка". |
3 мин | Учитель показывает на экране прямоугольник размером 3 клетки в длину и 2 клетки в ширину: "Посчитайте, сколько клеток внутри фигуры. Можно ли найти это количество быстрее, чем пересчитывать каждую клетку? Объясните способ. Теперь назовите несколько прямоугольников, площадь которых равна 6 клеткам." | Подсчитывают 6 клеток, объясняют: "Можно умножить 3 на 2". Называют варианты: 1 на 6 и 2 на 3, показывают их на клетчатом листе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь можно измерять квадратными клетками, а количество клеток в прямоугольнике удобно находить умножением длины на ширину. Теперь проверим, что произойдёт, если фигуру разрезать и собрать иначе."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить учебное затруднение и сформулировать план открытия нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре конверт с четырьмя бумажными частями фигуры: "Соберите из частей прямоугольник. Не приклеивайте детали, пока не убедитесь, что они соединены без промежутков и наложений. Попробуйте найти хотя бы один способ, а если получится — второй." | В парах перемещают части, прикладывают их сторонами, устраняют промежутки и составляют прямоугольник. |
3 мин | Учитель задаёт проблемные вопросы: "У всех ли получилась одна и та же фигура? Изменилось ли количество частей? Изменилась ли площадь? Как это доказать? Что нам понадобится научиться делать на уроке?" Учитель фиксирует детские формулировки на доске и вместе с классом уточняет цель. | Предполагают: "Площадь не изменилась, потому что части те же", формулируют цель: "Научиться разбивать и составлять фигуры, строить прямоугольник заданной площади и сравнивать площади наложением". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: внешний вид фигуры может измениться, а количество её частей остаётся тем же. Сейчас мы откроем способы конструирования и научимся подтверждать свои предположения точным подсчётом."
Этап 4. Открытие нового знания. Конструирование и построение на клетчатой бумаге (10 мин)
Цель этапа: открыть способы составления фигур из частей и построения прямоугольника с заданной площадью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске набор частей: "Посмотрите, как две части можно соединить общей стороной. Между ними не должно оставаться промежутка, а одна часть не должна заходить на другую. Если фигуру разрезали на части, то при новом расположении части занимают ту же площадь. Какие варианты можно получить, если повернуть одну часть?" Учитель просит одну пару показать свой способ. | Поворачивают бумажные детали, составляют новую фигуру, показывают её классу. Объясняют: "Мы повернули треугольник и приложили его к другой стороне". |
3 мин | Учитель выводит на экран клетчатое поле: "Нужно построить прямоугольник площадью 12 квадратных единиц. Вспомните варианты разложения числа 12 на два множителя. Начертите один прямоугольник, а затем попробуйте построить другой, не такой же по форме." | Записывают варианты 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4; строят прямоугольники 2 на 6 и 3 на 4, считают клетки. |
3 мин | Учитель показывает памятку: "Проверяем построение по четырём шагам: считаем клетки в длину, считаем клетки в ширину, умножаем, затем пересчитываем клетки внутри. Если результат совпал, построение верное. Что будет с площадью, если прямоугольник 3 на 4 заменить на прямоугольник 2 на 6?" | Проверяют свои чертежи по памятке, отвечают: "Площадь останется 12 квадратных единиц, хотя форма будет другой". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Площадь фигуры можно измерять квадратными единицами. Фигуру можно разбить на части и составить из них другую фигуру. Если все части сохранены и расположены без промежутков и наложений, площадь не изменяется». Затем выполняют чертежи прямоугольников 2 на 6 и 3 на 4.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что одну и ту же площадь можно представить разными прямоугольниками, а части фигуры можно переставлять. Теперь потренируемся сравнивать площади не только подсчётом, но и наложением."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить умение составлять фигуры и сравнивать их площади способом наложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку «Геометрические фигуры»: "Встаньте рядом с партой. Руками покажите прямоугольник — вытяните их в стороны. Теперь покажите квадрат — соедините ладони над головой. Сделайте шаг вправо, если я называю фигуру с большей площадью, и шаг влево, если с меньшей: прямоугольник 2 на 3 и квадрат 2 на 2. Между командами возвращаемся на место спокойно." | Выполняют движения, сравнивают площади: у прямоугольника 2 на 3 площадь 6, у квадрата 2 на 2 площадь 4; делают шаг вправо. |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре две вырезанные фигуры и объясняет приём «Наложение»: "Положите фигуру А на фигуру Б, совместите один угол и одну сторону. Если контуры совпали полностью, площади равны. Если часть одной фигуры выступает, определите, какая площадь больше. Работайте аккуратно и проговаривайте вывод партнёру." | В парах накладывают фигуры, совмещают стороны, определяют: "Фигура А больше, потому что её часть выступает за контур фигуры Б" или "Площади равны, контуры совпали". |
2 мин | Учитель предлагает две пары показать разные результаты и спрашивает: "Можно ли всегда сравнить площади только по внешнему виду? Почему наложение надёжнее догадки?" Учитель уточняет ответы и исправляет неточные формулировки. | Показывают свои пары фигур, объясняют, что большая по длине сторона не всегда означает большую площадь; делают вывод: "Наложение позволяет увидеть совпадение или выступающую часть". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и убедились, что сравнивать площади нужно не только по виду. Наложение помогает увидеть совпадение границ и лишнюю часть. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он построить фигуру и объяснить свой результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов построения и сравнения площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней: "Выберите уровень, с которого уверенно начнёте. На базовом уровне постройте прямоугольник площадью 8 квадратных единиц и подпишите размеры. На повышенном уровне постройте два разных прямоугольника площадью 15 квадратных единиц. На дополнительном уровне разделите нарисованную фигуру на три части и составьте из них другую фигуру. Работайте молча, проверяйте клетки по памятке." | Выполняют выбранное задание индивидуально: строят прямоугольник 2 на 4, варианты 3 на 5 и 1 на 15 либо выполняют разбиение фигуры на части. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон построений и организует самопроверку: "Сравните свой чертёж с эталоном не по внешнему сходству, а по числу клеток. Проверьте, совпадает ли площадь с условием, есть ли у прямоугольника прямые углы и нет ли пропусков клеток. Отметьте карандашом плюс за выполненный пункт и исправьте найденную ошибку." | Сверяют построение с эталоном, подсчитывают клетки, исправляют ошибки, ставят отметки в листе самопроверки. |
Эталон решения
Для прямоугольника площадью 8 квадратных единиц подходят размеры 2 клетки на 4 клетки: $2 \times 4 = 8$. Для площади 15 подходят размеры 3 клетки на 5 клеток: $3 \times 5 = 15$, а также 1 клетка на 15 клеток: $1 \times 15 = 15$. При проверке разбиения важно убедиться, что все части использованы, не наложены друг на друга и между ними нет промежутков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете строить прямоугольники с заданной площадью и проверять себя подсчётом клеток. Осталось осознать, чему каждый научился и какое действие ещё требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы действия, провести самооценку и определить содержание дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы умеете составлять фигуру из частей, строить прямоугольник заданной площади и сравнивать площади наложением. Жёлтая карточка означает, что один способ пока требует помощи. Красная — что нужно разобрать действие ещё раз. Запишите рядом с цветом, какое именно действие вы выбрали." | Поднимают карточки, записывают: «Я умею строить прямоугольник», «Мне нужно потренироваться сравнивать площади наложением». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что происходит с площадью, если части фигуры переставить без промежутков и наложений? Как построить прямоугольник площадью 12 клеток? Как проверить, какая из двух фигур имеет большую площадь?" | Отвечают: "Площадь не изменяется", "Можно взять размеры 2 на 6 или 3 на 4", "Нужно наложить фигуры или подсчитать клетки". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем по желанию выполните повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: почему два прямоугольника разной формы могут иметь одинаковую площадь?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Потому что произведения длины и ширины могут быть одинаковыми". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы работали как конструкторы и исследователи: разбивали фигуры на части, собирали новые, строили прямоугольники заданной площади и сравнивали фигуры наложением. Важно помнить: внешний вид может измениться, но площадь сохраняется, если части не потеряны и не перекрывают друг друга. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на измерение и сравнение площадей."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, прямоугольник построен аккуратно, площадь подтверждена подсчётом клеток, сравнение фигур объяснено способом наложения.
- «4» — выполнено большинство заданий, допущена одна неточность в построении или объяснении, но способ действия в целом выбран верно и ошибка исправлена после самопроверки.
- «3» — выполнено базовое задание с помощью памятки, но допущены ошибки в подсчёте клеток, построении или формулировке вывода; ученик понимает, что нужно исправить.
- Ниже базового уровня — работа требует дополнительной поддержки: ученик не смог построить прямоугольник заданной площади или объяснить результат сравнения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о разбиении и составлении фигур? | Выявление осознания сохранения площади при перестановке частей. |
Как построить прямоугольник площадью 12 квадратных единиц? | Проверка понимания связи площади с количеством клеток и размерами прямоугольника. |
Как вы определяли, какая фигура имеет большую площадь? | Выявление владения способом наложения и умения объяснить вывод. |
Какое действие оказалось самым сложным и какая помощь нужна? | Определение индивидуальных затруднений и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть фигуру не только целиком, но и как набор частей, из которых можно составить новую фигуру. Мы убедились, что одинаковую площадь можно представить прямоугольниками разной формы. Не забывайте проверять построение подсчётом клеток, а сравнение площадей — наложением, а не только по внешнему виду. На следующем уроке мы продолжим работать с площадью и будем применять эти способы в задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания: построить на клетчатой бумаге прямоугольники площадью 6, 8 и 12 квадратных единиц; подписать размеры сторон и количество клеток. | Закрепляет построение прямоугольника с заданной площадью; при проверке обратить внимание на точность чертежа и правильность подсчёта клеток. |
Средний (повышающий) | Выполнить 2 задания: построить по два разных прямоугольника площадью 12 и 18 квадратных единиц; сравнить две вырезанные или нарисованные фигуры способом наложения и записать вывод. | Формирует умение находить несколько решений и аргументировать сравнение площадей; проверить наличие объяснения, а не только ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Разделить произвольную фигуру на 4 части, вырезать их и составить из тех же частей другую фигуру; зарисовать обе фигуры и объяснить, почему их площади равны. | Развивает пространственное мышление, конструкторские навыки и умение доказывать сохранение площади при перестановке частей. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют площадью фигуры? Как проверить площадь прямоугольника на клетчатой бумаге? Что нужно сделать, чтобы сравнить площади двух фигур наложением? Почему при перестановке частей площадь может не измениться?»
