Задачи, обратные данной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять и решать две задачи, обратные данной, используя схему и проверку действиями, и правильно оформить решение в тетради.
- Познакомить учащихся с понятием обратной задачи и установить связь между условием, вопросом и решением исходной задачи.
- Научить составлять обратную задачу по данной задаче и решать её с опорой на схему, краткую запись и выбор арифметического действия.
- Развивать умение анализировать текст задачи, сравнивать задачи, работать в паре, объяснять свой выбор и проверять результат.
- Воспитывать внимательность, интерес к математике, готовность сотрудничать и доброжелательно оценивать работу одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к решению задач через игровую ситуацию и понимание практического смысла обратных действий.
- Осознают важность внимательного чтения условия и проверки полученного ответа.
- Положительно относятся к совместной работе, принимают помощь одноклассника и стремятся довести задание до конца.
- Формируют навык самооценки: определяют, что уже умеют и над чем необходимо поработать.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют условие и вопрос задачи, устанавливают связь между величинами, составляют схему и выбирают арифметическое действие.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность решения, сверяют результат с условием и исправляют ошибку.
- Коммуникативные: формулируют вопросы, объясняют ход рассуждения, работают в паре и договариваются о совместном ответе.
- Используют интерактивную доску или презентацию для сравнения задач, размещения числовых данных и проверки ответа.
Предметные
- Знать, что обратная задача составляется на основе данной задачи при изменении вопроса и одного из известных данных.
- Уметь находить в задаче условие, вопрос, известные и неизвестные величины.
- Уметь составлять и решать задачи, обратные данной, с числами в пределах 100.
- Уметь записывать решение выражением, формулировать ответ и выполнять проверку обратным действием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Понимают личную значимость умения проверять решение и находить ошибку.
- Проявляют учебную мотивацию в игровой ситуации «Математический детектив».
- Оценивают собственный вклад в работу пары и принимают результат без сравнения себя с другими.
- Сохраняют положительное отношение к математике при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель: научиться составлять задачи, обратные данной.
- Планируют действия: прочитать задачу, выделить данные, изменить вопрос, решить и проверить.
- Контролируют правильность выбранного действия по смыслу задачи.
- Оценивают работу по чек-листу и исправляют неточности после самопроверки.
Познавательные УУД
- Различают условие, вопрос, известные и неизвестные данные.
- Моделируют задачу с помощью краткой записи, схемы и числовых выражений.
- Сравнивают исходную и обратную задачи, находят общее и различия.
- Устанавливают взаимосвязь сложения и вычитания как взаимно обратных действий.
Коммуникативные УУД
- Слушают партнёра и задают уточняющий вопрос по условию задачи.
- Распределяют роли: один ученик читает и составляет краткую запись, другой выбирает действие и проверяет.
- Аргументируют ответ фразой «Я выбрал действие ..., потому что ...».
- Договариваются о единой формулировке обратной задачи и корректно оценивают работу пары.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с рисунком: 8 красных яблок и 5 зелёных яблок, а также с карточками «дано», «спросили», «найти».
- Распечатать карточки с исходной задачей и двумя вариантами обратных задач — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить для каждой пары конверт с тремя карточками: числа 13, 8, 5; знаки «+» и «−»; слова «было», «стало», «добавили».
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я нашёл условие», «Я изменил вопрос», «Я выбрал действие», «Я проверил ответ» — по одному на ученика.
- Подготовить зелёные и жёлтые сигнальные карточки — по одной паре на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: 1) прочитай; 2) выдели данные; 3) измени вопрос; 4) реши; 5) проверь.
- Подготовить учебник по теме урока для работы с текстом и иллюстрацией, без указания конкретной страницы.
- Обеспечить оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, таймер на 2–3 минуты.
- Подготовить магнитные изображения корзины, яблок и числовых карточек для фронтальной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать положительный настрой и включить учащихся в учебную задачу через игровую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к уроку: тетрадь лежит прямо, ручка пишет, учебник открыт на нужной теме. Сегодня мы станем математическими детективами. Детектив внимательно читает условие, ищет важные сведения и обязательно проверяет свой вывод." | Проверяют готовность рабочего места, кладут тетрадь и учебник перед собой, показывают готовность сигнальной карточкой. |
2 мин | Учитель показывает на экране рисунок корзины с яблоками и говорит: "В корзине было 8 красных яблок и 5 зелёных. Сколько всего яблок? Как вы нашли ответ? А теперь представьте, что мы знаем всего 13 яблок и 8 красных. Как узнать, сколько зелёных? Сегодня мы увидим, как из одной задачи получить другие задачи." | Рассматривают рисунок, отвечают: "Нужно сложить 8 и 5, получится 13"; предполагают: "Нужно из 13 вычесть 8". Формулируют, что данные могут помогать находить разные неизвестные. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже заметили, что одни и те же числа могут встречаться в связанных задачах. Сейчас вспомним, как устроена обычная задача, чтобы точно увидеть, что в ней изменяется."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: повторить структуру задачи и связь сложения с вычитанием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран задачу: "На полке стояло 7 книг. Учитель поставил ещё 3 книги. Сколько книг стало на полке?" Учитель спрашивает: "Что известно? Что нужно узнать? Какое слово подсказывает действие? Запишите краткую запись и решение." | Читают задачу, называют условие и вопрос, составляют краткую запись: «Было — 7 кн., поставили — 3 кн., стало — ? кн.». Записывают решение $7+3=10$ и ответ: «10 книг». |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте, какое действие поможет проверить сложение. Затем обсудите с соседом. Объясните, почему вычитание может быть проверкой." Выслушивает две пары и фиксирует на доске: $10-3=7$. | Индивидуально выбирают проверочное действие, обсуждают его в паре и формулируют: «Если из результата вычесть известное слагаемое, получим другое слагаемое». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Сложение можно проверить вычитанием: из суммы вычесть одно слагаемое — получится другое слагаемое».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как выделять данные и вопрос, составлять краткую запись и проверять сложение вычитанием. Теперь выясним, как изменить задачу так, чтобы она стала обратной."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает исходную задачу: "В коробке было 8 синих карандашей и 5 красных. Сколько всего карандашей в коробке?" Затем рядом помещает числа 13 и 8 и спрашивает: "Составьте задачу, в которой нужно узнать, сколько красных карандашей. Что придётся изменить?" | Читают условие, называют известные числа и вопрос. Предлагают: «Нужно спросить, сколько красных карандашей»; замечают, что число 13 становится известным. |
3 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый придумайте вопрос, затем обсудите его в паре, после этого две пары объединятся и выберут самый точный вариант. Посмотрите: в первой задаче мы находили общее количество, а теперь должны найти одну часть." После обсуждения формулирует проблему: "Как составить и решить задачу, обратную данной?" | Самостоятельно предлагают вопрос, обсуждают в парах, объединяются в малые группы и формулируют цель: «Научиться составлять и решать задачи, обратные данной». Называют план: «Прочитать, изменить вопрос, записать, решить, проверить». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: мы пока не договорились, какие данные оставить известными и какой вопрос поставить. Сейчас откроем правило действия на конкретной задаче и составим памятку."
Этап 4. Открытие нового знания. Работа с учебником и ИКТ (10 мин)
Цель этапа: открыть способ составления обратной задачи через сравнение исходной и изменённых задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает обратиться к учебнику по теме урока: "Найдите в учебнике задачу с рисунком или краткой записью, похожую на нашу. Не называйте номер страницы: найдите тему по заголовку и иллюстрации. Прочитайте задачу про 8 синих и 5 красных карандашей. Что нужно найти?" Учитель одновременно показывает на доске схему: 8 + 5 = 13. | Открывают учебник на теме урока, находят задачу по заголовку и рисунку, читают её. Называют: «Известны две части, нужно найти целое». Заполняют схему: «8 карандашей + 5 карандашей = 13 карандашей». |
3 мин | Учитель на интерактивной доске переставляет карточки: число 13 помещает в раздел «известно», число 8 оставляет известным, а карточку 5 закрывает. Говорит: "Посмотрите, что изменилось? Число 13 было ответом, а теперь стало известным данным. Вопрос тоже изменился: сколько красных карандашей?" | Наблюдают за изменением схемы, отвечают: «Ответ первой задачи стал известным числом второй задачи»; формулируют новый вопрос: «Сколько красных карандашей было в коробке?». |
3 мин | Учитель вместе с классом составляет и решает обратную задачу: "В коробке было 13 карандашей. 8 из них были синими, остальные красными. Сколько было красных карандашей? Какое действие выберем? Почему?" Учитель показывает на экране запись $13-8=5$ и просит выполнить проверку. | Записывают условие и вопрос, выбирают вычитание, объясняют: «Из общего количества вычитаем известную часть». Получают $13-8=5$, отвечают: «5 красных карандашей». Проверяют: $5+8=13$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают памятку: «Обратная задача — задача, в которой известное и неизвестное меняются местами. Чтобы составить обратную задачу: 1) используй ответ данной задачи как известное число; 2) измени вопрос; 3) выбери обратное действие; 4) реши и проверь».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли способ составления обратной задачи: ответ первой задачи становится известным числом, а вопрос меняется. Теперь потренируемся делать это вместе, чтобы каждый шаг стал понятным."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления и решения обратной задачи с опорой на карточки и схему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам конверты и объясняет приём «Математический конструктор»: "Составьте из карточек исходную задачу. В вазе было 6 белых цветов и 4 жёлтых. Сколько всего цветов в вазе? Затем замените вопрос так, чтобы задача стала обратной. Используйте число-ответ как известное." | В парах выкладывают карточки «6 белых», «4 жёлтых», «всего ?», составляют краткую запись и решение $6+4=10$. Затем выкладывают число 10 среди известных данных и заменяют вопрос. |
2 мин | Учитель подходит к парам и задаёт вопросы: "Что стало известно? Какую часть теперь ищем? Какое действие обратное сложению? Прочитайте свою задачу полностью, чтобы проверить её смысл." | Отвечают: «Известно всего 10 цветов и 6 белых; неизвестно, сколько жёлтых». Составляют решение $10-6=4$ и формулируют ответ. |
2 мин | Учитель приглашает одну пару показать результат на доске, а остальные предлагает проверить по алгоритму: "Поднимите зелёную карточку, если в задаче есть условие, вопрос, решение и ответ. Жёлтую — если нужно что-то исправить." | Одна пара зачитывает обратную задачу и решение. Остальные сверяют четыре пункта, показывают сигнальные карточки и называют возможную неточность. |
Эталон решения
Исходная задача: $6+4=10$ — всего 10 цветов. Обратная задача: из 10 цветов 6 белых, остальные жёлтые. Решение: $10-6=4$. Ответ: 4 жёлтых цветка. Проверка: $6+4=10$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парах вы увидели, что обратная задача строится не случайно: мы сохраняем смысл ситуации, меняем неизвестное и используем обратное действие. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выполнить все шаги."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение составлять и решать обратную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите карточку по силам. На каждой карточке нужно сначала прочитать задачу, затем составить обратную, решить её и записать ответ. Работайте тихо, ориентируйтесь на памятку на доске." | Выбирают карточку базового, повышающего или дополнительного уровня, читают условие и выделяют данные. |
4 мин | Учитель напоминает: "Не спешите записывать только пример. В обратной задаче должны быть понятные условие и вопрос. Проверьте, стал ли ответ первой задачи известным числом. Если закончили, перечитайте задачу и выполните проверку." | Самостоятельно составляют и решают обратную задачу. Базовый вариант: «В альбоме 7 рисунков с деревьями и 2 рисунка с цветами. Сколько всего рисунков?» Учащиеся составляют задачу с данными 9 и 7 и находят 2. |
3 мин | Учитель показывает на доске эталон: исходное решение $7+2=9$; обратное решение $9-7=2$. Говорит: "Проверьте не только число, но и смысл ответа. Если нашли отличие, аккуратно исправьте его и подчеркните место исправления." | Сверяют запись с эталоном, выполняют самопроверку, исправляют ошибки. Заполняют лист: ставят отметку напротив выполненных шагов. |
Эталон решения
Исходная задача: $7+2=9$ — всего 9 рисунков. Обратная задача: «В альбоме 9 рисунков, 7 из них с деревьями, остальные с цветами. Сколько рисунков с цветами?» Решение: $9-7=2$. Ответ: 2 рисунка с цветами. Проверка: $7+2=9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя по эталону и увидели, что правильное число ещё не гарантирует правильную задачу: важно сохранить условие, вопрос и смысл. Осталось подвести итог и ответить, чему мы научились."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать способ составления обратной задачи, оценить результат и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить, что такое обратная задача; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно. Закончите фразу: «Чтобы составить обратную задачу, нужно...»" | Показывают карточки, заканчивают фразу: «Нужно ответ первой задачи сделать известным числом, изменить вопрос, выбрать обратное действие и проверить решение». |
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте галочкой, что вы сегодня сделали. Один пункт, который пока не получается, обозначьте кружком. Это не ошибка, а подсказка для следующего урока." | Заполняют лист самооценки, отмечают сильную сторону и затруднение. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите один уровень. Важно оформить не только пример, но и текст обратной задачи, вопрос и ответ. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: какое число из первой задачи переходит в условие обратной?" | Записывают домашнее задание, отвечают: «Ответ первой задачи становится известным числом обратной задачи». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать одну задачу в другую, связанную с ней по смыслу. Вы работали как настоящие математические детективы: находили данные, меняли вопрос и проверяли ответ. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и будем внимательнее выбирать неизвестную величину."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выделена исходная задача, составлена полноценная обратная задача, верно выбрано действие, записаны решение и ответ, выполнена проверка.
- «4» — обратная задача составлена по смыслу и решена верно, но допущена одна неточность в краткой записи, формулировке вопроса или оформлении проверки.
- «3» — ученик понимает связь исходной и обратной задач, но допускает ошибку в выборе действия или вычислении; после подсказки может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое обратная задача? | Проверка понимания нового понятия и связи между исходной и обратной задачами. |
Какое число из первой задачи становится известным в обратной? | Выявление понимания главного шага алгоритма. |
Какое действие помогало решать обратную задачу сегодня? Почему? | Проверка осознания взаимосвязи сложения и вычитания. |
Какой шаг оказался самым трудным? | Выявление индивидуальных затруднений для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы узнали, что обратная задача связана с исходной и помогает проверить её решение. Мы учились превращать ответ первой задачи в известное число, менять вопрос и выбирать обратное действие. Помните: недостаточно получить правильное число — нужно проверить, подходит ли оно по смыслу. На следующем уроке мы продолжим составлять и решать обратные задачи, постепенно увеличивая самостоятельность."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 2 простые задачи на сложение в пределах 100 и для каждой составить по одной обратной задаче на вычитание. Записать условие, вопрос, решение и ответ. | Закрепляет алгоритм составления обратной задачи; при проверке обратить внимание на изменение вопроса и правильность действия. |
Средний (повышающий) | Составить и решить 3 пары взаимосвязанных задач по рисункам или жизненным ситуациям: на нахождение целого и одной части. Выполнить проверку каждого решения. | Развивает умение самостоятельно выбирать числовые данные и устанавливать связь между сложением и вычитанием. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать короткую историю с тремя числами, составить исходную задачу и две обратные к ней, решить все три задачи и объяснить, какие данные меняются местами. | Формирует умение создавать математическую модель, видеть несколько вариантов неизвестного и аргументировать способ решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют обратной задачей? Как составить обратную задачу по данной? Как проверить решение задачи на сложение? Какое действие обычно используем для нахождения неизвестной части, если известно целое?»
