Развёрнутая форма записи числа: от десятичной к любой системе счисления
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно переводить числа из любой позиционной системы счисления в десятичную, используя алгоритм развёрнутой формы записи.
- Образовательная задача: сформировать навык записи целых и дробных чисел в виде суммы произведений цифр на степени основания.
- Развивающая задача: развить аналитическое мышление через выявление закономерностей между десятичной системой и иными позиционными системами.
- Воспитательная задача: способствовать развитию навыков конструктивного сотрудничества в парах и критического отношения к результатам своего труда.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Развитие логического мышления и внимательности при работе с абстрактными структурами данных.
- Осознание значимости систем счисления в развитии цифровых технологий и истории человечества.
Метапредметные
- Познавательные: умение структурировать знания, строить логическое рассуждение и делать выводы на основе сравнения.
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать свои действия и осуществлять самоконтроль в процессе решения задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и слушать партнёра.
Предметные
- Понимание принципа позиционности в записи чисел.
- Знание общей формулы развёрнутой записи числа.
- Умение записывать числа в развёрнутой форме в системах с основаниями 2, 8, 10, 16.
- Владение навыком вычисления значения числа в десятичной системе на основе его развёрнутой записи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Оценка усваиваемого содержания, обеспечивающая личностный моральный выбор.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Знаково-символические действия: моделирование записи числа.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Управление поведением партнёра — контроль, коррекция, оценка действий партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с визуализацией разрядов числа (слайды 1-8).
- Распечатать карточки для парной работы «Числовой конструктор» (15 комплектов).
- Подготовить интерактивную доску для демонстрации приёма «Снежный ком».
- Распечатать «Билеты на выход» для рефлексии (30 шт.).
- Проверить работоспособность калькуляторов на рабочих местах учеников (для этапа самопроверки).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через парадокс.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начнём с небольшого фокуса. Посмотрите на доску: там написано число 101. Как вы думаете, сколько это? Кто-то скажет 'сто один', кто-то — 'пять', а кто-то — 'двести пятьдесят семь'. И самое удивительное, что все вы можете быть правы. Как такое возможно в точной науке информатике?" | Слушают учителя, удивляются разным вариантам ответов, выдвигают гипотезы: "Наверное, это разные языки?", "Это зависит от системы счисления!". |
2 мин | "Верно! Всё дело в 'весе' каждой цифры. В подростковом возрасте мы часто задумываемся о своём статусе и весе в обществе. У цифр в числах тоже есть свой 'статус' — позиция. Сегодня мы научимся разбирать любое число на 'запчасти' и понимать его истинное значение, независимо от того, в какой системе оно записано." | Настраиваются на работу, фиксируют тему урока в тетрадях: «Развёрнутая форма записи числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поняли, что одно и то же начертание может скрывать разные смыслы. Чтобы не гадать, давайте вспомним то, что мы знаем с первого класса о наших привычных числах."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о десятичной системе счисления и выявить проблему перехода к другим основаниям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Давайте запишем число 345 в виде суммы разрядных слагаемых, как вы делали в начальной школе. Кто продиктует?" Учитель пишет на доске: 345 = 300 + 40 + 5. | Отвечают: "345 — это 3 сотни, 4 десятка и 5 единиц". |
3 мин | "А теперь давайте перейдём на уровень 8 класса. Сотня — это 10 во второй степени, десяток — 10 в первой. Как мы запишем это через степени десятки?" Учитель подводит к записи: 3*10^2 + 4*10^1 + 5*10^0. "А теперь внимание: как записать в таком же виде двоичное число 1011? В чём главная сложность?" | Записывают в тетрадь: 3*10^2 + 4*10^1 + 5*10^0. Сталкиваются с затруднением при попытке записать двоичное число: "Мы не знаем, на что умножать цифры, если основание не 10". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы умеем расписывать десятичные числа, но спотыкаемся на других системах. Значит, нам нужна универсальная формула."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Ребята, какую цель мы перед собой поставим? Что нам нужно 'открыть' сегодня?" Учитель помогает сформулировать: "Вывести общую формулу записи числа для любой системы счисления". "Какой у нас будет план? 1. Найти закономерность. 2. Проверить её на разных числах. 3. Научиться считать значение чисел." | Формулируют цель: "Научиться записывать любое число в развёрнутом виде и понимать, чему оно равно в десятичной системе". Согласовывают план работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План есть, цель ясна. Приступаем к исследованию!"
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести общую формулу развёрнутой записи числа через сократовский диалог.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте посмотрим на наше десятичное число 345. Пронумеруем позиции цифр справа налево, начиная с нуля. Над 5 поставим 0, над 4 — 1, над 3 — 2. Заметили связь между номером позиции и степенью десятки?" Учитель демонстрирует это на слайде №3. | Смотрят на доску, анализируют: "Да! Номер позиции цифры совпадает с показателем степени десятки, на которую мы её умножаем!" |
7 мин | "Бинго! А теперь давайте предположим: если в десятичной системе мы умножаем на степени 10, то в двоичной системе (основание 2) на что мы будем умножать?" Учитель записывает на доске общую формулу: $A_q = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \dots + a_0 \cdot q^0$. "Где A — само число, q — основание системы, a — цифры числа, n — номер позиции." | Делают вывод: "В двоичной системе будем умножать на степени двойки!". Записывают формулу в тетрадь, делают пометки о значении каждой переменной. Один ученик пробует записать число 1011_2 на доске: 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0. |
Запись в тетрадях
Развёрнутая форма записи числа:
Для числа $A$ в системе с основанием $q$:
$A_q = a_n q^n + a_{n-1} q^{n-1} + ... + a_0 q^0 + a_{-1} q^{-1} + ...$
Пример: $101,1_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1}$
Для числа $A$ в системе с основанием $q$:
$A_q = a_n q^n + a_{n-1} q^{n-1} + ... + a_0 q^0 + a_{-1} q^{-1} + ...$
Пример: $101,1_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели 'золотую формулу' информатики. Теперь проверим, работает ли она для дробных чисел и больших оснований."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык применения формулы на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте вместе разберём 'монстра' — шестнадцатеричное число 1A,4. Помним, что A в этой системе — это 10. Как расставим степени?" Учитель вызывает ученика к доске. | Ученик у доски расставляет степени: над A — 0, над 1 — 1, над 4 — минус 1. Записывает: 1*16^1 + 10*16^0 + 4*16^-1. |
3 мин | "Теперь посчитайте результат в десятичной системе. 16 + 10 + 0,25. Сколько получится?" | Класс считает в тетрадях, отвечают: "26,25". |
Эталон решения
$1A,4_{16} = 1 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 + 4 \cdot 16^{-1} = 16 + 10 + 4/16 = 26 + 0,25 = 26,25_{10}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично! Теперь я вижу, что вы готовы к самостоятельным открытиям в командах."
Этап 6. Самостоятельная работа в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить умения через парную работу и приём «Think-Pair-Share».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "У вас на столах карточки с тремя числами в разных системах (двоичной, восьмеричной и загадочной троичной). Ваша задача в парах: один записывает развёрнутую форму, второй проверяет и вычисляет значение. Затем меняетесь ролями." | Распределяют роли в паре, готовят черновики. |
5 мин | Учитель обходит класс, консультирует, следит за тем, чтобы обсуждение было конструктивным. "Обратите внимание на троичную систему — принцип тот же, основание равно 3." | Выполняют задания. Обсуждают результаты. Если ответы не совпадают, ищут ошибку в степенях или вычислениях. |
2 мин | "Сравните свои ответы с эталоном на слайде №6. Если у вас всё верно — поставьте на полях карточки '+'." | Проводят самопроверку по эталону, фиксируют успех или анализируют ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Работа в парах показала, что вы умеете не только считать, но и помогать друг другу. Это критически важный навык для любого программиста."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей учебной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте воспользуемся приёмом '3-2-1'. Запишите на 'Билете на выход': 3 ключевых понятия урока, 2 момента, которые были понятны, и 1 вопрос, который остался." | Заполняют листки рефлексии. Кто-то пишет: "Степень, основание, позиция; понял, как расставлять индексы; вопрос — бывают ли отрицательные основания?". |
3 мин | "Ваше домашнее задание сегодня — это выбор. Вы можете выбрать тот уровень, который вам по силам. Запишите его в дневники. Спасибо за урок, вы сегодня отлично поработали с абстракциями!" | Записывают домашнее задание, сдают 'билеты на выход' на учительский стол. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно расставлены все разрядные индексы, правильно записана развёрнутая форма для 3-х чисел, вычисления произведены без ошибок.
- «4» — допущена 1 ошибка в вычислениях или 1 неточность в расстановке индексов при правильном понимании алгоритма.
- «3» — ученик понимает принцип записи, но допускает системные ошибки в степенях или пропускает слагаемые с нулевыми коэффициентами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая цифра в развёрнутой записи числа 123,45 имеет индекс -2? | Проверка понимания индексации дробной части числа. |
Почему мы начинаем нумерацию позиций именно с нуля, а не с единицы? | Осознание связи с математической логикой (единицы — это основание в 0-й степени). |
В какой момент урока вы почувствовали себя наиболее уверенно? | Субъективная оценка эмоционального комфорта и зон компетентности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами взломали код, который объединяет все системы счисления. Развёрнутая форма записи — это мост между миром компьютеров и миром людей. Помните, что в информатике, как и в жизни, важно не только то, что мы видим (цифры), но и то, какое место они занимают (позиция). На следующем уроке мы научимся делать обратное — упаковывать десятичные числа в двоичный код. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, §1.2, упр. 4, 5 | Записать 5 целых чисел в развёрнутой форме (основания 2, 8). |
Средний (повышающий) | Карточка «Дроби» | Перевести 3 дробных двоичных числа в десятичную систему. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача-загадка | Найти основание системы счисления x, если известно, что $21_x = 13_{10}$. |
Контрольный вопрос перед уходом: "Чему равно любое число в нулевой степени?" (Ожидаемый хор ответов: "Единице!").
