Восьмеричная система счисления
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся объяснят принцип позиционной записи чисел в восьмеричной системе, выполнят перевод не менее четырёх целых десятичных чисел в восьмеричную систему и обратно, а также проверят результаты обратным переводом.
- Сформировать представление о восьмеричной системе счисления как позиционной системе с основанием 8 и цифрами от 0 до 7.
- Научить переводить целые числа из десятичной системы в восьмеричную последовательным делением на 8 и выполнять обратный перевод разложением по степеням числа 8.
- Развивать умение анализировать алгоритм, находить и исправлять ошибки в записи числа, аргументировать выбранный способ решения.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание связи систем счисления с устройством цифровой техники.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение систем счисления для понимания принципов работы компьютеров и профессиональной деятельности в сфере информационных технологий.
- Проявлять познавательный интерес к способам представления информации и готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания.
- Понимать, что точность записи и проверки результата является важным качеством программиста и пользователя цифровых технологий.
- Развивать уверенность в возможности освоить формальный алгоритм через последовательные действия и самопроверку.
Метапредметные
- Планировать последовательность действий при переводе числа из одной системы счисления в другую.
- Извлекать правило из примеров, сравнивать алгоритмы и выявлять закономерности в остатках от деления.
- Использовать смысловое чтение инструкции, математическую запись и таблицу степеней числа 8.
- Сотрудничать в паре, формулировать вопрос и аргументированно объяснять способ получения ответа.
- Осуществлять самоконтроль через обратное преобразование и корректировать найденные ошибки.
Предметные
- Знать основание восьмеричной системы счисления, допустимые цифры 0–7 и позиционный принцип записи числа.
- Уметь переводить целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную последовательным делением на 8.
- Уметь переводить числа из восьмеричной системы в десятичную с использованием разложения по степеням основания.
- Уметь проверять результат перевода и объяснять недопустимость цифры 8 или 9 в восьмеричной записи.
- Владеть алгоритмом записи результата перевода из остатков в обратном порядке.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный познавательный интерес к способам кодирования чисел в информатике.
- Осознают смысл изучения темы через связь восьмеричной записи с двоичной системой и цифровыми технологиями.
- Проявляют готовность принимать ошибку как основание для проверки алгоритма, а не как повод отказаться от работы.
- Выбирают посильный или повышенный уровень задания и оценивают собственный прогресс.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения при работе с новым основанием.
- Планируют шаги перевода числа, соблюдая порядок деления и записи остатков.
- Сверяют решение с эталоном и выполняют обратную проверку.
- Находят причину ошибки, исправляют её и оценивают степень освоения алгоритма.
- Распределяют время при выполнении самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки восьмеричной системы: основание 8, цифры 0–7, разрядные веса 8⁰, 8¹, 8².
- Сравнивают десятичную и восьмеричную системы как позиционные системы счисления.
- Строят алгоритм перевода числа через последовательность частных и остатков.
- Моделируют восьмеричное число в виде суммы произведений цифр на степени числа 8.
- Анализируют ошибочную запись и доказывают, на каком шаге нарушен алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по ролям: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы по шагам алгоритма и дают точные ответы с использованием терминов.
- Аргументируют, почему остаток при делении на 8 может быть только от 0 до 7.
- Согласуют общий способ решения и корректно сообщают о найденной ошибке.
- Участвуют в обсуждении, уважая иной способ рассуждения при совпадающем результате.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с таблицей разрядов: 8² = 64, 8¹ = 8, 8⁰ = 1, а также с примерами допустимых и недопустимых цифр.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности по одной на каждого ученика и два комплекта карточек с ошибочными решениями на группу.
- Подготовить мини-листы самопроверки с алгоритмами перевода из десятичной системы в восьмеричную и обратно — по одному на парту.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на каждого ученика.
- Вывести на экран проблемный вопрос: «Почему в восьмеричной записи нельзя использовать цифру 8, если в десятичной системе она существует?»
- Подготовить таблицу для парной работы: исходное число, частные, остатки, результат, обратная проверка.
- Организовать на доске место для записи эталона решения числа 83₁₀ и разложения числа 157₈.
- Проверить наличие компьютера, проектора или интерактивной доски, а также таймера на 3–5 минут.
- Подготовить домашнее задание трёх уровней и контрольные вопросы для фиксации понимания перед выходом из класса.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и связать новую тему с практикой информатики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка и карточка на парте. Сегодня нам потребуется не только вычислять, но и объяснять каждый шаг, потому что в информатике правильный ответ важен вместе с правильным алгоритмом." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране записи 1011₂, 25₁₀ и 17₈ и говорит: "Посмотрите на три записи. Все ли они используют одну и ту же систему счисления? Как вы догадались? Сегодня мы выясним, зачем нужна запись с основанием 8 и как выполнять перевод без угадывания." | Рассматривают записи, предполагают: "Индексы показывают основания"; формулируют вопрос: "Как переводить число с индексом 8?". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно и то же количество можно записывать по-разному. Чтобы разобраться в восьмеричной записи, сначала вспомним, как устроена позиционная система и какие действия уже умеем выполнять."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия основания, разряда и позиционного значения цифры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите, что означает число 352₁₀. Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите с соседом, почему цифра 3 означает не просто три единицы. После этого две пары объяснят решение классу." | Записывают: 352₁₀ = 3·10² + 5·10¹ + 2·10⁰; обсуждают в парах; отвечают: "Значение цифры зависит от её разряда". |
3 мин | Учитель фиксирует ответы и спрашивает: "Что называется основанием системы счисления? Сколько цифр используется в десятичной системе? Какой разряд находится справа? Почему после 9 появляется новый разряд?" Учитель записывает ключевые слова на доске. | Отвечают: "Основание показывает количество цифр до перехода в следующий разряд"; "В десятичной системе 10 цифр"; "Справа находится разряд единиц"; приводят пример перехода 9 → 10. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главный принцип: цифра имеет значение не только сама по себе, но и в зависимости от позиции. Теперь проверим, что произойдёт, если основание будет равно 8."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает записи 127₈, 708₈ и 178₈: "Перед вами три записи. Какие из них могут быть числами в восьмеричной системе? Обсудите ответ в паре и обязательно назовите причину, а не только вариант." | Обсуждают и отмечают 127₈ как допустимую запись; исключают 708₈ и 178₈, потому что цифры 8 и 9 недопустимы. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему в системе с основанием 8 разрешены цифры от 0 до 7, и как перевести число из десятичной записи в такую систему? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Узнать правило восьмеричной системы и научиться переводить числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: нам нужно не просто назвать допустимые цифры, а построить надёжный алгоритм перевода. Сейчас мы сами выведем этот алгоритм на конкретном примере."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести правило восьмеричной системы и алгоритмы перевода в обе стороны.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: "Восьмеричная система имеет основание 8, поэтому используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Разряды имеют веса 8⁰, 8¹, 8² и так далее. Посмотрите на запись 157₈: она означает 1·8² + 5·8¹ + 7·8⁰. Выполним вычисление вместе." | Переписывают правило и вычисляют: 1·64 + 5·8 + 7·1 = 64 + 40 + 7 = 111₁₀; формулируют: "157₈ = 111₁₀". |
4 мин | Учитель демонстрирует алгоритм перевода 83₁₀: "Делим число на 8, записываем остаток, затем делим частное. Продолжаем, пока частное не станет нулём. В конце читаем остатки снизу вверх. Посмотрите, почему порядок чтения обратный: последний остаток является цифрой старшего разряда." | Заполняют таблицу: 83 : 8 = 10, остаток 3; 10 : 8 = 1, остаток 2; 1 : 8 = 0, остаток 1. Читают остатки снизу вверх: 123₈. |
3 мин | Учитель обращается к классу: "Сформулируйте алгоритм своими словами. Что будет ошибкой? Нельзя читать остатки сверху вниз, нельзя продолжать деление после нулевого частного и нельзя допускать остаток 8. Каким действием проверим результат?" | Формулируют алгоритм из трёх шагов; отвечают: "Проверим обратным переводом: 1·64 + 2·8 + 3 = 83"; записывают схему в тетради. |
Запись в тетрадях
Восьмеричная система счисления — позиционная система счисления с основанием 8; используются цифры 0–7. Перевод из десятичной системы: последовательно делить число на 8, записывать остатки, читать остатки снизу вверх. Перевод в десятичную систему: представить число как сумму произведений цифр на степени 8.
Эталон решения
83₁₀: 83 = 8·10 + 3; 10 = 8·1 + 2; 1 = 8·0 + 1. Следовательно, 83₁₀ = 123₈. Проверка: 123₈ = 1·8² + 2·8¹ + 3·8⁰ = 64 + 16 + 3 = 83₁₀.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два взаимосвязанных алгоритма: деление на 8 для перевода в восьмеричную систему и разложение по степеням 8 для обратного перевода. Теперь проверим новый способ сначала вместе, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перевода и научиться объяснять ход решения партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку с заданием: "Переведите 45₁₀ и 100₁₀ в восьмеричную систему. Работайте по ролям: один ученик выполняет деление и записывает остатки, второй проверяет порядок чтения и задаёт вопрос: почему этот остаток оказался в данном разряде. Через две минуты поменяйтесь ролями." | В парах решают: 45₁₀ = 55₈; 100₁₀ = 144₈. Объясняют партнёру каждый шаг, меняются ролями. |
3 мин | Учитель выводит на экран ошибочное решение: 72₁₀: 72 : 8 = 9, остаток 0; 9 : 8 = 1, остаток 1; 1 : 8 = 0, остаток 1; ответ 011₈. Учитель спрашивает: "Где ошибка в записи результата? Как исправить ответ и как его проверить?" | Находят ошибку: ведущий ноль не записывается; исправляют ответ на 110₈; проверяют: 1·64 + 1·8 = 72. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы не теряем остатки и читаем их справа налево. Особенно важно не добавлять лишний ведущий ноль. Переходим к самостоятельной проверке — теперь каждый выберет подходящий уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите один из трёх уровней. Минимальный уровень поможет отработать действия по образцу, базовый потребует самостоятельного перевода, повышенный добавит анализ ошибки. Если справитесь раньше, можно перейти выше." | Выбирают уровень и подписывают карточку. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Минимум: перевести 26₁₀ и 64₁₀ в восьмеричную систему. База: перевести 39₁₀ и 125₁₀ в восьмеричную систему, затем 246₈ — в десятичную. Повышенный уровень: исправить решение 91₁₀ = 133₈ и объяснить ошибку. | Индивидуально выполняют задания, оформляют деление и обратное разложение по степеням 8. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске: 26₁₀ = 32₈; 64₁₀ = 100₈; 39₁₀ = 47₈; 125₁₀ = 175₈; 246₈ = 166₁₀. Просит проверить решения и отметить количество верных ответов. | Сверяют решения, подчёркивают место ошибки, выполняют исправление; ставят рядом с работой отметку: 2, 3 или 4 верных результата. |
Эталон решения
125₁₀: 125 = 8·15 + 5; 15 = 8·1 + 7; 1 = 8·0 + 1, поэтому 125₁₀ = 175₈. Проверка: 1·64 + 7·8 + 5 = 64 + 56 + 5 = 125. Для ошибочного примера: 133₈ = 1·64 + 3·8 + 3 = 91₁₀, поэтому равенство 91₁₀ = 133₈ верно; ошибка отсутствует. Ученик должен обосновать это, а не исправлять правильную запись.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять без подсказки. Обратите внимание: проверка обратным переводом защищает нас от механической ошибки. Осталось сформулировать, что именно мы открыли и где это пригодится."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить собственный результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно перевести целое число из десятичной системы в восьмеричную; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока не понимаете, с какого шага начать. Это не оценка, а сигнал для планирования следующей помощи." | Поднимают карточки, называют конкретное затруднение: "Путаю порядок остатков" или "Не уверен в разложении по степеням". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какие цифры допустимы в восьмеричной системе? Почему делим именно на 8? Как читаем остатки? Как проверяем перевод?" | Отвечают: "От 0 до 7"; "Основание системы равно 8"; "Снизу вверх"; "Обратным переводом в десятичную систему". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. В тетради обязательно оформите деление, остатки и хотя бы одну обратную проверку. На следующем уроке мы сравним восьмеричную и двоичную системы." | Записывают выбранный уровень и уточняют условия выполнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли принцип восьмеричной системы и научились переводить числа по алгоритму. Важнее всего не запомнить отдельные ответы, а уметь восстановить последовательность действий и проверить себя."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно записаны частные и остатки, результат прочитан в правильном порядке, обратная проверка выполнена без ошибок.
- «4» — верно выполнены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которую ученик исправил при самопроверке.
- «3» — правильно выполнен хотя бы один перевод и в целом понятен алгоритм, но имеются ошибки в порядке записи остатков, вычислении степеней или обратной проверке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие цифры можно использовать в восьмеричной системе и почему? | Проверка понимания основания системы и границ множества допустимых цифр. |
Какой шаг алгоритма перевода из десятичной системы оказался для вас самым важным? | Выявление осознанности последовательности действий, а не механического запоминания. |
Где вы проверяли свой результат и что показала проверка? | Формирование навыка самоконтроля через обратное преобразование. |
Какое задание вы готовы попробовать на следующем уроке: базовое или повышенное? Почему? | Субъективная оценка освоения темы и развитие ответственности за выбор уровня. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что восьмеричная система является позиционной системой с основанием 8, поэтому в ней используются цифры от 0 до 7. Мы научились переводить числа последовательным делением и проверять себя разложением по степеням основания. Самая частая ошибка — прочитать остатки сверху вниз или забыть обратную проверку. Дома закрепите алгоритм на выбранном уровне, а на следующем уроке мы рассмотрим связь восьмеричной и двоичной систем."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Перевести 5 целых чисел из десятичной системы в восьмеричную: два однозначных или двузначных и три трёхзначных. Для двух результатов выполнить обратную проверку. | Закрепляет последовательное деление на 8, правильную запись остатков и навык самопроверки. |
Средний (повышающий) | Перевести 3 десятичных числа в восьмеричную систему и 3 восьмеричных числа, содержащих два или три разряда, в десятичную. Оформить вычисления через степени 8. | Формирует двустороннее владение алгоритмами и умение связывать цифру с весом разряда. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить мини-задачу из цифрового контекста, в которой одно и то же число представлено в десятичной и восьмеричной системах; дополнительно придумать один пример ошибочного перевода и объяснить, как его обнаружить. | Развивает создание, анализ ошибки и понимание практического смысла разных систем счисления. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое основание у восьмеричной системы?», «Почему цифра 8 в ней недопустима?», «В каком направлении читают остатки при переводе из десятичной системы?», «Как доказать, что полученный результат верен?»
