Шестнадцатеричная система счисления. Сравнение чисел в различных системах счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать запись чисел в шестнадцатеричной системе, сравнивать числа, представленные в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, и обосновывать результат не менее чем в 4 из 5 учебных ситуаций.
- Сформировать представление о цифрах и основании шестнадцатеричной системы счисления, включая обозначения A–F для значений от 10 до 15.
- Научить применять алгоритм сравнения чисел в одной и различных системах счисления с переводом в десятичную систему или сопоставлением разрядов.
- Развивать умение анализировать запись числа, выбирать рациональный способ решения и проверять результат с помощью калькулятора или электронной таблицы.
- Воспитывать ответственное отношение к цифровой информации, интерес к применению систем счисления в программировании, компьютерной графике и адресации памяти.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость шестнадцатеричной системы счисления для понимания работы компьютеров и цифровых технологий.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и аргументировать собственное мнение.
- Формируют позитивное отношение к совместному поиску решения и корректному обсуждению ошибок.
- Связывают изучаемый материал с возможными направлениями будущей профессиональной деятельности в сфере информационных технологий.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки шестнадцатеричной системы и устанавливают связь между основанием системы и количеством используемых символов.
- Применяют алгоритм сравнения, переводят числа между системами счисления и проверяют полученный результат.
- Работают с цифровыми инструментами: онлайн-калькулятором систем счисления или электронной таблицей.
- Формулируют выводы, участвуют в диалоге, объясняют выбор способа решения и осуществляют самопроверку.
Предметные
- Знать основание шестнадцатеричной системы счисления и соответствие символов A–F десятичным значениям 10–15.
- Уметь распознавать корректные записи шестнадцатеричных чисел и записывать их с указанием основания.
- Уметь переводить небольшие шестнадцатеричные числа в десятичную систему по разрядам.
- Уметь сравнивать числа в одной системе счисления и числа, записанные в разных системах, с обоснованием ответа.
- Владеть алгоритмом проверки результата с использованием цифрового инструмента.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения систем счисления через связь с программированием и цифровыми устройствами.
- Оценивают собственную готовность применять новые знания в незнакомой ситуации.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки результата.
- Корректно воспринимают ошибку как источник дальнейшего обучения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: определить систему, выбрать алгоритм, выполнить сравнение, проверить ответ.
- Контролируют правильность обозначения цифр A–F и вычислений по разрядам.
- Сопоставляют результат с эталоном, находят причину ошибки и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Моделируют число в виде суммы разрядных слагаемых.
- Сравнивают способы решения и выбирают наиболее рациональный.
- Анализируют запись чисел, устанавливают соответствие между символами разных систем.
- Извлекают информацию с экрана цифрового инструмента и используют её для проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о правилах записи и сравнения чисел.
- Объясняют партнёру ход решения, используя математические и информатические термины.
- Распределяют роли в паре при работе с цифровым инструментом.
- Аргументированно принимают или опровергают предложенное сравнение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображением цветовой палитры, шестнадцатеричных кодов цветов и таблицы соответствий 0–15.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по одной карточке для каждой пары.
- Подготовить памятку-алгоритм: определить системы; при необходимости перевести числа; сравнить значения; записать обоснование.
- Разместить на доске таблицу соответствий: 0–9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
- Подготовить компьютеры или планшеты с доступом к калькулятору систем счисления либо заранее созданной электронной таблицей; проверить работу инструмента до урока.
- Подготовить файл электронной таблицы с колонками «Число», «Система», «Десятичное значение», «Результат сравнения» — один файл на пару.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить слайд с проблемным вопросом: «Почему код цвета #FF8800 записан буквами, хотя компьютер работает с числами?»
- Проверить рассадку по парам и доступность безопасного и корректного использования цифрового оборудования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к шестнадцатеричной записи через практический цифровой контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и компьютера или планшета. Сегодня мы будем не только вычислять, но и проверять свои гипотезы цифровым инструментом. Работать можно будет индивидуально или в паре, однако каждый должен понимать собственное решение." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради, садятся по парам и записывают дату. |
3 мин | Учитель выводит на экран запись цвета #FF8800 и спрашивает: "Перед вами код цвета, который используется в цифровой графике. Почему в нём появились буквы F и O? Можно ли считать эту запись числом? Что потребуется узнать, чтобы сравнить такой код с обычным десятичным числом? Запишите свою гипотезу, затем обсудите её с соседом." Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись», фиксирует версии на доске без оценки их правильности. | Индивидуально формулируют гипотезу, одну минуту обсуждают её в паре, затем предлагают варианты: «Это специальная запись числа», «Буквы заменяют цифры», «Нужно знать основание системы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели запись, которая встречается в цифровой среде, но пока не можем уверенно объяснить её правила. Сначала вспомним, как устроены уже известные системы счисления, а затем выясним, что нового даёт основание 16."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания, разряда и значения цифры в позиционной системе счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске записи $1011_2$, $37_{10}$ и спрашивает: "Что обозначает нижний индекс? Сколько различных цифр используется в двоичной системе? Как определить значение цифры в разряде? Запишите число $1011_2$ как сумму разрядных слагаемых." | Отвечают: «Нижний индекс показывает основание системы», «В двоичной системе используются 0 и 1». Записывают: $1011_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=11_{10}$. |
3 мин | Учитель организует мини-проверку: "Сравните числа $1010_2$ и $1001_2$ без перевода в десятичную систему. Какой разряд нужно рассматривать первым? Теперь сравните $14_{10}$ и $10000_2$. Почему здесь одного сопоставления записей недостаточно?" | Сравнивают слева направо и отвечают: «$1010_2>1001_2$, потому что первые различающиеся цифры: 1 и 0». Переводят $10000_2$ в $16_{10}$ и делают вывод: «$14_{10}<10000_2$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что значение записи зависит от основания системы, а при сравнении разных систем сначала нужно привести числа к общей форме. Теперь выясним, какие символы и правила используются в системе с основанием 16."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план открытия нового знания.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает пары записей: $A_{16}$ и $9_{10}$; $2F_{16}$ и $45_{10}$; $100_{16}$ и $FF_{16}$. Реплика: "В каждой паре записаны числа, но сравнить их привычным способом нельзя. Какая запись вызывает затруднение? Какое правило нам необходимо открыть?" | Находят затруднение в символах A–F и разных основаниях, формулируют: «Нужно понять значения букв и научиться переводить шестнадцатеричные числа». |
2 мин | Учитель направляет формулирование цели: "Предложите план действий. Какие шаги помогут ответить на проблемный вопрос и проверить код цвета?" Учитель записывает на доске четыре шага: изучить обозначения; представить число по разрядам; сравнить; проверить цифровым инструментом. | Формулируют цель: «Научиться читать, переводить и сравнивать шестнадцатеричные числа». Записывают план в тетради, выбирают, будут ли при проверке использовать калькулятор или электронную таблицу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена, цель и план работы записаны. Переходим к открытию правила, которое позволит читать буквы A–F как числовые значения."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести правило записи шестнадцатеричных чисел и применить его к переводу чисел в десятичную систему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: 0–9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Объясняет: "Основание системы равно 16, поэтому нужны шестнадцать различных символов. Первые десять совпадают с десятичными цифрами, а для значений от 10 до 15 применяются буквы A–F. Запишите правило: цифра в разряде умножается на $16^n$, где $n$ — номер разряда справа, начиная с нуля." | Записывают таблицу соответствий и правило. Отвечают: «F означает 15», «A0 — это не сто десять, а число с цифрами A и 0 в основании 16». |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Переведём $2A_{16}$. В разряде единиц стоит A, то есть 10. Поэтому $2A_{16}=2\cdot16^1+10\cdot16^0=42_{10}$. Теперь вместе разберём $3F_{16}$ и ответим, почему результат не равен 3 умножить на 16 плюс 15 без записи единиц." | Записывают вычисление: $3F_{16}=3\cdot16+15=63_{10}$. Объясняют, что $F$ занимает разряд единиц и имеет значение 15. |
3 мин | Учитель демонстрирует на экране калькулятор систем счисления или электронную таблицу: "Введите $2A$ как число в системе 16 и сравните результат с $42_{10}$. Затем проверьте $FF_{16}$ и $255_{10}$. Инструмент не заменяет рассуждение: сначала получите ответ вручную, затем используйте цифровую проверку." | В парах вводят данные, получают $2A_{16}=42_{10}$ и $FF_{16}=255_{10}$, заносят результаты в таблицу и отмечают совпадение с ручным вычислением. |
Запись в тетрадях
Шестнадцатеричная система имеет основание 16 и использует символы 0–9, A–F. Соответствия: $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$, $F=15$. Например: $2A_{16}=2\cdot16+10=42_{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что буквы A–F являются цифрами со значениями от 10 до 15, и научились переводить двузначные записи. Теперь применим правило к сравнению чисел и проверим, всегда ли достаточно посмотреть на количество знаков."
Этап 5. Первичное закрепление и сравнение чисел (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм сравнения чисел в одной и разных системах счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает сравнить числа в одной системе: "Сначала работаем без перевода. Сравните $A5_{16}$ и $9F_{16}$. Посмотрите на старший разряд. Если старшие разряды различаются, нужно ли анализировать остальные?" | В парах сравнивают старшие разряды: $A_{16}>9_{16}$, поэтому $A5_{16}>9F_{16}$. Формулируют правило: «При одинаковой длине записи сравниваем слева направо, начиная со старшего разряда». |
3 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: "Решите три сравнения и запишите краткое обоснование: $B_{16}$ и $10_{10}$; $1F_{16}$ и $30_{10}$; $100_{16}$ и $255_{10}$. Можно выбрать перевод каждого шестнадцатеричного числа или использовать разрядное рассуждение, но ответ должен быть обоснован." | Решают: $B_{16}=11_{10}<10_{10}$ — исправляют сравнение и получают $B_{16}>10_{10}$; $1F_{16}=31_{10}>30_{10}$; $100_{16}=256_{10}>255_{10}$. Проверяют вычисления в парах. |
2 мин | Учитель проводит разбор ошибки: "Некоторые могли решить, что $B_{16}<10_{10}$, потому что буква стоит после цифры 9 или выглядит иначе. Что является основанием для сравнения? Не внешний вид символа, а его числовое значение. Исправьте запись и подчеркните место, где возникла ошибка." | Находят ошибку в сравнении, объясняют: «B имеет значение 11, поэтому $B_{16}>10_{10}$». Исправляют решение и отмечают правило в листе самооценки. |
Эталон решения
$B_{16}=11_{10}$, поэтому $B_{16}>10_{10}$. $1F_{16}=1\cdot16+15=31_{10}$, поэтому $1F_{16}>30_{10}$. $100_{16}=1\cdot16^2=256_{10}$, поэтому $100_{16}>255_{10}$. Алгоритм: определить значения символов; перевести записи к общей системе; сравнить значения; записать знак и обоснование.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили, что внешний вид записи может вводить в заблуждение, а сравнивать нужно числовые значения. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение правил чтения, перевода и сравнения шестнадцатеричных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный минимум выполняют все. Затем можно выбрать базовый или повышенный уровень в зависимости от уверенности. Работайте самостоятельно, а в конце используйте эталон на экране для самопроверки." | Выбирают уровень, записывают номер карточки и критерии проверки. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Минимум: перевести $1A_{16}$ и $2C_{16}$ в десятичную систему. Базовый: сравнить $1A_{16}$ и $25_{10}$, $2C_{16}$ и $40_{10}$, $FF_{16}$ и $255_{10}$. Повышенный: упорядочить по возрастанию $1010_2$, $A_{16}$, $11_{10}$, $B_{16}$; объяснить способ. | Индивидуально решают задания, подробно записывают разрядные вычисления и знаки сравнения. В повышенном задании получают: $1010_2=10_{10}$, $A_{16}=10_{10}$, $11_{10}=11$, $B_{16}=11$, поэтому две пары равных значений. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только конечный ответ, но и перевод каждой записи. Если ответ отличается, поставьте рядом знак вопроса и найдите первый шаг, на котором появилась ошибка. После этого исправьте решение другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, считают правильные ответы, исправляют ошибки и заполняют строку самооценки «Я могу перевести…», «Я могу сравнить…». |
Эталон решения
$1A_{16}=1\cdot16+10=26_{10}$; $2C_{16}=2\cdot16+12=44_{10}$. Поэтому $1A_{16}>25_{10}$, $2C_{16}>40_{10}$, а $FF_{16}=15\cdot16+15=255_{10}$, следовательно, $FF_{16}=255_{10}$. Для двоичной записи: $1010_2=10_{10}$, $A_{16}=10_{10}$, $11_{10}=11$, $B_{16}=11_{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже выполняются уверенно, а где ещё нужна проверка. Осталось связать новое правило с исходной цифровой ситуацией и сформулировать личный вывод о применении шестнадцатеричной системы."
Этап 7. Рефлексия, применение и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: применить новое знание к цифровому контексту, оценить достижение цели и получить инструкцию к домашней работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Колонка 4 |
|---|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к экранной записи: "Теперь объясните код #FF8800. Что обозначает запись FF с точки зрения шестнадцатеричной системы? Почему знание систем счисления полезно программисту или дизайнеру?" Учитель просит поднять зелёную, жёлтую или красную карточку по уровню уверенности. | Отвечают: «FF — шестнадцатеричная запись числа 255; 00 — ноль; 80 — число 128». Формулируют связь с цветовой моделью и показывают карточку самооценки. | |
2 мин | Учитель проводит билет на выход: "На отдельной строке запишите правило перевода $C4_{16}$ в десятичную систему и сравните его с $190_{10}$. Внизу допишите один вопрос, который у вас остался. Сдайте билет при выходе." Учитель объявляет домашнее задание и напоминает о выборе уровня. | Записывают: $C4_{16}=12\cdot16+4=196_{10}$, поэтому $C4_{16}>190_{10}$. Формулируют оставшийся вопрос, сдают билет и фиксируют домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли правила шестнадцатеричной системы, научились читать символы A–F, переводить записи и сравнивать числа с разными основаниями. Ваши билеты на выход помогут определить, какое действие нужно повторить в начале следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, корректно использованы соответствия A–F, приведены разрядные вычисления и обоснованы знаки сравнения; цифровая проверка применена без подмены собственного решения.
- «4» — правильно выполнены не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм сравнения в целом выбран верно.
- «3» — правильно выполнены не менее 50% заданий, но имеются ошибки в значениях символов или переводе; после подсказки ученик может исправить решение и объяснить правило.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что обозначают символы A–F в шестнадцатеричной системе? | Проверка осознания ключевого соответствия между символами и числовыми значениями. |
Какой первый шаг вы выполняете при сравнении чисел в разных системах? | Выявление понимания алгоритма приведения чисел к общей системе. |
Какую ошибку в сравнении вы сегодня исправили? | Осознание типичных затруднений и развитие самоконтроля. |
В какой цифровой ситуации может пригодиться шестнадцатеричная запись? | Связь предметного знания с функциональной грамотностью и будущей деятельностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что буквы в записи числа могут быть цифрами шестнадцатеричной системы. Мы научились переводить числа по разрядам и сравнивать записи, приведя их к общей системе. Помните: самая частая ошибка — сравнить внешний вид символов, не учитывая их значение. На следующем уроке мы продолжим перевод чисел между системами и применим алгоритмы к более длинным записям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: перевести четыре двузначных числа из шестнадцатеричной системы в десятичную, среди них должны быть записи с A–F; результаты оформить через разрядные слагаемые. | Закрепляет значения символов A–F и алгоритм перевода; при проверке обратить внимание на основание 16 и степень каждого разряда. |
Средний (повышающий) | Решить 5 сравнений чисел, записанных в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах; для каждого сравнения записать перевод или другое обоснование и проверить два ответа цифровым калькулятором. | Формирует умение приводить числа к общей форме, выбирать способ решения и выполнять цифровую самопроверку. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать три шестнадцатеричных кода цвета в формате RGB, перевести каждую пару значений из шестнадцатеричной системы в десятичную и определить, какой цветовой канал имеет наибольшее значение. | Связывает тему с компьютерной графикой и развивает анализ данных; при проверке оценивать корректность переводов и содержательность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое основание у шестнадцатеричной системы?», «Чему равны A и F?», «Как сравнить $2A_{16}$ и $40_{10}$?», «Зачем при сравнении чисел в разных системах приводить их к общей системе?»
