Шестнадцатеричная система счисления
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать запись чисел в шестнадцатеричной системе счисления, переводить целые числа из шестнадцатеричной системы в десятичную и обратно на примерах с использованием цифр 0–9 и букв A–F.
- Сформировать представление о назначении шестнадцатеричной системы счисления и связи основания 16 с двоичной системой.
- Научиться использовать разрядную запись числа и выполнять перевод между системами счисления по алгоритму.
- Развивать умение анализировать запись числа, находить ошибки в вычислениях, объяснять ход решения и проверять результат.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений и понимание практической значимости представления данных в информатике.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к способам представления информации, используемым в программировании и цифровой технике.
- Осознают ценность точности, последовательности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Выбирают уровень задания с учётом собственных возможностей и принимают ответственность за результат.
- Понимают связь изучаемой темы с будущей деятельностью программиста, инженера и специалиста по информационным технологиям.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему, планируют последовательность действий по алгоритму перевода чисел.
- Извлекают информацию из таблицы соответствий, схемы разрядов и записи числа.
- Сравнивают способы записи одного числа в разных системах счисления и выявляют закономерности.
- Аргументированно объясняют решение в паре, осуществляют взаимопроверку и корректируют ошибки.
- Используют цифровой калькулятор или электронную таблицу только для проверки, а не вместо рассуждения.
Предметные
- Знать основание шестнадцатеричной системы и символы, используемые для записи цифр от 0 до 15.
- Уметь определять значение разрядов шестнадцатеричного числа.
- Уметь переводить целые шестнадцатеричные числа в десятичную систему разложением по степеням основания.
- Уметь переводить небольшие целые десятичные числа в шестнадцатеричную систему делением с остатком.
- Владеть способом проверки результата обратным переводом и оценивать правдоподобие ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения шестнадцатеричной записи для работы с цифровыми данными.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через поиск и проверку способа действия.
- Оценивают собственный прогресс по критериям правильности и самостоятельности решения.
- Уважают разные способы объяснения и конструктивно воспринимают замечания одноклассников.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Составляют пошаговый план перевода числа и придерживаются его при выполнении задания.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют её.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки и выходного билета.
Познавательные УУД
- Выделяют основание системы, цифры и разрядные коэффициенты в записи числа.
- Строят математическую модель шестнадцатеричного числа через сумму разрядных слагаемых.
- Сравнивают шестнадцатеричную и десятичную системы по основанию, набору цифр и алгоритмам перевода.
- Устанавливают связь между шестнадцатеричными цифрами и четырёхразрядными двоичными группами.
- Анализируют ошибочное решение и обосновывают правильный вариант.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к алгоритму и уточняют непонятные шаги.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Объясняют решение с использованием математических терминов и символов.
- Аргументированно доказывают наличие ошибки, не переходя на оценку личности собеседника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную таблицу соответствий: 0–9, A–F и значения 0–15.
- Вывести на доску схему разрядов: $16^0$, $16^1$, $16^2$, $16^3$ и памятку алгоритмов перевода.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Распечатать карточки для работы в парах с примерами и двумя ошибочными решениями — по одной на парту.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я узнаю цифры A–F», «Я перевожу в десятичную систему», «Я выполняю обратный перевод».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, компьютер и при необходимости электронную таблицу для проверки результатов.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Почему программисту удобнее записать двоичное число как 3F, а не длинной последовательностью нулей и единиц?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к новой системе записи чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две записи: 11111111 и FF. «Ребята, сегодня мы начнём с наблюдения. Перед вами две записи. Как вы думаете, могут ли они обозначать одно и то же число? Не спешите угадывать: сначала запишите свою гипотезу одним предложением». | Записывают индивидуальную гипотезу, предполагают: «Это разные числа» или «Это разные способы записи одного числа». Поднимают карточку с выбранным вариантом. |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: «В двоичной системе каждый разряд важен, но длинные записи неудобны. В программировании и компьютерной графике часто встречается запись FF, 2A или 7B. Сегодня мы выясним, почему буквы могут быть цифрами и как проверить значение такой записи». Учитель обозначает проблемный вопрос на доске. | Формулируют вопросы: «Почему используются буквы?», «Какое основание у такой системы?», «Как перевести FF в десятичную систему?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели запись, смысл которой пока не можем обосновать. Чтобы ответить на проблемный вопрос, сначала вспомним, как устроены системы счисления и как работают разряды».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания системы, разряда и разложения числа по степеням основания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Запишите, что означает основание системы счисления. Вспомните, какие цифры допустимы в десятичной и двоичной системах. Затем сравните ответы с соседом». После обсуждения фиксирует на доске: основание показывает количество используемых цифр и вес соседнего разряда. | Записывают определение, обсуждают его в парах одну минуту, сообщают формулировки: «В двоичной системе основание 2 и используются 0 и 1», «В десятичной системе основание 10 и используются цифры от 0 до 9». |
3 мин | Учитель записывает число $352_{10}$ и спрашивает: «Как разложить его по разрядам? Почему цифра 3 означает не просто три единицы?» Затем показывает запись $352=3\cdot10^2+5\cdot10^1+2\cdot10^0$ и предлагает проверить её устно. | Определяют разряды, отвечают: «3 — это три сотни, 5 — пять десятков, 2 — две единицы». Проверяют вычисление: «300+50+2=352». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что значение цифры зависит от её разряда и основания системы. Теперь проверим, что произойдёт, если основание станет равным 16».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план открытия нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу с цифрами 0–9 и задаёт вопрос: «Если в системе основанием 16 требуется шестнадцать разных цифр, хватит ли символов от 0 до 9? Что можно сделать с оставшимися шестью значениями?» Учитель принимает гипотезы без оценки. | Обсуждают в парах и предлагают: «Добавить новые знаки», «Использовать буквы». Формулируют: «Буквы A–F могут обозначать значения от 10 до 15». |
2 мин | Учитель спрашивает: «Какую цель поставим? Какие действия нам понадобятся, чтобы решить задачу?» На доске записывает план, сформулированный классом: изучить символы, разложить число по степеням 16, научиться выполнять обратный перевод, проверить результат. | Формулируют цель: «Научиться читать и переводить шестнадцатеричные числа». Называют этапы алгоритма и записывают их кратко. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы не просто запомним буквы A–F, а выведем способ работы с любой небольшой шестнадцатеричной записью. Переходим к открытию нового знания».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести таблицу шестнадцатеричных цифр и алгоритм перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: 0–9 имеют привычные значения, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. «Посмотрите на таблицу. Буква здесь не обозначает слово, а является условным знаком цифры. Почему после 9 появляется A, а после F уже нельзя добавить ещё одну цифру?» Учитель подчёркивает: в системе с основанием 16 допустимы цифры от 0 до 15. | Читают таблицу вслух, составляют соответствия A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Отвечают: «После F получаем шестнадцать, а это уже новый разряд: 10 в шестнадцатеричной системе». |
3 мин | Учитель записывает пример $2A_{16}$. «Раскладываем по разрядам: $2\cdot16^1+A\cdot16^0$. Заменяем A числом 10 и вычисляем: $2\cdot16+10=42$. Значит, $2A_{16}=42_{10}$. Важно не забыть основание и не считать A нулём». | Записывают разложение и вычисление в тетрадь. Проговаривают алгоритм: «Заменить буквенные цифры значениями, умножить каждую цифру на степень 16, сложить результаты». |
3 мин | Учитель предлагает разобрать $1F3_{16}$ и ведёт эвристическую беседу: «Какой разряд у последней цифры? Какую степень получит F? Что подставим вместо F?» После ответов фиксирует вычисление на доске. | Называют степени: $16^0$, $16^1$, $16^2$. Решают: $1\cdot16^2+15\cdot16+3=256+240+3=499$. Формулируют вывод: «Шестнадцатеричная запись раскрывается так же, как десятичная, но основание равно 16». |
Запись в тетрадях
Шестнадцатеричная система имеет основание 16 и использует цифры 0–9 и буквы A–F: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Перевод в десятичную систему: заменить буквенные цифры их значениями, умножить цифры на соответствующие степени 16 и сложить результаты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились читать шестнадцатеричные цифры и переводить запись в десятичную систему. Теперь проверим алгоритм на коротких заданиях, где особенно важно проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перевода шестнадцатеричных чисел в десятичную систему с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями $B_{16}$, $10_{16}$ и $3C_{16}$. «В первой минуте решает один партнёр, второй задаёт вопросы по алгоритму. Затем поменяйтесь ролями. Не называйте только ответ — записывайте разложение». | Решают задания в парах. Для $B_{16}$ получают 11, для $10_{16}$ — 16, для $3C_{16}$ — $3\cdot16+12=60$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $B_{16}=11_{10}$; $10_{16}=1\cdot16+0=16_{10}$; $3C_{16}=3\cdot16+12=60_{10}$. «Сверьте не только ответы, но и запись разрядов. Если есть расхождение, обведите место ошибки и исправьте его». | Сверяют решения, отмечают совпадения, исправляют ошибки. Объясняют партнёру, почему C заменяется на 12. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: «Ученик написал $2F_{16}=2\cdot10+15=35$. Согласны ли вы? Найдите ошибку и сформулируйте правило». | Находят ошибку: использовано основание 10 вместо 16. Исправляют: $2\cdot16+15=47$. Формулируют: «Вес разряда определяется основанием системы». |
Эталон решения
Для $3C_{16}$: 1) последняя цифра C имеет значение 12; 2) цифра 3 стоит в разряде $16^1$; 3) составляем $3\cdot16+12$; 4) вычисляем $48+12=60$; 5) записываем $3C_{16}=60_{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы умеете переводить запись в десятичную систему и находить типичную ошибку с неправильным основанием. Осталось освоить обратный путь — из десятичной системы в шестнадцатеричную».
Этап 6. Самостоятельная работа и открытие обратного алгоритма (9 мин)
Цель этапа: освоить перевод целого десятичного числа в шестнадцатеричную систему методом деления с остатком и проверить результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает пример перевода $58_{10}$: «Делим число на 16: $58:16=3$ и остаток 10. Остаток 10 записываем буквой A. Частное 3 меньше 16, его записываем слева. Получаем $3A_{16}$. Почему остаток читаем как цифру, а не как число 10?» | Записывают деление с остатком, отвечают: «В шестнадцатеричной системе значение 10 обозначается буквой A». Проверяют обратным переводом: $3\cdot16+10=58$. |
3 мин | Учитель раздаёт индивидуальную карточку с выбором уровня: базовый — перевести 31 и 47; повышенный — 75 и 126; дополнительный — 255 и объяснить связь с записью FF. «Выберите уровень самостоятельно. Сначала выполняйте деление, затем читайте остатки снизу вверх». | Выбирают уровень, выполняют перевод. Возможные ответы: $31_{10}=1F_{16}$, $47_{10}=2F_{16}$, $75_{10}=4B_{16}$, $126_{10}=7E_{16}$, $255_{10}=FF_{16}$. |
2 мин | Учитель показывает краткий эталон и просит провести самопроверку: «Проверка обязательна: переведите полученный ответ обратно. Если результат не совпал, проверьте остатки и порядок их записи». | Сверяют решения, выполняют обратный перевод одного примера, отмечают исправления другим цветом. |
Эталон решения
Для $75_{10}$: $75:16=4$, остаток 11; $4:16=0$, остаток 4. Читаем остатки снизу вверх: $4B_{16}$. Проверка: $4\cdot16+11=64+11=75$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли два взаимно обратных алгоритма и убедились, что проверка обратным переводом обнаруживает ошибку. Теперь применим знания к компьютерному контексту и ответим на вопрос, с которого начали урок».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: связать шестнадцатеричную систему с двоичной записью и осознать результаты собственной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу соответствий: $0=0000$, $1=0001$, $A=1010$, $F=1111$. «Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами. Как записать $2F_{16}$ в двоичной системе?» | Заменяют 2 на 0010, F на 1111 и получают $2F_{16}=00101111_2$. Формулируют: «Шестнадцатеричная запись короче двоичной в четыре раза по количеству групп». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете выполнить оба перевода самостоятельно; жёлтую — если нужен образец; красную — если пока трудно. Запишите рядом конкретный вопрос». | Поднимают карточки, фиксируют индивидуальное затруднение: «Путаю порядок остатков», «Забываю заменить F на 15», «Не понимаю разряды». |
2 мин | Учитель раздаёт выходной билет: «Ответьте письменно на три вопроса: чему равно A; как перевести $1C_{16}$ в десятичную систему; какая ошибка наиболее вероятна при обратном переводе?» | Заполняют выходной билет. Ожидаемые ответы: A=10; $1C_{16}=1\cdot16+12=28$; «остатки читают сверху вниз» или «не заменяют буквенную цифру её значением». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами вывели правила работы с шестнадцатеричной системой, научились переводить числа в обе стороны и увидели связь с двоичной записью. Завершим урок фиксацией результата и заданиями для самостоятельного выбора».
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: организовать фиксацию домашнего задания и обеспечить понимание критериев его выполнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Домашнее задание объявляется после урока в письменном виде. Учитель говорит: «Выберите уровень, ориентируясь не на оценку сложности, а на то, какой результат хотите получить. В каждом примере обязательно показывайте промежуточные действия и хотя бы один раз выполняйте обратную проверку». | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы по формату записи. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, корректно использованы обозначения A–F, записаны разрядные слагаемые или деление с остатком, выполнена обратная проверка.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка при правильно выбранном алгоритме; запись разрядов и обозначений в целом корректна, ошибка исправлена после самопроверки.
- «3» — выполнено не менее половины заданий, алгоритм узнаваем, но есть ошибки в значениях буквенных цифр, основании или порядке чтения остатков.
- Ниже «3» — отсутствует последовательное применение алгоритма или не различаются основание 10 и основание 16; требуется повторная работа по памятке с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о символах A–F и основании 16? | Проверка осознания ключевого понятия и устранение формального запоминания. |
Какой шаг перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную вы выполняете уверенно, а какой требует внимания? | Выявление точек затруднения в алгоритме разложения по разрядам. |
Какую ошибку вы нашли или могли бы допустить при переводе десятичного числа в шестнадцатеричное? | Проверка понимания роли остатков и их обратного порядка. |
Где шестнадцатеричная запись может быть полезна в информатике? | Связь предметного знания с практическим и профессиональным контекстом. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что буквы A–F в шестнадцатеричной системе являются цифрами со значениями от 10 до 15. Вы научились переводить числа в десятичную систему по разрядам и выполнять обратный перевод делением с остатком. Самая частая ошибка — использовать основание 10 вместо 16 или читать остатки в неправильном порядке, поэтому проверяйте ответ обратным переводом. На следующем уроке мы продолжим работу с представлением информации и рассмотрим, как системы счисления применяются при кодировании данных».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 переводов небольших целых чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную, включая записи с буквами A–F, и 3 обратных перевода десятичных чисел от 10 до 100. В каждом примере записать промежуточные действия. | Закрепляет таблицу значений A–F и два базовых алгоритма; при проверке смотреть на правильность основания, разрядов и остатков. |
Средний (повышающий) | Решить 4 смешанных задания: определить десятичное значение шестнадцатеричных чисел, перевести десятичные числа в шестнадцатеричную систему и выполнить обратную проверку минимум для трёх примеров. Одно задание оформить как разбор ошибочного решения. | Развивает самостоятельный выбор алгоритма, самоконтроль и умение находить причину ошибки. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое объяснение с двумя примерами, почему одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам, и перевести две записи между шестнадцатеричной и двоичной системами. | Формирует понимание связи систем счисления и умение объяснять практическое применение шестнадцатеричной записи. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое значение имеет F?», «Почему в записи $2A_{16}$ нужно умножать 2 на 16, а не на 10?», «В каком порядке читаются остатки при переводе из десятичной системы?»
