Системы счисления: перевод чисел и двоичная арифметика
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики объяснят различия позиционных и непозиционных систем счисления, представят число в развёрнутой форме и выполнят с проверкой переводы целых чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами, а также двоичное сложение.
- Сформировать умение определять алфавит и основание позиционной системы счисления и вычислять десятичное значение числа по его развёрнутой записи.
- Закрепить алгоритмы перевода целых чисел делением на основание системы и перевода в десятичную систему разложением по степеням основания.
- Развивать умение выбирать способ решения, проверять вычисления обратным переводом и находить ошибки в записях.
- Воспитывать внимательное отношение к точности вычислений и понимание роли двоичного и шестнадцатеричного кодирования в цифровых технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к тому, как компьютеры представляют числа и обрабатывают данные.
- Понимают практическую значимость точной записи чисел в цифровых устройствах.
- Осознанно выбирают уровень сложности задания и отвечают за проверку своего результата.
- Уважают аргументированные решения одноклассников при обсуждении способов перевода.
Метапредметные
- Извлекают из условия задания основание системы и допустимые символы её алфавита.
- Строят последовательность вычислений и представляют её в таблице или развёрнутой форме.
- Сравнивают два способа перевода и обосновывают выбор более удобного.
- Проверяют результат обратным переводом и корректируют вычисления при обнаружении ошибки.
Предметные
- Различают позиционные и непозиционные системы счисления, называют основание и алфавит позиционной системы.
- Записывают числа в развёрнутой форме и вычисляют их десятичное значение.
- Переводят целые числа от 0 до 1024 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.
- Выполняют сложение двоичных чисел столбиком, переносят единицу разряда и проверяют ответ в десятичной системе.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение систем счисления с собственным интересом к информатике и цифровым технологиям.
- Проявляют готовность самостоятельно выбрать посильный уровень практического задания.
- Оценивают значение точности и самопроверки при работе с данными.
- Принимают конструктивную обратную связь без обесценивания собственного результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения: определить значение числа или получить запись в заданной системе.
- Планируют вычисления по алгоритму развёрнутой записи либо деления с остатком.
- Сверяют каждый шаг с допустимыми цифрами и основанием системы.
- Исправляют ошибки после проверки обратным переводом.
Познавательные УУД
- Выделяют основание системы, значение разряда и вес каждой цифры в записи числа.
- Преобразуют числовую запись в сумму произведений цифр на степени основания.
- Сопоставляют позиционную запись с её десятичным значением.
- Анализируют вычисления, выявляют переносы и ошибки в двоичном сложении.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход перевода числа, используя названия разрядов и оснований.
- Задают уточняющие вопросы о выбранном алгоритме и проверке результата.
- Согласуют в паре обоснованный ответ, учитывая предложения обоих участников.
- Аргументированно представляют способ решения и корректно указывают на найденную ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с таблицей оснований 2, 8, 10 и 16 и соответствующих алфавитов; для шестнадцатеричной системы указать A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
- Заранее записать на доске два алгоритма: развёрнутая форма для перевода в десятичную систему и деление с остатком для перевода из десятичной.
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней — по одной на каждого ученика, подготовить отдельный ключ для самопроверки.
- Подготовить карточки с утверждениями для актуализации — один комплект на парту.
- Вывести на экран схему двоичного сложения с примерами переноса: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1.
- Подготовить таймер для короткой парной работы и стикеры трёх цветов для рефлексивного светофора.
- Понадобятся проектор или интерактивная доска, компьютер учителя, тетради и ручки; компьютеры учеников не обязательны.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к тому, как одна и та же величина записывается разными способами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране записи 25₁₀, 11001₂ и 31₈: «Здравствуйте, ребята. Посмотрите на экран: перед вами три записи, но я утверждаю, что каждая обозначает одно и то же количество. Как вы думаете, что меняется, а что остаётся одинаковым? Сегодня мы проверим это вычислениями и выясним, как компьютер использует такие записи». | Готовят тетради и формулируют предположения: «Меняются цифры и основание», «Значение может быть одинаковым». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала подумайте самостоятельно полминуты, затем минуту обсудите с соседом, какая запись кажется привычнее и почему. Поделитесь одним предположением. Не требуется сразу знать ответ — важно объяснить ход мысли». Учитель фиксирует на доске варианты «запись» и «значение». | Обдумывают вопрос, обсуждают в парах и озвучивают варианты: «В десятичной записи значение понятно по разрядам», «В двоичной используются только 0 и 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили, что запись может меняться, а количество оставаться тем же. Чтобы доказать это, сначала вспомним, что уже знаем о разрядах и системах счисления».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия алфавита, основания и разрядного значения числа и выявить, какие алгоритмы требуют повторения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске число 352₁₀ и спрашивает: «Из каких цифр составлен алфавит привычной нам десятичной системы? Сколько единиц каждого разряда содержит эта запись? Почему цифра 5 здесь означает пять десятков, а не пять единиц?» | Называют цифры от 0 до 9 и объясняют: «3 сотни, 5 десятков, 2 единицы; положение цифры определяет её вклад». |
3 мин | Учитель раздаёт на каждую парту карточку с утверждениями: «В непозиционной системе значение символа зависит от места»; «В двоичной системе используются 0 и 1»; «В восьмеричной системе есть цифра 8». Просит отметить верные и неверные высказывания и обсудить одно объяснение: «Опирайтесь на определение, а не на догадку. Какое утверждение противоречит алфавиту соответствующей системы?» | В парах отмечают утверждения: первое — неверно, второе — верно, третье — неверно; объясняют, что цифры восьмеричной системы — от 0 до 7. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что в позиционной системе значение зависит от места цифры, а основание задаёт набор цифр и веса разрядов. Проверим теперь, умеем ли мы уверенно использовать эти правила при переводе».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при определении десятичного значения записи в незнакомой системе и совместно сформулировать план работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске 1011₂ и 25₈: «Представьте, что эти записи встретились вам в задаче. Можно ли просто прочитать их как десятичные числа? Почему цифры сами по себе ещё не дают ответа? Попробуйте найти значение 1011₂ знакомым способом, а если способ неочевиден — точно сформулируйте затруднение». | Предлагают варианты и замечают затруднение: «Нельзя считать запись десятичной без указания основания», «Необходимо учитывать вес разрядов». |
3 мин | Учитель организует короткий сократовский диалог: «Как меняется вес разряда справа налево в десятичной записи? Какую роль здесь играет число 10? Если основание равно 2, каким будет вес соседнего разряда? Как можно проверить полученное значение другим способом?» Затем просит класс назвать цель и порядок действий. | Формулируют цель: «Научиться переводить числа в десятичную систему и обратно». Предлагают план: определить основание, записать веса разрядов, вычислить сумму, проверить результат. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы определили, что затруднение связано с весами разрядов и основанием системы. Сейчас выведем развёрнутую форму и применим её к двоичным, восьмеричным и шестнадцатеричным числам».
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания (12 мин)
Цель этапа: обобщить развёрнутую запись позиционного числа и восстановить алгоритмы перевода между системами счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает пример: 1101₂. «Запишем число как сумму вкладов цифр. Крайняя справа цифра умножается на 2⁰, следующая — на 2¹, затем идут 2² и 2³. Получаем 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰. Вычислите сумму вместе со мной и обратите внимание: нулевой разряд не добавляет единиц, но место в записи сохраняет». | Записывают развёрнутую форму и вычисляют: 8 + 4 + 0 + 1 = 13; формулируют: «1101₂ = 13₁₀». |
4 мин | Учитель рядом записывает 25₈ и 2A₁₆: «Правило то же, меняется только основание. Для 25₈ имеем 2·8¹ + 5·8⁰. В шестнадцатеричной записи A означает десять, поэтому 2A₁₆ = 2·16¹ + 10·16⁰. Какие значения получаются? Как проверите, что символ A допустим?» | Вычисляют: 25₈ = 21₁₀, 2A₁₆ = 42₁₀; называют алфавиты: в восьмеричной цифры 0–7, в шестнадцатеричной цифры 0–9 и буквы A–F. |
4 мин | Учитель показывает на доске алгоритм обратного перевода: «Чтобы перевести 13₁₀ в двоичную систему, делим на 2 до нуля и записываем остатки снизу вверх: 13:2 = 6, остаток 1; 6:2 = 3, остаток 0; 3:2 = 1, остаток 1; 1:2 = 0, остаток 1. Для основания 8 или 16 делим на 8 или 16, а остатки читаем в обратном порядке. Числа от 0 до 1024 переводятся тем же алгоритмом». | Записывают алгоритм деления с остатком, сверяют последовательность и получают 13₁₀ = 1101₂; проговаривают, что для восьмеричной и шестнадцатеричной систем меняется делитель. |
Запись в тетрадях
Позиционное число aₙ…a₁a₀ в системе с основанием q: aₙ·qⁿ + … + a₁·q¹ + a₀·q⁰. Перевод в десятичную систему выполняется вычислением этой суммы; перевод из десятичной системы — последовательным делением на основание с чтением остатков снизу вверх. Допустимые цифры системы с основанием q: от 0 до q−1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть два взаимно проверяемых алгоритма: разложение по степеням основания и деление с остатком. Потренируемся применять их, а затем отдельно проверим двоичное сложение».
Этап 5. Первичное закрепление и двоичная арифметика (7 мин)
Цель этапа: закрепить перевод в десятичную систему и отработать перенос разряда при сложении двоичных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу на доске: «Переведите 10110₂ в десятичную систему. Запишите не только ответ, но и развёрнутую форму: так будет виден вклад каждого разряда. Сначала решите самостоятельно, затем сравните вычисление с соседом». | Записывают: 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 + 4 + 2 = 22; в паре проверяют сумму. |
4 мин | Учитель показывает сложение столбиком: 1011₂ + 110₂. «Складываем справа налево. Если в разряде получается 1 + 1, записываем 0 и переносим 1 в следующий разряд; если вместе с переносом выходит 1 + 1 + 1, записываем 1 и снова переносим 1. Выполните сложение в тетради и проверьте результат переводом обоих слагаемых в десятичную систему». | Выполняют сложение и получают 10001₂; проверяют: 1011₂ = 11₁₀, 110₂ = 6₁₀, 11 + 6 = 17, а 10001₂ = 17₁₀. |
Эталон решения
1011₂ + 0110₂ = 10001₂. Поразрядно справа налево: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10₂, записываем 0, переносим 1; 0 + 1 + 1 = 10₂, записываем 0, переносим 1; 1 + 0 + 1 = 10₂, записываем 0, переносим 1 в новый разряд. Проверка: 1011₂ = 11₁₀, 0110₂ = 6₁₀, сумма равна 17₁₀ = 10001₂.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «При двоичном сложении особенно важно не потерять перенос. Вы уже проверили результат независимым способом; теперь каждый выполнит набор заданий выбранного уровня самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами перевода и двоичного сложения и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: «Обязательное задание выполняют все. Затем выберите базовое или повышенное продолжение: можно взять уровень, который сейчас даст вам полезное усилие, а не просто самый лёгкий или самый трудный. На карточке есть критерии: важны ход решения и проверка». | Получают карточки, выбирают продолжение и записывают в тетрадь номер своего уровня и планируемые задания. |
5 мин | Учитель включает таймер и напоминает: «Выполните перевод 73₁₀ в восьмеричную систему и 2F₁₆ в десятичную; затем сложите 101₂ + 11₂. Для перевода в восьмеричную используйте деление с остатком, для перевода 2F₁₆ — развёрнутую форму. Если закончили, проверьте одно решение обратным способом». Учитель наблюдает за ходом работы и отмечает типичные ошибки. | Индивидуально решают: 73₁₀ переводят делением на 8; 2F₁₆ раскладывают по степеням 16; двоичные числа выравнивают по разрядам и складывают с переносом. |
3 мин | Учитель выводит ключ и задаёт порядок самопроверки: «Сверьте не только ответы, но и основание деления, допустимость цифр и переносы. Поставьте рядом с каждым заданием знак “+”, если всё верно, или “?”, если нужно исправление. Исправление сделайте другим цветом; ошибку отметьте конкретно: неверный остаток, разряд или перенос». | Сверяют решения с ключом, исправляют вычисления и фиксируют затруднение. Ожидаемые результаты: 73₁₀ = 111₈; 2F₁₆ = 47₁₀; 101₂ + 11₂ = 1000₂. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показывает не только правильный ответ, но и место ошибки. Сопоставим наши способы с реальными цифровыми записями и проверим, чем полезна шестнадцатеричная система».
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: связать изученные системы с представлением данных в цифровых устройствах, оценить достижение цели и сообщить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условную запись цвета R = FF₁₆ и задаёт вопрос: «Мы не будем сегодня изучать кодирование цвета целиком. Но почему шестнадцатеричная запись удобнее длинной двоичной строки? Обсудите ответ с соседом и приведите аргумент». Затем предлагает светофор: «Поднимите зелёный стикер, если можете выполнить оба перевода самостоятельно; жёлтый — если нужен образец; красный — если пока неясно, с чего начать». | Обсуждают, что шестнадцатеричные цифры компактно группируют двоичные разряды; выбирают стикер по уровню уверенности и при необходимости называют конкретный вопрос. |
2 мин | Учитель собирает билеты на выход и сообщает задание: «На маленьком листке ответьте: как определить десятичное значение числа 101₂ и какое правило помогает перевести десятичное число в систему с основанием 8? Запишите один шаг рассуждения. Домашняя работа дана с тремя уровнями: обязательный выполняют все, остальные выбирают по готовности». | Записывают билет на выход с вычислением 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 5 и формулируют алгоритм деления на основание с чтением остатков снизу вверх. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены три обязательных задания самостоятельной работы, записаны развёрнутая форма и деление с остатком, двоичное сложение проверено переводом в десятичную систему.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх; алгоритм выбран правильно, допущена не более чем одна вычислительная ошибка, которую ученик исправил при самопроверке.
- «3» — верно выполнено не менее одного задания; ученик определяет основание системы и при опоре на запись или подсказку выполняет основные шаги алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по записи числа определить основание и допустимые цифры системы? | Проверить понимание связи основания с алфавитом системы счисления. |
Какой способ помог перевести число в десятичную систему и почему? | Выявить осознанное применение развёрнутой формы, а не механическое вычисление. |
Где чаще всего возникала ошибка: в остатках, значениях разрядов или переносе? | Определить конкретные точки затруднения для последующей коррекции. |
Какой уровень следующего задания вы готовы выбрать и что поможет справиться? | Оценить самоэффективность и готовность ученика к самостоятельному выбору сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что одна и та же величина может иметь разные записи, а основание системы задаёт веса разрядов и допустимые цифры. Вы применили развёрнутую форму, перевели числа между системами и выполнили двоичное сложение. Самая частая ошибка — забыть основание или потерять перенос, поэтому обязательно проверяйте ответ обратным способом. Выберите домашний уровень осознанно и запишите вопрос, который хотите разобрать. На следующем уроке мы продолжим работу с представлением информации в компьютере».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 перевода целых чисел: два числа из двоичной или восьмеричной системы в десятичную и два числа из десятичной системы в двоичную или восьмеричную; для каждого перевода записать ход решения. | Закрепляет развёрнутую форму и деление с остатком; при проверке смотреть на соответствие цифр основанию и порядок чтения остатков. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий: перевести два числа из шестнадцатеричной системы в десятичную, десятичное число до 1024 перевести в восьмеричную и двоичную, затем сложить два двоичных числа. | Развивает выбор алгоритма и перенос навыка на разные основания; при проверке обращать внимание на значения A–F и переносы при сложении. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное числовое сообщение из трёх чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах, перевести их в десятичную и добавить проверку обратным переводом; отдельно придумать пример двоичного сложения с двумя переносами. | Развивает создание и анализ числовых примеров; при проверке оценивать корректность алфавита, вычислений и доказательность проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: что называют основанием позиционной системы счисления? Как найти десятичное значение числа по развёрнутой форме? В каком порядке читают остатки при переводе делением? Что происходит при сложении 1 + 1 в двоичной системе?
