Системы счисления: практическое закрепление переводов и арифметических операций
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: за 45 минут закрепить умение распознавать позиционные и непозиционные системы счисления, переводить целые числа из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную и обратно, а также выполнять сложение и вычитание двоичных чисел с точностью не менее 80% заданий.
- Закрепить понятия «алфавит», «основание системы счисления», «развёрнутая форма записи числа» и различие между позиционными и непозиционными системами.
- Отработать перевод целых чисел от 0 до 1024 между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами счисления.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, проверять результат обратным переводом и аргументировать ход рассуждения.
- Воспитывать ответственное отношение к результату совместной работы, интерес к способам представления информации в информатике и самостоятельность при выборе уровня задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам кодирования чисел и связи систем счисления с работой компьютера.
- Осознают ценность аккуратности, проверки и ответственности за собственный результат.
- Принимают право одноклассника выбрать посильный уровень задания и конструктивно оценивают совместную работу.
- Связывают изучаемые способы представления чисел с будущей учебной и профессиональной деятельностью в цифровой среде.
Метапредметные
- Извлекают нужный алгоритм из памятки, преобразуют информацию из одной знаковой формы в другую.
- Планируют решение, выбирают способ перевода и выполняют самопроверку обратным действием.
- Сравнивают решения, находят ошибки в записи разрядов и объясняют причину расхождения результатов.
- Сотрудничают в паре или группе, распределяют роли и аргументированно представляют ответ.
Предметные
- Знают, что алфавит системы счисления содержит допустимые цифры и символы, а основание определяет их количество.
- Различают позиционные и непозиционные системы счисления и приводят примеры.
- Умеют записывать числа в развёрнутой форме и переводить их в десятичную систему.
- Умеют переводить целые числа от 0 до 1024 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
- Владеют приёмами сложения и вычитания двоичных чисел и проверяют результат переводом в десятичную систему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок: улучшить точность переводов или освоить более сложный способ решения.
- Осознают значение систем счисления для хранения и обработки данных компьютером.
- Проявляют готовность спокойно исправлять ошибку после проверки.
- Оценивают собственный вклад в парную или командную работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения задания по выбранному алгоритму.
- Распределяют время между заданиями базового и повышенного уровня.
- Сверяют промежуточный результат с ограничениями основания системы.
- Осуществляют самопроверку обратным переводом и корректируют ошибочную запись.
Познавательные УУД
- Классифицируют системы счисления по признаку положения цифры.
- Представляют число как сумму произведений цифр на степени основания.
- Анализируют двоичную запись и устанавливают соответствие между разрядами и степенями двойки.
- Моделируют арифметические действия в новой знаковой системе и используют вычислительный эксперимент для проверки.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о непонятном шаге алгоритма и получают объяснение от партнёра.
- Распределяют роли «решающий», «проверяющий», «спикер» и меняют их в ходе игры.
- Аргументируют выбор способа перевода и корректно указывают на ошибку.
- Согласовывают общий ответ группы и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с памятками: допустимые символы в системах с основаниями 2, 8, 10 и 16; степени двойки до 2^10; правила двоичного сложения и вычитания.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать четыре комплекта карточек для командной игры «Маршрут числа»: числа в разных системах счисления, задания на перевод и контрольные ответы.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «распознаю систему», «перевожу в десятичную», «перевожу из десятичной», «выполняю двоичные действия».
- Подготовить карточки ролей для работы в группах: «решающий», «проверяющий», «спикер».
- Вывести на доску таблицу символов шестнадцатеричной системы: 0–9, A, B, C, D, E, F.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для игровых раундов и маркеры для фиксации баллов команд.
- Организовать рабочие места так, чтобы учащиеся могли быстро объединиться в четыре группы и затем перейти к индивидуальной работе.
Ход урока
Этап 1. Практическая разминка «Проверь себя» (5 мин)
Цель этапа: быстро повторить основные типы заданий проверочной работы и выявить, какие алгоритмы требуют дополнительной тренировки.
Время | Задание | Самопроверка |
|---|---|---|
2 мин | Определите, какие записи корректны: 101101₂, 248₈, 2G₁₆, 134₅. Для некорректных записей назовите недопустимые цифры или символы. | Корректны 101101₂ и 134₅; в 248₈ недопустима цифра 8, в 2G₁₆ — символ G. |
2 мин | Без перевода в десятичную систему сопоставьте записи 111111₂, 377₈ и FF₁₆. Какое число они обозначают? | Все записи обозначают 63₁₀. |
1 мин | Выберите задание для индивидуальной тренировки: перевод в десятичную систему, перевод из десятичной системы, двоичное сложение или двоичное вычитание. | Ученик отмечает выбранный тип задания и проверяет себя на следующих этапах. |
Завершение этапа: учитель фиксирует типичные затруднения и сообщает: «Сегодня мы не изучаем новые правила, а тренируемся выполнять задания проверочной работы. Работайте с записью решения и обязательно проверяйте ответ обратным действием или переводом в десятичную систему».
Этап 2. Тренировочный блок: быстрые переводы и распознавание систем
Цель этапа: актуализировать понятия алфавита, основания, позиционной системы и развёрнутой формы записи.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Задание | Ожидаемый результат |
|---|---|---|
2 мин | Определите, какие записи корректны: 101101₂, 248₈, 2G₁₆, 134₅. Для некорректных записей объясните ошибку. | Распознают недопустимые цифры и символы. |
2 мин | Переведите в десятичную систему: 110011₂, 352₈, 2D₁₆. | Записывают развёрнутую форму и получают 51₁₀, 234₁₀, 45₁₀. |
2 мин | Сопоставьте записи одного числа: 45₁₀, 101101₂, 55₈, 2D₁₆. Объясните способ проверки. | Используют обратный перевод или разложение по степеням основания. |
Запись в тетрадях
Алфавит — набор допустимых символов системы счисления. Основание позиционной системы — количество символов её алфавита. В развёрнутой форме число записывают как сумму произведений цифр на степени основания.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что основание ограничивает набор цифр, а положение цифры определяет её вклад в число. Теперь проверим, насколько уверенно вы применяете эти правила в переводах."
Этап 3. Практикум «Переводчик» (7 мин)
Цель этапа: определить затруднения и выбрать индивидуальную траекторию практической работы.
Время | Задание | Проверка |
|---|---|---|
3 мин | Переведите 73₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. | Сверьте ответы с разложением 73 = 64 + 8 + 1. |
2 мин | Переведите 1001011₂, 145₈ и 4A₁₆ в десятичную систему. | Проверьте один ответ обратным переводом. |
2 мин | Исправьте решения: 58₁₀ = 111000₂; 64₁₀ = 100₈; 3F₁₆ = 56₁₀. | Находят ошибки в разрядах, основании и значении символа F. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что внешняя запись может вводить в заблуждение. Сейчас каждая группа пройдёт свой участок маршрута и соберёт доказательства правильности ответов."
Этап 4. Практикум «Смешанные задания» (12 мин)
Цель этапа: закрепить переводы между системами счисления и применение развёрнутой формы записи в условиях командного соревнования.
Время | Задания | Ответы для самопроверки |
|---|---|---|
4 мин | Решите: 101011₂ + 1101₂; 11100₂ − 1011₂. | 110000₂; 10001₂. |
4 мин | Выполните цепочку: 110010₂ → десятичная система → восьмеричная и шестнадцатеричная системы. | 50₁₀ = 62₈ = 32₁₆. |
4 мин | Найдите и исправьте ошибки: 10101₂ + 111₂ = 11000₂; 27₈ = 25₁₀; 1B₁₆ = 20₁₀. | Правильные результаты: 11100₂; 23₁₀; 27₁₀. |
Эталон решения
110101₂ = 1·2⁵ + 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 16 + 4 + 1 = 53₁₀. 347₈ = 3·8² + 4·8¹ + 7·8⁰ = 192 + 32 + 7 = 231₁₀. 2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀. 58₁₀ = 32 + 16 + 8 + 2 = 111010₂; 58 : 8 = 7 остаток 2, 7 : 8 = 0 остаток 7, поэтому 58₁₀ = 72₈; 58 : 16 = 3 остаток 10 = A, поэтому 58₁₀ = 3A₁₆.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Команды показали, что один алгоритм не всегда одинаково удобен. Для перевода в десятичную систему удобно раскрывать степени основания, а для перевода из десятичной — раскладывать число по степеням или использовать деление с остатком. Теперь применим эти знания к двоичной арифметике."
Этап 5. Тренировка перед проверочной: двоичная арифметика (8 мин)
Цель этапа: отработать сложение и вычитание двоичных чисел с обязательной проверкой в десятичной системе.
Время | Задание | Ответ |
|---|---|---|
3 мин | Выполните: 101101₂ + 1110₂ и 100000₂ − 1111₂. | 111011₂; 10001₂. |
3 мин | Решите без перевода в десятичную систему: 110011₂ − 10101₂ и 11101₂ + 10011₂. | 11110₂; 110000₂. |
2 мин | Проверьте два ответа в десятичной системе и объясните найденную ошибку в записи 1001₂ + 111₂ = 1010₂. | Правильно: 10000₂; ошибка в переносе. |
Эталон решения
10101₂ − 00111₂: справа налево выполняем 1−1=0; 0−1 требует займа, получаем 10₂−1=1; следующий разряд после займа изменяется, затем последовательно получаем 01110₂. Проверка: 10101₂=21₁₀, 00111₂=7₁₀, 21−7=14₁₀=01110₂.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В двоичной арифметике особенно важно выравнивать разряды и фиксировать перенос или заём. Осталась индивидуальная проверка: каждый покажет, какой уровень освоил лично, без подсказки группы."
Этап 6. Мини-вариант проверочной и разбор ошибок (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение переводами и двоичными операциями.
Время | Задания | Самопроверка |
|---|---|---|
5 мин | Выполните мини-вариант без подсказок: 1) переведите 110101₂ в десятичную систему; 2) переведите 94₁₀ в двоичную и шестнадцатеричную системы; 3) вычислите 10110₂ + 1101₂; 4) найдите ошибку: 27₈ = 25₁₀. | Ответы: 53₁₀; 1011110₂ и 5E₁₆; 100011₂; 27₈ = 23₁₀. |
3 мин | Сверьте решения с эталоном, для каждой ошибки укажите её тип: основание, разряд, остаток, перенос или заём. | Исправьте решение другим цветом и выберите одно задание для повторного выполнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только количество верных ответов, но и место, где возникает ошибка. Запомните: ошибка в основании, разрядах или обратном порядке остатков исправляется разными способами. Завершим урок осмыслением результата."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные алгоритмы, определить индивидуальное затруднение и принять домашнее задание по выбранному уровню.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Запишите три короткие фразы: сегодня я научился; теперь я могу проверить себя так; мне нужно повторить. Затем покажите цвет самооценки: зелёный — готов решать самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Заполняют лист самооценки, показывают цвет, формулируют: "Я умею переводить в десятичную систему", "Мне трудно вычитать двоичные числа". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а если чувствуете уверенность — добавьте повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: чем отличается цифра от её значения в конкретном разряде?" | Записывают выбранный уровень задания и отвечают: "Значение цифры зависит от её положения и основания системы". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного обязательного и повышенного уровня, корректно записаны развёрнутые формы или промежуточные действия, выполнена проверка минимум одного результата; ученик может объяснить алгоритм.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении, но алгоритм перевода и способ проверки выбраны правильно.
- «3» — верно выполнено не менее 60% обязательных заданий, распознаны основания систем и записан общий алгоритм, однако имеются ошибки в степенях, остатках или двоичной арифметике.
- Ниже базового уровня — работа требует доработки по индивидуальному маршруту: повторить памятку и выполнить аналогичные задания с пошаговой проверкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какие символы допустимы в системе с данным основанием? | Проверка понимания связи между основанием и алфавитом системы. |
Какой способ перевода из десятичной системы оказался для вас удобнее и почему? | Выявление осознанного выбора алгоритма и уровня самостоятельности. |
На каком шаге двоичного сложения или вычитания возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в арифметическом алгоритме. |
Как вы проверяли полученный результат? | Формирование навыка самоконтроля и обратной проверки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали не только с отдельными примерами, но и с общим принципом представления чисел. Мы повторили алфавит и основание системы, переводы между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами, а также двоичную арифметику. Самая частая ошибка — забыть основание или нарушить порядок разрядов при проверке. На следующем уроке мы будем применять эти навыки к кодированию информации и решению задач, связанных с объёмом данных."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: перевести два числа из двоичной и восьмеричной систем в десятичную, два десятичных числа от 0 до 1024 — в двоичную и выполнить два двоичных действия: сложение и вычитание. Один результат проверить обратным переводом. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на правильность основания, разрядов, переносов и заёмов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 смешанных заданий: перевести два числа из шестнадцатеричной системы в десятичную, десятичные числа — в восьмеричную и шестнадцатеричную, а также решить две операции в двоичной системе с проверкой. | Развивает гибкость выбора способа перевода; при проверке смотреть на использование символов A–F и оформление промежуточных вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-квест для одноклассника из 4 шагов: зашифровать число от 0 до 1024 в трёх системах, добавить одну двоичную операцию и подготовить ответы с объяснением алгоритма. | Развивает творческое применение знаний, умение составлять проверяемые задания и аргументировать решение. |
