Арифметические действия в позиционных системах счисления
Цели и задачи
- Цель: за 45 минут закрепить алгоритмы сложения, вычитания и умножения натуральных чисел в двоичной системе счисления и научиться проверять вычисления переводом результата в десятичную систему.
- Образовательная задача: повторить правила переноса разряда и заимствования при вычислениях в двоичной системе.
- Развивающая задача: развивать умение моделировать вычисления столбиком, обнаруживать ошибки и обосновывать способ проверки.
- Развивающая задача: совершенствовать навыки парной и групповой работы, аргументации и выбора задания по уровню сложности.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений и уважительное взаимодействие при взаимопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что точность вычислений важна при работе с цифровой техникой и данными.
- Проявляют готовность самостоятельно выбрать уровень задания и довести решение до проверки.
- Принимают разные способы объяснения решения и корректно обсуждают ошибки одноклассников.
- Оценивают собственный прогресс и отмечают, какой алгоритм требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Извлекают данные из записи числа и соотносят цифры с разрядами позиционной системы.
- Планируют последовательность вычислений, сверяют результат с условием и исправляют найденную ошибку.
- Аргументируют выбор способа проверки и представляют решение в понятной форме.
- Используют электронный ресурс для проверки вычислений после самостоятельного решения, а не вместо него.
Предметные
- Знают правила сложения, вычитания и умножения натуральных чисел в двоичной системе счисления.
- Умеют выполнять действия с двоичными числами столбиком, фиксируя перенос и заимствование.
- Умеют проверять результат переводом операндов и ответа в десятичную систему.
- Умеют находить и объяснять типичную ошибку в записи двоичного вычисления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с практическим применением двоичной записи в информатике.
- Выбирают индивидуальную цель тренировки: безошибочно выполнять действие или объяснять его другому.
- Проявляют настойчивость при проверке промежуточных разрядов и исправлении вычислительной ошибки.
- Соблюдают доброжелательный тон при парной взаимопроверке.
Регулятивные УУД
- Формулируют личную цель работы на уроке и выбирают последовательность выполнения заданий.
- Сверяют каждый разряд ответа с алгоритмом переноса или заимствования.
- Используют десятичную проверку и критерии карточки для самоконтроля.
- Корректируют решение после обнаружения расхождения, указывая конкретный шаг, где возникла ошибка.
Познавательные УУД
- Моделируют двоичное вычисление столбиком и связывают разрядную запись с числовым значением.
- Анализируют закономерности двоичного сложения и применяют их в вычислениях.
- Сравнивают основной способ решения с проверкой переводом в десятичную систему.
- Находят логическую ошибку в готовом решении и обосновывают исправление.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий и докладчик.
- Объясняют партнеру ход решения, называя переносы и заимствования по разрядам.
- Задают уточняющие вопросы и приводят аргументы при обсуждении разных ответов.
- Согласуют общий ответ группы и представляют его классу в краткой, проверяемой форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить проектор или интерактивную доску, компьютер учителя и доступ к электронному тренажеру по арифметическим действиям в двоичной системе; заранее проверить открытие ресурса.
- Подготовить слайд с правилами двоичного сложения, вычитания и умножения, а также примером проверки результата переводом в десятичную систему.
- Распечатать индивидуальные карточки трех уровней — по одной на ученика; предусмотреть возможность выбрать базовую или повышенную карточку.
- Распечатать групповые карточки с заданиями и карточку с намеренно ошибочным решением — по одному комплекту на группу из 4 человек.
- Подготовить жетоны или бумажные отметки для командной игры, стикеры для самооценки и таймер.
- Подготовить на доске таблицу разрядов для двоичного столбика и место для записи командных результатов.
- Подготовить мини-карточки для выхода с вопросом на проверку понимания — по одной на ученика.
- Организовать посадку парами и группами по 4 человека; обеспечить свободное пространство для короткой физкультминутки.
- Методические ресурсы: авторские карточки урока, электронный тренажер или локальная интерактивная презентация, таблица соответствия нескольких двоичных и десятичных чисел.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровой вызов (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и включить учеников в повторение через короткую игровую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня мы будем работать как команда проверяющих цифровые данные: здесь важны и скорость, и точность. На доске появится двоичное число, а ваша задача — быстро определить, какое знакомое десятичное число за ним стоит». | Готовят тетради и ручки; настраиваются на работу, читают появившееся на доске число 1010₂. |
2 мин | Учитель показывает 1010₂ и предлагает игровую разминку: «У вас есть полминуты подумать самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Не выкрикивайте сразу результат — договоритесь о коротком объяснении. Какое это число в десятичной системе и как вы это проверили?» | Сначала думают индивидуально, затем 1 минуту обсуждают в паре; отвечают: «Это 10, потому что 1·8 + 0·4 + 1·2 + 0·1 = 10». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы быстро восстановили связь между двоичной и десятичной записью. Теперь проверим, какие правила вычислений нам уже помогают и где может возникнуть затруднение».
Этап 2. Актуализация знаний: «Разогрев разрядов» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать разрядный состав двоичного числа и правила арифметических действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на таблицу разрядов на доске: справа налево стоят 1, 2, 4, 8, 16. Запишите в тетради разложение числа 1101₂ по степеням двойки. Какие разряды в нем заняты? Проговорите не только ответ, но и основание каждого слагаемого». | Записывают: 1101₂ = 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 13₁₀; называют занятые разряды 8, 4 и 1. |
3 мин | Учитель выводит на экран правила сложения 0+0, 0+1, 1+0, 1+1 и спрашивает: «Что происходит в последнем случае? А что будет при вычитании из 10₂ единицы в правом разряде? Вспомните правило умножения и объясните, почему произведение 1·1 равно 1». | Отвечают: «При 1+1 записываем 0 и переносим 1 в следующий разряд»; «из 10₂ после заимствования получаем 1 в младшем разряде»; воспроизводят правило умножения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Опорные правила вспомнили. Сейчас посмотрим на решение, в котором всё выглядит правдоподобно, но есть ошибка: попробуйте найти ее и объяснить, почему она появилась».
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить типичное затруднение и определить, что именно нужно отработать.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске запись: 1011₂ + 1101₂ = 10100₂ и говорит: «Пока не исправляйте решение. Сначала проверьте его другим способом: переведите слагаемые и результат в десятичную систему. Совпадает ли сумма? Где, по-вашему, мог потеряться или появиться разряд?» | В парах вычисляют: 1011₂ = 11₁₀, 1101₂ = 13₁₀, сумма равна 24₁₀; замечают, что 10100₂ = 20₁₀, и формулируют: «Ответ неверен, вероятно, допущена ошибка при переносе». |
2 мин | «Какой навык поможет нам не только получить ответ, но и обнаружить такую ошибку? Сформулируйте цель урока своими словами. Сегодня у каждого будет выбор: сначала обязательная тренировка, затем задача повышенной сложности или творческое задание». Учитель фиксирует общую цель на доске. | Предлагают цель: «Повторить двоичные вычисления и научиться проверять результат»; записывают цель и выбирают карточку, с которой начнут работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что одной аккуратной записи недостаточно: результат нужно проверить. Перейдем к моделированию вычислений и разберем, как переносить единицу в следующий разряд».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Моделирование алгоритмов и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы двоичных действий посредством пошагового моделирования и связать их с представлением данных в компьютере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает столбиком 1011₂ + 1101₂ и проговаривает: «Начинаем справа. В первом разряде 1+1: записываю 0, переношу 1. В следующем разряде учитываю перенос: 1+0+1 = 10₂, снова записываю 0 и переношу 1. Дальше действуем так же, не забывая перенос». Затем спрашивает: «Почему перенос в двоичной системе возникает уже при сумме двух единиц?» | В тетрадях моделируют сложение по разрядам, записывают переносы над столбиком; отвечают: «Потому что 1+1 равно 10₂: в текущем разряде остается 0, единица переходит в следующий». |
3 мин | Учитель показывает умножение 101₂·11₂: «Запишем частичные произведения: 101₂·1 и 101₂·1 со сдвигом на один разряд. Затем складываем их. Посмотрите, почему сдвиг при умножении на второй разряд соответствует умножению на 10₂». Учитель подчеркивает связь с двоичным представлением данных и логикой цифровых устройств. | Записывают частичные произведения и получают 1111₂; объясняют, что сдвиг влево на один двоичный разряд означает умножение на 2. |
2 мин | «Проверим результат сложения переводом в десятичную систему: 1011₂ — это 11, 1101₂ — это 13. Сумма 24, значит в двоичной записи должен получиться 11000₂. Сравните проверку с ошибочной записью из начала урока. Какая операция оказалась решающей?» | Сопоставляют 11000₂ и ошибочное 10100₂; называют проверку переводом в десятичную систему способом обнаружения ошибки. |
Запись в тетрадях
Записывают краткую памятку: при сложении 1+1=10₂, при вычитании при необходимости выполняют заимствование из старшего разряда; при умножении частичные произведения сдвигают в соответствии с разрядом множителя. Проверка: перевести операнды и ответ в десятичную систему.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы смоделировали сложение и умножение и увидели, как разрядность связана с двоичной логикой компьютера. Чтобы не терять концентрацию перед самостоятельной практикой, сделаем короткую разминку».
Этап 5. Физкультминутка «Разрядный переключатель» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и переключить внимание, сохранив связь движения с темой урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте рядом с партой. Я называю двоичную цифру: если это 1 — поднимаем руки вверх, если 0 — опускаем руки и слегка наклоняемся. Последовательность будет такая: 1, 0, 1, 1, 0, 0. Теперь представьте, что каждая цифра — это разряд в вычислении: на слово “перенос” сделайте шаг на месте и поднимите один палец». | Выполняют движения по последовательности, затем садятся; называют, что короткая активность помогла переключиться перед индивидуальной работой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Переключились и возвращаемся к вычислениям. Сейчас каждый сначала решит обязательное задание, а затем сможет выбрать дополнительную задачу или творческий вариант».
Этап 6. Парная и групповая игровая практика (8 мин)
Цель этапа: закрепить вычислительные алгоритмы и взаимопроверку на заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздает карточки и объясняет игру «Двоичный экспресс»: «Выполните обязательный пример, покажите ход решения партнеру и проверьте его. За верный ответ с проверкой группа получает жетон; за найденную и объясненную ошибку — дополнительный жетон. Взаимопроверка — не поиск виноватого, а способ сделать решение надежнее». | В группах по 4 человека распределяют роли: вычислитель, проверяющий, докладчик и хранитель времени; читают обязательное задание. |
4 мин | «Обязательный маршрут для всех: вычислите 10110₂ − 111₂ и проверьте ответ переводом в десятичную систему. Затем выберите один маршрут: базовый — сложение 1101₂ + 101₂; повышенный — умножение 110₂·101₂; исследовательский — найдите ошибку в готовом решении 10000₂ − 1₂ = 10001₂ и исправьте ее». Учитель наблюдает за группами и задает уточняющие вопросы: «Какой разряд проверяете сейчас? Откуда взялось заимствование?» | Решают обязательное вычитание; затем выбирают задание по готовности. Объясняют партнеру переносы и заимствования, сверяют ответ в десятичной системе, фиксируют выбранное задание. |
3 мин | «Сверьте результаты с контрольными ответами на экране: 10110₂ − 111₂ = 1111₂; 1101₂ + 101₂ = 10010₂; 110₂·101₂ = 11110₂; 10000₂ − 1₂ = 1111₂. Если ответ не совпал, не стирайте решение: обведите разряд, где возникло расхождение, и внесите исправление». | Сверяют ответы, исправляют решение другим цветом; докладчики двух групп кратко сообщают ход проверки и называют обнаруженный тип ошибки. |
Эталон решения
10110₂ = 22₁₀, 111₂ = 7₁₀; 22 − 7 = 15, а 15₁₀ = 1111₂. Для повышенного задания: 110₂·101₂ = 110₂ + 0000₂ + 11000₂ = 11110₂. Исследовательская ошибка: 10000₂ − 1₂ = 1111₂, поскольку при заимствовании единицы из старшего разряда младшие нули превращаются в единицы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили вычисления в парах и группах, а сложность выбрали самостоятельно. Теперь попробуйте применить тот же алгоритм без подсказки и зафиксировать, какие действия уже выполняются уверенно».
Этап 7. Индивидуальная работа с ИКТ и творческим выбором (9 мин)
Цель этапа: индивидуально оценить освоение алгоритмов и применить электронный ресурс для проверки результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Возьмите индивидуальную карточку. Сначала выполните обязательную часть, записывая вычисления столбиком. Затем выберите одно из двух продолжений: еще один пример повышенного уровня или творческое задание. Электронный тренажер откроем только после самостоятельного решения — он нужен для проверки, а не для получения ответа». | Получают карточку и выбирают последовательность работы; готовят черновик для проверки. |
5 мин | Учитель показывает на экране электронный тренажер или подготовленную интерактивную форму и говорит: «Обязательная часть: вычислите 1110₂ + 1011₂ и 10010₂ − 1011₂. Повышенный выбор — найдите произведение 111₂·110₂. Творческий выбор — придумайте двоичный пример на сложение с двумя переносами, решите его и составьте к нему проверку. После записи ответа внесите его в тренажер или сверьте с электронной самопроверкой». | Индивидуально решают обязательные примеры; выбирают повышенное или творческое задание. Затем сверяют ответы с электронным ресурсом и отмечают в карточке, совпал ли результат. |
3 мин | «Проверьте не только итог, но и ход решения. Для сложения сравните сумму с десятичной проверкой: 1110₂ = 14, 1011₂ = 11, значит сумма равна 25₁₀. Для вычитания: 10010₂ = 18, 1011₂ = 11, разность равна 7₁₀. Поставьте рядом с каждым заданием отметку: “самостоятельно”, “после проверки исправил” или “нужна помощь”». | Проверяют: 1110₂ + 1011₂ = 11001₂; 10010₂ − 1011₂ = 111₂; при выборе получают 111₂·110₂ = 101010₂. Заполняют отметку самооценки и при необходимости задают вопрос учителю. |
Эталон решения
1110₂ + 1011₂: 14 + 11 = 25₁₀ = 11001₂. 10010₂ − 1011₂: 18 − 11 = 7₁₀ = 111₂. 111₂·110₂: 7·6 = 42₁₀ = 101010₂.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы самостоятельно решили примеры и использовали электронную проверку, чтобы подтвердить или исправить ответ. Осталось собрать обратную связь: что уже получается уверенно и какой шаг требует повторения».
Этап 8. Рефлексия и билет на выход (5 мин)
Цель этапа: помочь ученикам оценить освоение алгоритмов и получить учителю данные для планирования следующей практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Покажите сигнал самооценки: зеленый — могу объяснить алгоритм, желтый — решаю, но иногда путаюсь, красный — нужна помощь. Это не отметка, а способ выбрать следующий шаг. Теперь закончите одну фразу: “Сегодня я научился…”, “Мне нужно еще потренироваться…” или “Я могу объяснить партнеру…”». | Показывают карточку выбранного цвета и завершают одну фразу; при необходимости называют конкретное затруднение: перенос, заимствование или проверка. |
3 мин | Учитель раздает билеты на выход: «Самостоятельно решите 101₂ + 11₂ и запишите одну строку проверки переводом в десятичную систему. На обороте ответьте: какой прием проверки сегодня оказался для вас самым полезным? Сдайте карточку на выходе — по ней я подготовлю задания к следующему уроку». | Решают 101₂ + 11₂ = 1000₂; записывают проверку 5 + 3 = 8; указывают полезный способ контроля и сдают билет. |
Этап завершен: учитель подводит итог урока: «Сегодня вы закрепили двоичные вычисления, проверяли ответы переводом в десятичную систему и учились объяснять найденную ошибку. Сохраните памятку и отметьте в домашней работе тот уровень, который хотите выполнить дополнительно».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательные задания индивидуальной карточки и выбранное дополнительное задание; ход вычислений записан по разрядам, проверка выполнена корректно.
- «4» — обязательные вычисления в основном верны, допущена не более чем одна ошибка, которая исправлена при самопроверке; проверка результата представлена.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно обязательное вычисление, но в остальных заданиях есть ошибки в переносе или заимствовании либо проверка выполнена не полностью.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило двоичного сложения сегодня помогло выполнить пример с переносом? | Проверка осознания разрядного алгоритма и правил переноса. |
На каком шаге вы чаще всего сомневались: при сложении, вычитании, умножении или проверке? | Выявление индивидуальных точек затруднения для дальнейшей дифференциации. |
Что вы выбрали после обязательного задания и почему? | Оценка самостоятельности выбора уровня сложности и учебной мотивации. |
Как вы проверите двоичное вычисление, если рядом нет электронного тренажера? | Проверка понимания универсального способа самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы не просто считали в двоичной системе, а проверяли надежность каждого результата и объясняли ход вычислений. Самая частая ошибка — забыть перенос или неверно выполнить заимствование; именно поэтому полезно сверять ответ переводом в десятичную систему. Спасибо за точную работу в парах и за уважительное обсуждение разных решений. На следующем уроке мы продолжим работать с позиционными системами и применим вычисления к задачам представления данных».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера на сложение и вычитание двоичных чисел столбиком; для каждого записать проверку переводом операндов и ответа в десятичную систему. | Закрепляет базовые алгоритмы и самоконтроль; при проверке смотреть на переносы, заимствования и соответствие десятичной проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 примера на умножение двоичных чисел, включая один пример с трехзначным множителем; записать частичные произведения и проверить итог переводом в десятичную систему. | Закрепляет разрядное моделирование умножения; при проверке оценивать правильность сдвига частичных произведений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу-код для одноклассника: придумать двоичное вычисление, в котором есть не менее двух переносов или заимствований, записать решение и проверку, а также подготовить правдоподобный ошибочный ответ с объяснением ошибки. | Развивает творческое применение алгоритмов и анализ ошибок; при проверке смотреть, чтобы условие имело решение, а ошибка была содержательной и объясненной. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: чем заканчивается сумма 1₂ + 1₂ в одном разряде; когда при вычитании требуется заимствование; как проверить двоичный ответ без электронного тренажера?
