Шестнадцатеричная система счисления. Перевод чисел
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться переводить шестнадцатеричные числа в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления и выполнять обратный перевод для чисел, содержащих не более четырёх шестнадцатеричных разрядов.
- Познакомить учащихся с цифрами A–F и основаниями систем счисления 2, 8, 10 и 16.
- Отработать алгоритмы перевода шестнадцатеричного числа в двоичное и десятичное, а также обратного перевода через группировку двоичных разрядов.
- Развивать умение выбирать способ решения, проверять результат и объяснять последовательность действий.
- Формировать интерес к применению систем счисления в программировании, компьютерной графике и представлении адресов в цифровых системах.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают связь изучаемых способов записи чисел с устройством компьютеров и будущими цифровыми профессиями.
- Проявляют познавательную инициативу, выбирая уровень практического задания и способ проверки результата.
- Понимают ценность точности, последовательности и самоконтроля при работе с данными.
Метапредметные
- Планируют решение, выделяя основание системы счисления и последовательность действий.
- Сравнивают несколько способов перевода и выбирают наиболее рациональный.
- Работают с таблицей соответствий, преобразуют информацию из одной знаковой формы в другую.
- Сотрудничают в паре или группе, аргументируют ответ и корректно проверяют решение одноклассника.
Предметные
- Знать цифры шестнадцатеричной системы A, B, C, D, E, F и их десятичные значения 10, 11, 12, 13, 14, 15.
- Понимать разрядное значение цифр в позиционной системе с основанием 16.
- Уметь переводить шестнадцатеричные числа в двоичную систему заменой каждого разряда четырёхразрядной двоичной записью.
- Уметь переводить шестнадцатеричные числа в десятичную систему с использованием степеней числа 16.
- Уметь переводить двоичные числа в шестнадцатеричные через группировку справа налево по четыре разряда и выполнять перевод между шестнадцатеричной и восьмеричной системами через двоичную.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую значимость разных систем счисления для информатики.
- Формируют ответственное отношение к точности записи чисел и проверке результата.
- Выбирают посильный уровень задания и оценивают собственный прогресс.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, составляют план перевода числа.
- Контролируют количество разрядов и правильность соответствий цифр A–F.
- Используют эталон для самопроверки, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по критериям и формулируют следующий шаг обучения.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из таблицы соответствий и схемы разрядов.
- Моделируют перевод числа в виде цепочки преобразований.
- Сравнивают алгоритмы перевода в десятичную и двоичную системы.
- Выявляют закономерность: один шестнадцатеричный разряд соответствует четырём двоичным.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий.
- Формулируют объяснение алгоритма с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы и аргументированно обсуждают расхождения в ответах.
- Представляют творческое решение группе и учитывают конструктивные замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить слайд или запись на доске с таблицей: 0–F и соответствующие четырёхразрядные двоичные коды.
- Распечатать карточки для игры «Шифровальщики»: по одной карточке на пару, с заданиями трёх уровней сложности.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы: по одному на каждого ученика, два варианта.
- Подготовить карточки с обозначениями ролей «аналитик», «проверяющий» и «спикер» — по одной на группу.
- Вывести на экран схему: шестнадцатеричная цифра → 4 двоичных разряда; двоичное число → группировка по 4 справа налево.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры трёх цветов для обозначения уровня задания и самопроверки.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски; подготовить таймер на 3–5 минут.
- Подготовить творческую карточку: придумать короткий двоично-шестнадцатеричный код для названия команды или сообщения и дать ключ расшифровки.
- Разместить на доске критерии: правильность перевода, запись промежуточных действий, проверка результата, объяснение способа.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через игровой цифровой контекст и сформулировать познавательный интерес.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране код «4F 2A». «Ребята, перед вами фрагмент цифрового кода. Компьютер может хранить такую запись, а человек не сразу понимает, какое число за ней скрывается. Сегодня мы попробуем стать шифровальщиками и научимся быстро переводить такие записи. Подготовьте тетради, ручки и работоспособность». | Рассматривают запись «4F 2A», высказывают предположения: «Это число», «Это код», «Здесь используются буквы вместо цифр». Готовят рабочее место. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Подумайте 30 секунд: почему в записи числа появились буквы F и A? Обсудите ответ с соседом. Какие системы счисления вы уже знаете и где встречали числа не в десятичной записи?» Учитель фиксирует ответы на доске. | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в парах и сообщают классу: «В шестнадцатеричной системе после 9 нужны дополнительные знаки», «Двоичные числа используются компьютером». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели запись, которую нельзя уверенно прочитать без специального правила. Сейчас вспомним основания систем счисления и найдём место, где возникает затруднение».
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания, разряда и алгоритма перевода, выявив готовность учащихся к новой теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске записи «1011₂», «27₈», «45₁₀» и спрашивает: «Что показывает нижний индекс? Сколько цифр используется в двоичной и восьмеричной системах? Какое значение имеет цифра 2 в числе 245₁₀?» | Отвечают: «Нижний индекс показывает основание системы», «В двоичной системе две цифры, в восьмеричной — восемь», «Цифра 2 обозначает две сотни». Записывают краткие ответы. |
2 мин | Учитель предлагает мини-задание «Быстрый старт»: «Переведите 1011₂ в десятичную систему и объясните действия. Затем представьте 13₁₀ в двоичной системе». Учитель принимает два решения у доски. | Решают: «1011₂ = 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1 = 11₁₀»; «13₁₀ = 1101₂». Сверяют порядок действий. |
2 мин | Учитель показывает карточку с записью «2F₁₆» и просит выполнить знакомый разрядный перевод без подсказки. «Что уже получается, а чего пока не хватает?» | Пытаются разложить число: «2·16 + F», фиксируют затруднение: «Нужно знать значение F», «Нужно вспомнить алгоритм для основания 16». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем работать с основанием и разрядами, но для новой системы нужно освоить специальные цифры и удобный способ перевода. Сформулируем цель и план открытия».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и критерии успешного выполнения практических заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске проблему: «Как прочитать 3A₁₆ и проверить себя другим способом?» «Предложите, что нам нужно узнать. Не просто назвать ответ, а составить надёжный алгоритм, который можно применить к любому похожему числу». | Предлагают шаги: «Узнать обозначения A–F», «Научиться переводить в десятичную и двоичную систему», «Научиться переводить обратно», «Проверять ответ». |
2 мин | Учитель вводит критерии успеха: «К концу урока вы сможете перевести число минимум двумя способами, объяснить каждый шаг и обнаружить ошибку в чужом решении. Выберите рабочий маршрут: базовый, стандартный или повышенный. В любой момент можно перейти на другой уровень». | Записывают цель, выбирают цвет карточки уровня и распределяют роли в паре: решающий и проверяющий. Формулируют ожидаемый результат: «Я смогу перевести шестнадцатеричное число и проверить ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План определён: сначала откроем таблицу шестнадцатеричных цифр, затем найдём быстрый перевод в двоичную систему и применим знания в практической игре. Начинаем открытие правила».
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы перевода шестнадцатеричных чисел в двоичную и десятичную системы и обратно.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит таблицу: «0=0000, 1=0001, 2=0010, 3=0011, 4=0100, 5=0101, 6=0110, 7=0111, 8=1000, 9=1001, A=1010, B=1011, C=1100, D=1101, E=1110, F=1111». «Посмотрите на закономерность. Почему каждому шестнадцатеричному знаку соответствует ровно четыре двоичных разряда?» | Изучают таблицу, отвечают: «16 = 2⁴, поэтому четырёх двоичных разрядов достаточно». Записывают соответствия A–F. |
3 мин | Учитель разбирает пример: «Переведём 3A₁₆ в двоичную систему. Заменяем 3 на 0011, A на 1010 и получаем 0011 1010₂, то есть без ведущих нулей 111010₂. Теперь переведём это же число в десятичную: 3·16 + 10 = 58». Учитель подчёркивает, что ведущие нули можно убрать только после объединения групп. | Повторяют алгоритм в тетради: «3A₁₆ = 0011 1010₂ = 111010₂»; «3A₁₆ = 3·16¹ + 10·16⁰ = 58₁₀». Объясняют соседу, откуда взялось число 10. |
4 мин | Учитель предлагает парам вывести обратный алгоритм на примере «11010110₂». «Разделите запись справа налево на группы по четыре. Каждую группу замените шестнадцатеричным знаком. Что делать, если слева не хватает разрядов?» Затем показывает перевод в восьмеричную через двоичную запись на примере «5C₁₆». | Группируют: «1101 0110 → D6₁₆». Формулируют правило: «Слева дописываем нули до группы из четырёх». Для «5C₁₆» получают «0101 1100₂», группируют по три: «010 111 00», дописывают слева ноль и получают «274₈». |
Запись в тетрадях
- В шестнадцатеричной системе используются цифры 0–9 и буквы A–F, которым соответствуют значения 10–15.
- Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное каждый разряд заменяют четырёхразрядной двоичной группой.
- Для обратного перевода двоичную запись делят справа налево на группы по четыре разряда.
- Для перевода в десятичную систему используют сумму произведений цифр на степени 16.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Главное правило найдено: один шестнадцатеричный разряд — это четыре двоичных разряда. Теперь проверим его в игре и увидим, какая пара точнее и быстрее расшифрует код».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Шифровальщики» (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы перевода в парной и групповой деятельности с учётом разного уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет правила: «В каждой карточке три задания. Базовое задание даёт один балл, стандартное — два, повышенное — три. Решающий записывает ход решения, проверяющий ищет одну возможную ошибку. За аккуратное объяснение добавляется бонусный балл». | Получают карточки выбранного уровня, распределяют роли и читают критерии. |
4 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: «Переведите A₁₆, 2F₁₆ и 1010₂ в другую систему». Стандартный: «Переведите 7B₁₆ в двоичную и десятичную системы; переведите 11101100₂ в шестнадцатеричную». Повышенный: «Переведите 3E₁₆ в восьмеричную через двоичную систему и объясните, почему результат нельзя получать простым заменом одного шестнадцатеричного знака на одну восьмеричную цифру». | Решают задания в парах, подчёркивают промежуточные действия. Проверяющие сверяют цифры A–F и количество двоичных разрядов. |
3 мин | Учитель проводит взаимопроверку: «Передайте карточку соседней паре. Проверьте не только ответ, но и ход решения по четырём пунктам: основание, соответствия, группировка, итоговая запись. Если нашли ошибку, не исправляйте молча, а запишите короткое пояснение». | Проверяют карточку другой пары, ставят условные обозначения: «+» — верно, «?» — требуется пояснение, «!» — ошибка в алгоритме. Возвращают карточки и исправляют собственные решения. |
Эталон решения
Для задания 7B₁₆: 7B₁₆ = 0111 1011₂ = 1111011₂; 7B₁₆ = 7·16¹ + 11·16⁰ = 112 + 11 = 123₁₀. Для 11101100₂: 1110 1100₂ = EC₁₆. Для 3E₁₆: 3E₁₆ = 0011 1110₂; группируем справа налево по три: 000 111 110₂ = 076₈ = 76₈.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что скорость не заменяет точность: ошибка в одной букве меняет всё число. Мы уже умеем переводить числа в паре, а теперь каждый проверит собственную самостоятельность».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: индивидуально применить алгоритмы перевода и оценить собственное освоение материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт два варианта листов и напоминает: «Работаем самостоятельно. Сначала определите, какое действие требуется, затем выполняйте перевод по шагам. Нельзя записывать только готовый ответ: промежуточная запись позволит найти ошибку». | Получают листы, подписывают вариант, читают задания и выбирают порядок выполнения. |
6 мин | Учитель предлагает вариант 1: «Переведите 4D₁₆ в двоичную и десятичную системы; переведите 10011110₂ в шестнадцатеричную; переведите 2B₁₆ в восьмеричную через двоичную». Вариант 2 содержит числа 6A₁₆, 11100101₂ и 35₁₆. Учитель наблюдает, при необходимости задаёт вопрос: «На каком шаге вы сейчас находитесь?» | Индивидуально выполняют три задания. Вариант 1: 4D₁₆ = 0100 1101₂ = 1001101₂; 4D₁₆ = 77₁₀; 10011110₂ = 9E₁₆; 2B₁₆ = 010 101 011₂ = 253₈. Записывают промежуточные группы. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране и организует самопроверку: «Поставьте плюс за каждый полностью верный пункт, обведите место ошибки и запишите рядом, какое правило нужно повторить. Результат не сравниваем с соседом — сравниваем с собственным планом». | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают количество правильных заданий, отмечают личную трудность: «буквы A–F», «группировка по три», «степени 16». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какой алгоритм уже стал уверенным, а какой требует тренировки. Осталось применить знания творчески: не только расшифровать код, но и создать собственный».
Этап 7. Творческое задание, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы перевода, дать возможность выбора и зафиксировать индивидуальный результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает творческий выбор: «Создайте короткий код для названия вашей команды или одного слова длиной до четырёх символов. Запишите его в шестнадцатеричной форме, рядом — двоичную расшифровку и ключ. Можно использовать не текст, а последовательность из двух-трёх чисел, например 2A 3F. Ваша задача — сделать код понятным для другой пары». | В парах выбирают слово или название, составляют последовательность чисел, переводят каждый шестнадцатеричный разряд в двоичный и оформляют мини-карточку кода. |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: «На отдельной строке ответьте на три вопроса: какое правило сегодня главное; какой перевод выполняется быстрее всего; где вы допустили или могли допустить ошибку? Поднимите зелёный, жёлтый или красный стикер». | Заполняют билет: «Шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными», «быстрее всего перевод через двоичную систему», «нужно внимательнее проверять буквы». Показывают цвет самооценки. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: «Сохраните лист самопроверки — он поможет увидеть прогресс на следующем уроке. Перед выходом назовите соседу одно правило, которое вы готовы объяснить». | Называют правило соседу, записывают домашнее задание и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились читать и создавать шестнадцатеричные коды, переводить их в двоичную, восьмеричную и десятичную системы и проверять результат. На следующем уроке мы будем использовать эти навыки в более сложных вычислениях и задачах на представление информации».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы или два задания и творческая карточка, правильно использованы обозначения A–F, записаны промежуточные действия и выполнена проверка результата.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, допущена не более одной вычислительной ошибки, алгоритм перевода в целом записан правильно.
- «3» — верно выполнено одно задание из трёх или получены верные ответы без полного объяснения алгоритма; ученик после подсказки исправляет ошибку в группировке или соответствии цифр.
- Дополнительный бонус — до одного балла за творческий код, если он содержит корректную шестнадцатеричную запись, двоичную расшифровку и понятный ключ.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило шестнадцатеричной системы вы сможете объяснить однокласснику? | Выявление осознанности ключевого алгоритма. |
Какой перевод сегодня оказался самым удобным: в двоичную, десятичную или восьмеричную систему? Почему? | Проверка понимания различий между способами перевода. |
На каком шаге вы столкнулись с затруднением? | Выявление точек затруднения: соответствия букв, степени 16 или группировка разрядов. |
Какой уровень задания вы выбрали и что позволит перейти на следующий уровень? | Формирование навыка самооценки и постановки индивидуальной цели. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что шестнадцатеричная система не является набором случайных букв и цифр: её основание 16 связано с четырьмя двоичными разрядами. Вы научились переводить числа в двоичную, восьмеричную и десятичную системы и проверять себя несколькими способами. Самая частая ошибка — забыть, что A означает 10, а при группировке слева можно дописывать нули. Дома вы закрепите алгоритмы и создадите собственный цифровой код. На следующем уроке применим эти умения к более сложным задачам обработки информации».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 перевода: два шестнадцатеричных числа перевести в двоичную и десятичную системы, два двоичных числа перевести в шестнадцатеричную. Числа должны содержать не более трёх шестнадцатеричных разрядов. | Закрепляет таблицу соответствий и группировку по четыре разряда; при проверке смотреть на промежуточные записи и правильность A–F. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания: перевести два шестнадцатеричных числа в восьмеричную систему через двоичную и два восьмеричных числа в шестнадцатеричную через двоичную. Для одного результата выполнить обратную проверку. | Формирует гибкость выбора алгоритма; при проверке смотреть на группировку по три и четыре двоичных разряда. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-шифр из 4–6 шестнадцатеричных чисел: записать исходное сообщение или название, шестнадцатеричный код, двоичную расшифровку и инструкцию для одноклассника. Подготовить одно объяснение, почему выбранный способ перевода удобен. | Развивает создание, моделирование и аргументацию; при проверке смотреть на полноту ключа и возможность однозначно расшифровать код. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Сколько двоичных разрядов заменяют один шестнадцатеричный? Какое десятичное значение имеет F? Как перевести двоичное число в шестнадцатеричное? Почему для перевода в восьмеричную систему группы двоичных разрядов составляют по три?»
