Восьмеричная система счисления. Практическая работа №2: перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и десятичную системы и обратно
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться переводить числа между восьмеричной, двоичной и десятичной системами счисления и применять алгоритмы при выполнении не менее 8 заданий рабочего листа.
- Познакомить учащихся с основанием и цифрами восьмеричной системы счисления, позиционным значением разрядов и алгоритмами перевода чисел.
- Научить переводить восьмеричные числа в двоичную систему по соответствию одной восьмеричной цифры трём двоичным цифрам.
- Научить переводить восьмеричные числа в десятичную систему разложением по степеням основания, а двоичные числа — в восьмеричную группировкой справа налево по три цифры.
- Развивать навыки самопроверки, взаимопроверки, аргументации выбора алгоритма и аккуратной записи результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение систем счисления для представления и обработки информации в информатике.
- Проявляют ответственное отношение к точности записи основания системы и промежуточных вычислений.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
- Развивают интерес к способам кодирования информации, связанным с будущими цифровыми профессиями.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при двойном переводе числа.
- Сравнивают два алгоритма перевода и выбирают подходящий для конкретного задания.
- Работают с таблицей соответствий, формулами и результатами вычислений.
- Проверяют ответ обратным переводом и выявляют ошибки в записи.
Предметные
- Знать основание восьмеричной системы, допустимые цифры 0–7 и значения разрядов 8⁰, 8¹, 8² и далее.
- Уметь переводить восьмеричные числа в двоичные с использованием трёхразрядных двоичных групп.
- Уметь переводить восьмеричные числа в десятичные по формуле разложения по степеням восьми.
- Уметь переводить двоичные числа в восьмеричные группировкой справа налево и выполнять обратную проверку.
- Уметь сравнивать записи чисел после перевода в единую десятичную систему.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за правильность вычислений и оформления ответа.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднений при работе с абстрактными объектами.
- Выбирают уровень задания и оценивают собственный результат без сравнения с одноклассниками.
- Понимают практическую ценность единообразного представления данных.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют порядок перевода.
- Используют алгоритм как средство контроля собственных действий.
- Сверяют результат с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по количеству выполненных заданий.
Познавательные УУД
- Выделяют основание системы и значение каждого разряда.
- Преобразуют информацию из одной знаковой формы в другую.
- Строят разложение числа по степеням основания.
- Моделируют перевод восьмеричной цифры трёхразрядной двоичной группой.
- Проверяют вычисление альтернативным способом.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру последовательность перевода числа.
- Задают уточняющие вопросы о группировке цифр и записи основания.
- Аргументированно сообщают результат взаимопроверки.
- Согласуют общий вариант ответа при работе в паре.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с десятью заданиями по одному экземпляру на каждого ученика и два запасных экземпляра.
- Подготовить карточки-подсказки с соответствием 0₈–7₈ и трёхразрядных двоичных групп.
- Вывести на доску или экран таблицу разрядов 8⁰, 8¹, 8², 8³ и алгоритмы двух видов перевода.
- Подготовить карточки трёх уровней для тех, кто завершит основной лист раньше.
- Подготовить эталоны решений заданий №4, №6 и №8 для поэтапной самопроверки.
- Организовать на доске поля «Восьмеричная», «Двоичная», «Десятичная» для фиксации ответов.
- Подготовить маркеры, таймер и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Проверить наличие компьютера и проектора; цифровая демонстрация не обязательна, но может использоваться для показа таблицы соответствий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать необходимость точного перевода чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и рабочий лист. Сегодня вы будете не просто выполнять вычисления, а проверять, как одна и та же информация записывается разными способами." | Проверяют готовность, подписывают рабочий лист, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске записи 7₈, 111₂ и 7₁₀ и говорит: "На вид записи различаются, но могут обозначать одно и то же количество. Как понять, какая запись верна? Сегодня мы построим алгоритмы и проверим их на десяти заданиях рабочего листа." | Высказывают предположения: "Нужно знать основание системы"; "Можно перевести записи в одну систему и сравнить". Формулируют ожидаемый результат урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одинаковое количество может иметь разные записи. Теперь вспомним правила позиционной записи и найдём, что нового нужно узнать для работы с основанием 8."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания, разряда и алгоритмы перевода между двоичной и десятичной системами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Назовите основание двоичной системы. Какие цифры в ней допустимы? Запишите число 101₂ как сумму разрядных слагаемых. Объясните, почему крайняя правая цифра связана с нулевой степенью основания." | Отвечают: "Основание 2, используются 0 и 1"; записывают 101₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 5₁₀. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Самостоятельно объясните соседу, как двоичное число разбить на группы по три цифры. Почему такой приём может быть связан с основанием 8?" Учитель фиксирует на доске выводы пар. | Сначала формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в парах и сообщают: "8 = 2³, поэтому одной восьмеричной цифре соответствует три двоичных разряда". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разложение по степеням основания и увидели связь 8 = 2³. Осталось точно установить соответствия и применить их к заданиям листа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритмы практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске 345₈ и спрашивает: "Попробуйте быстро перевести это число в двоичную систему. Можно ли заменить каждую цифру отдельной двоичной группой? Что может пойти не так, если забыть про основание?" | Предлагают варианты, замечают, что нельзя читать цифры как десятичные, формулируют затруднение: "Нужна таблица соответствий и точный порядок действий". |
2 мин | Учитель направляет постановку цели: "Сформулируйте план, который поможет выполнить задания №1–10. Какие три маршрута нам понадобятся: из восьмеричной в двоичную, из восьмеричной в десятичную и обратно?" | Записывают план: 1) использовать таблицу соответствий; 2) раскладывать по степеням 8; 3) группировать двоичные цифры справа налево; 4) проверять обратным переводом. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: научиться переводить числа по трём маршрутам и проверять себя. Сейчас построим первый алгоритм на конкретных заданиях рабочего листа."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы перевода между восьмеричной, двоичной и десятичной системами на примерах заданий №2, №4 и №6.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит таблицу: "0₈=000₂, 1₈=001₂, 2₈=010₂, 3₈=011₂, 4₈=100₂, 5₈=101₂, 6₈=110₂, 7₈=111₂. Запомним правило: каждую восьмеричную цифру заменяем ровно тремя двоичными цифрами, включая ведущие нули внутри группы." | Заполняют пропуски в таблице, проговаривают соответствия, переводят 7₈: "7₈ = 111₂". |
4 мин | Учитель разбирает задание №4: "Переведём 345₈ в двоичную систему: 3 заменяем на 011, 4 — на 100, 5 — на 101. Получаем 011100101₂, а начальный ноль можно убрать: 11100101₂. Теперь в десятичную систему используем разложение по степеням восьми." | Записывают 345₈ = 11100101₂. Считают: 3·8² + 4·8¹ + 5·8⁰ = 192 + 32 + 5 = 229₁₀. |
3 мин | Учитель разбирает задание №6: "Для перевода 110101₂ в восьмеричную систему отделяем справа группы по три: 110 101. Каждая группа превращается в цифру: 110₂=6₈, 101₂=5₈. Значит, 110101₂=65₈. Для десятичного результата используем сумму 1·2⁵+1·2⁴+0·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰." | Группируют 110101₂ как 110|101, получают 65₈; вычисляют 32+16+4+1=53₁₀ и формулируют связь: "Оба перевода дают одно количество". |
Запись в тетрадях
- 8 = 2³; одна восьмеричная цифра соответствует трём двоичным цифрам.
- Восьмеричная цифра заменяется группой: 0₈=000₂, 1₈=001₂, 2₈=010₂, 3₈=011₂, 4₈=100₂, 5₈=101₂, 6₈=110₂, 7₈=111₂.
- Перевод в десятичную систему: abc₈ = a·8² + b·8¹ + c·8⁰.
- Перевод из двоичной в восьмеричную: разбить запись справа налево на тройки, дополнить левую группу нулями при необходимости.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас есть три рабочих алгоритма. Теперь применим их сначала вместе, с проговариванием каждого шага, а затем вы выберете темп и уровень самостоятельности."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы на заданиях №1–5 с проговариванием действий и предупреждением типичных ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Выполните задания №1 и №2. В первом достаточно записать результат с основанием, во втором — только десятичное значение. Следите за тем, чтобы не смешать основание 8 с основанием 10." | Индивидуально решают: 7₈ = 111₂; 12₈ = 1·8+2 = 10₁₀. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку задания №3: "Сначала разбейте 101₂ на одну группу из трёх цифр, затем замените её восьмеричной цифрой. Сверьте результат с соседом и объясните расхождение, если оно появилось." | Решают 101₂ = 5₈, сравнивают записи в парах, исправляют отсутствие основания или неверное соответствие. |
2 мин | Учитель разбирает начало задания №5: "Число 176₈ представьте как 1·8²+7·8¹+6·8⁰. После вычисления отдельно выполните двоичный перевод по таблице. Не переписывайте только ответ — задание требует основных шагов." | Записывают 176₈ = 1·64+7·8+6 = 126₁₀; получают 001|111|110, то есть 11111110₂, показывают действия. |
Эталон решения
Задание №5: 176₈ = 1\cdot8^2+7\cdot8^1+6\cdot8^0=64+56+6=126_{10}. По таблице: 1₈=001₂, 7₈=111₂, 6₈=110₂; 176₈=001111110₂=11111110₂.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили простые и составные случаи. Основные ошибки — потеря ведущих нулей внутри группы и отсутствие основания у результата. Теперь каждый выполнит более длинную часть листа самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная практическая работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: применить алгоритмы в заданиях №6–10, выполнить проверку и выбрать способ исправления ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель даёт инструкцию: "Самостоятельно выполните задания №6–10. Начните с того, которое уверенно понимаете, а затем переходите к двойным переводам. В №7 обязательно выполните обратную проверку, в №9 сравните два десятичных значения, в №10 сначала приведите оба числа к десятичной системе. На полях поставьте знак вопроса рядом с шагом, который требует проверки." | Решают задания №6–10: переводят 110101₂, проверяют 257₈, переводят 156₁₀ через восьмеричную систему, выполняют двойной перевод 110101011₂ и сравнивают 356₈ с 11101110₂. |
3 мин | Учитель показывает на экране эталонные контрольные ответы: "Сверяйте не только конечное число, но и маршрут. Если ответ отличается, найдите первый несовпавший разряд. Ошибку исправляйте другим цветом, сохраняя первоначальную запись." | Выполняют самопроверку по ответам: №6 — 65₈ и 53₁₀; №7 — 257₈=10101111₂=175₁₀; №8 — 234₈ и 10011100₂; №9 — 653₈ и 427₁₀; №10 — 356₈=238₁₀, 11101110₂=238₁₀. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все три алгоритма; жёлтую — если ошибаетесь в одном шаге; красную — если нужна совместная разборка. Запишите рядом с цветом конкретный вопрос." | Показывают карточку, формулируют затруднение: "не понимаю, как дополнить левую группу нулями" или "ошибаюсь в степенях восьми". |
Эталон решения
Для задания №8: 156₁₀ = 2·64+3·8+4, поэтому 156₁₀=234₈. Затем 2₈=010₂, 3₈=011₂, 4₈=100₂; 234₈=010011100₂=10011100₂. Порядок действий: сначала перевести десятичное число в восьмеричное делением на 8 или подбором разрядов, затем каждую восьмеричную цифру заменить трёхразрядной двоичной группой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что один и тот же результат можно подтвердить несколькими маршрутами. Осталось обсудить, какие записи считаются полными и как использовать перевод для сравнения чисел."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать освоенные алгоритмы, зафиксировать затруднения и получить задание для дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как перевести восьмеричное число в двоичное? Почему в двоичном числе группы составляют по три цифры? Как проверить десятичный результат? Какая ошибка сегодня встречалась чаще всего?" | Отвечают: "Заменить каждую цифру тройкой"; "потому что 8=2³"; "выполнить обратный перевод"; называют собственное затруднение. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На отдельной строке запишите перевод 23₈ в двоичную и десятичную системы, а ниже — одно правило, которое поможет не ошибиться. Сдайте листок при выходе." | Записывают 23₈=010011₂=10011₂ и 23₁₀, формулируют правило: "каждая восьмеричная цифра заменяется тремя двоичными". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переводить числа между тремя системами и проверять себя обратным действием. Ваш следующий шаг — сделать алгоритмы быстрыми и безошибочными на новых числах."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены задания №1–10 либо не менее 9 заданий, корректно указаны основания, показаны требуемые шаги и выполнены проверки в заданиях №7 и №9.
- "4" — верно выполнены 7–8 заданий, допущена не более чем одна вычислительная или оформительская ошибка, общий алгоритм перевода понятен.
- "3" — верно выполнены 5–6 заданий, есть отдельные ошибки в группировке или вычислении, но ученик может объяснить хотя бы два алгоритма.
- Ниже базового уровня — работа требует доработки по алгоритму, указанному учителем, с обязательной повторной проверкой двух выбранных заданий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой алгоритм — перевод из восьмеричной в двоичную, в десятичную или обратно — вы теперь можете объяснить без подсказки? | Выявление степени самостоятельности освоения алгоритмов. |
На каком шаге задания №6–10 возникло затруднение? | Определение конкретной точки затруднения: группировка, степени основания или вычисления. |
Как вы проверяли правильность ответа? | Проверка понимания обратного перевода и самоконтроля. |
Какое задание вы выбрали бы для повторной тренировки и почему? | Формирование умения осознанно выбирать направление дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за разными записями одно и то же число. Главное правило урока — восьмеричная цифра заменяется трёхразрядной двоичной группой, потому что 8=2³, а десятичное значение находится разложением по степеням основания. Следите за тем, чтобы не потерять разряд и обязательно указывать основание там, где это требуется. На следующем уроке мы продолжим работу с переводами и применим их в алгоритмах обработки числовой информации."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: перевести два восьмеричных числа в десятичную систему и два восьмеричных числа в двоичную по таблице соответствий; записать основания и основные шаги. | Закрепляет разложение по степеням восьми и замену восьмеричных цифр двоичными группами; при проверке смотреть на основания и разряды. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 двойных перевода: два двоичных числа перевести в восьмеричную и десятичную системы, одно десятичное число перевести сначала в восьмеричную, затем в двоичную; одну запись проверить обратным переводом. | Развивает выбор алгоритма, группировку справа налево и навык самопроверки. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственный набор из трёх связанных заданий: сравнить восьмеричную и двоичную записи, перевести обе в десятичную систему, затем представить больший результат в двух других системах с объяснением шагов. | Формирует умение проектировать задачу, аргументировать порядок действий и применять несколько алгоритмов в комплексе. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Почему в восьмеричной системе нельзя использовать цифру 8? Почему двоичную запись группируют справа налево? Как проверить перевод 257₈ в десятичную систему обратным действием?"
