Системы счисления: позиционные и непозиционные системы, развёрнутая запись и перевод в десятичную систему
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут отличать позиционные системы счисления от непозиционных, определять алфавит и основание позиционной системы и переводить в десятичную систему числа, записанные в системах с основаниями 2, 8 и 16, используя развёрнутую форму записи.
- Образовательная задача: сформировать представление о цифрах, алфавите и основании системы счисления, а также о зависимости значения цифры от её позиции в позиционной системе.
- Образовательная задача: научить записывать числа в развёрнутой форме и вычислять их десятичное значение для оснований 2, 8 и 16.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать способы записи чисел, замечать закономерности и обосновывать ход вычислений.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственную работу в паре, уважение к аргументам партнёра и готовность проверить собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к тому, как одна и та же величина может быть записана разными способами.
- Осознаёт, что точность вычислений и проверка промежуточных действий важны при работе с числовой информацией.
- Принимает ответственность за свою часть парной работы и уважительно относится к отличающемуся способу рассуждения.
- Проявляет готовность самостоятельно выбрать уровень дополнительного задания и оценить свои затруднения.
Метапредметные
- Ученик извлекает из условия сведения об основании системы и допустимых в ней цифрах.
- Структурирует вычисление, представляя число как сумму произведений цифр на соответствующие степени основания.
- Сравнивает позиционную и непозиционную запись и объясняет, чем отличается принцип определения значения числа.
- Планирует вычисления, проверяет результат и исправляет найденную ошибку.
- Формулирует вывод устно и письменно, приводя пример в поддержку своей позиции.
Предметные
- Ученик знает, что алфавит системы счисления — это набор используемых знаков, а основание позиционной системы равно количеству знаков в её алфавите.
- Различает позиционные системы счисления и непозиционную римскую систему на примерах.
- Записывает целое число в позиционной системе в развёрнутой форме, начиная нумерацию разрядов справа с нуля.
- Переводит числа из систем с основаниями 2, 8 и 16 в десятичную систему, верно вычисляя степени основания.
- Читает римские числа в пределах изученных правил, учитывая правила сложения и вычитания знаков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносить учебную задачу с личным интересом к способам представления информации в цифровых устройствах.
- Определять, какой аспект темы уже понятен, а какой требует дополнительной тренировки.
- Проявлять настойчивость при проверке вычисления, если первая попытка дала неожиданный результат.
- Осознавать собственный вклад в общий результат парной работы.
Регулятивные УУД
- Формулировать учебную цель: научиться объяснять устройство записи числа и переводить его в десятичную систему.
- Планировать решение: определить основание, пронумеровать разряды, составить сумму и вычислить её.
- Сверять результат с образцом и оценивать, на каком шаге возникло затруднение.
- Корректировать решение при обнаружении неверной степени основания или недопустимой цифры.
Познавательные УУД
- Выделять существенные признаки позиционной и непозиционной записи числа.
- Моделировать запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.
- Использовать таблицу степеней основания для вычисления десятичного значения числа.
- Анализировать римскую запись и объяснять значение знака с учётом его положения относительно соседнего знака.
Коммуникативные УУД
- Распределять действия в паре: один ученик составляет развёрнутую запись, другой проверяет степени и вычисления.
- Задавать партнёру уточняющие вопросы о выборе основания и нумерации разрядов.
- Объяснять решение, используя математические термины «алфавит», «основание», «разряд» и «развёрнутая форма».
- Согласовывать общий ответ и корректно указывать на ошибку, предлагая способ её исправить.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для парной работы с заданиями: определить основание и допустимые цифры, перевести числа из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем, прочитать римское число.
- Распечатать по одной карточке на пару и по одному небольшому листу самопроверки на каждого ученика; подготовить дополнительные карточки повышенного уровня.
- Подготовить на доске или слайде таблицу степеней 2, 8 и 16 для разрядов от 0 до 3, оставив место для совместного составления развёрнутой записи.
- Подготовить отдельную памятку с обозначениями шестнадцатеричного алфавита: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
- Подготовить карточки со знаками римской системы I, V, X, L, C и примерами IV, IX, XIV, XXIV для разбора.
- Проверить, что на экране или доске можно показать числа 101101₂, 347₈, 2A₁₆ и XXIV без использования мелкого шрифта.
- Подготовить маркеры или цветной мел: одним цветом обозначать цифры числа, другим — соответствующие степени основания.
- Организовать рассадку для работы в парах и предусмотреть, чтобы каждая пара могла записывать промежуточные вычисления в тетради.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к вопросу о том, как одна величина может быть записана разными числовыми знаками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске рядом записи 25, 11001₂ и XXV. «Здравствуйте, ребята. Посмотрите на доску: перед вами три записи, и все они могут обозначать одно и то же количество. Как вы думаете, почему знаки в них разные? Сегодня мы не будем просто запоминать новые обозначения — попробуем выяснить, по каким правилам устроены эти записи. Подготовьте тетради и ручки, а рядом оставьте место для примеров». | Готовят тетради и ручки, рассматривают записи и высказывают предположения: «Используются разные системы счисления»; «XXV — римская запись». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: даёт 30 секунд на индивидуальную гипотезу, затем минуту на обсуждение. «Сначала подумайте самостоятельно: что может означать маленькая цифра у числа 11001? Теперь обсудите с соседом, почему запись 25 не похожа на XXV. Через минуту я попрошу несколько пар озвучить версии. Здесь важно не угадать готовый ответ, а объяснить, на что вы опираетесь». | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в паре и предлагают версии: «Индекс показывает основание»; «В римской записи значение связано с порядком знаков». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас уже появились разные версии: где-то важны позиции цифр, а где-то действуют особые правила сочетания знаков. Давайте вспомним, что мы уже знаем о записи обычных десятичных чисел, — это поможет обнаружить принцип, который пока не очевиден».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о десятичных разрядах и подготовить учеников к сравнению способов записи числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске число 352 и просит разложить его на разрядные слагаемые. «Посмотрите на число 352. Сколько в нём сотен, десятков и единиц? Запишите рядом сумму, которая показывает вклад каждой цифры. Почему цифра 3 здесь означает триста, а в числе 532 она уже означает тридцать? Какое свойство записи изменилось, хотя сама цифра осталась той же? Я зафиксирую ваши ответы на доске». | Записывают: 352 = 3 · 100 + 5 · 10 + 2. Отвечают: «Значение цифры зависит от её места»; сравнивают положение цифры 3 в числах 352 и 532. |
3 мин | Учитель организует короткий устный разбор и фиксирует слова «цифра», «разряд», «основание 10». «В десятичной записи мы используем десять цифр — от 0 до 9. Каждая позиция справа налево соответствует единицам, десяткам, сотням и следующим разрядам. Как можно записать эти разряды через степени числа 10? Назовите первые три степени, начиная с нулевой. Проверьте ответ друг друга: у разряда единиц показатель степени должен быть нулём». | Называют степени: 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100; записывают в тетради соответствие разрядов и степеней, проверяют порядок показателей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы подтвердили, что в привычной записи значение цифры определяется позицией, а разряды связаны со степенями десяти. Но можем ли мы тем же способом объяснить запись, в которой используется не десять цифр? Сейчас сформулируем вопрос, на который предстоит найти ответ».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при чтении числа в другой системе и совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает записи 101₂ и 101₁₀. «Прочитайте обе записи вслух. Это одинаковые числа или разные? Почему привычный способ чтения “сто один” нельзя автоматически применить к записи с индексом 2? Какого знания нам не хватает, чтобы уверенно вычислить значение первой записи? Не торопитесь с ответом: сначала назовите, что именно в обозначениях вызывает затруднение». | Сравнивают записи и замечают, что индекс 2 сообщает об основании системы; предполагают, что значение 101₂ нужно вычислять по позициям, а не читать как сто один. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: каждый ученик формулирует вопрос, затем пара выбирает общий, после чего несколько пар озвучивают его классу. «Сначала запишите один вопрос, ответ на который поможет разобраться с этой записью. Объединитесь с соседом и выберите самый точный вопрос. Как узнать допустимые цифры системы? Как из записи получить десятичное значение? А чем римская запись отличается от позиционной? Давайте из ваших вопросов составим цель и план действий на урок». | Записывают личный вопрос, обсуждают его в парах и формулируют общую цель: «Научиться определять основание и переводить числа в десятичную систему». Предлагают план: разобрать алфавит, позиции и степени основания, затем потренироваться. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что для чтения записи нужно знать её основание и правила расположения цифр. Сначала сами построим общий способ через примеры, а затем проверим его на числах из разных систем и сравним с римской записью».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести развёрнутую форму записи позиционного числа, определить основание и алфавит системы, сопоставить позиционные системы с римской.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске 101₂ и предлагает сравнить его разряды с десятичным числом. «Рассмотрим запись 101₂ справа налево: разряды имеют номера 0, 1 и 2. Если основание равно 2, то их значения — 2⁰, 2¹ и 2². Значит, число можно представить суммой: цифра каждого разряда умножается на соответствующую степень основания. Запишем вместе: 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰. Чему равна эта сумма? Какое число в десятичной системе получилось?» | Нумеруют разряды справа налево и записывают 101₂ = 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5. Формулируют вывод: «101₂ равно 5 в десятичной системе». |
4 мин | Учитель показывает таблицу степеней и поясняет понятия. «Набор знаков, которыми можно записать числа, называется алфавитом системы счисления. В двоичной системе в алфавите только 0 и 1, поэтому её основание равно 2. В восьмеричной используют цифры от 0 до 7, а в шестнадцатеричной — цифры от 0 до 9 и буквы A–F, где A обозначает десять, B — одиннадцать и далее до F, равной пятнадцати. Как проверить, допустима ли цифра в записи? Сравните её с основанием: цифра должна быть меньше основания». | Записывают определения алфавита и основания; по таблице проверяют допустимость цифр: 7 допустима в системе с основанием 8, а 8 — нет; A допустима в системе с основанием 16. |
4 мин | Учитель выводит рядом записи 2A₁₆ и XXIV и задаёт вопросы для сравнения. «В позиционной записи цифра 2 в числе 2A₁₆ означает два шестнадцатеричных разряда, а A стоит в разряде единиц. В римской записи используются знаки I, V, X, L, C и другие; её нельзя прочитать как число с разрядами по степеням одного основания. Например, в записи IV знак I перед V означает вычитание, а в VI — сложение. Почему XXIV читается как двадцать четыре? Обсудите ответ с соседом и сформулируйте одно отличие двух способов записи». | В паре раскладывают XXIV на XX и IV: 20 + 4 = 24; объясняют, что римская система непозиционная, а позиционная запись использует значение разряда и основание. |
Запись в тетрадях
- Позиционная система: значение цифры определяется её позицией в записи; основание показывает количество цифр в алфавите.
- Развёрнутая форма числа: каждая цифра умножается на основание в степени, равной номеру её разряда; нумерация начинается справа с нуля.
- Для перевода в десятичную систему нужно составить сумму разрядных слагаемых и вычислить её.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели общий способ: цифры умножаются на степени основания, а полученные значения складываются. Мы также отличили этот принцип от правил римской записи. Теперь применим алгоритм к нескольким примерам и проверим, одинаково ли уверенно он работает с разными основаниями».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перевода в десятичную систему и проверить понимание понятий «основание», «алфавит» и «развёрнутая форма».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя заданиями и назначает роли. «Сейчас работаем в парах: первый ученик составляет развёрнутую запись, второй проверяет допустимость цифр и степени основания; на втором примере поменяйтесь ролями. На карточке три числа: 347₈, 2A₁₆ и 1101₂. Переведите их в десятичную систему, записывая не только ответ, но и все промежуточные слагаемые. У вас пять минут; после этого сверим ход решения». | Получают карточку, распределяют роли и договариваются, кто начинает с первого примера. |
5 мин | Учитель наблюдает за работой пар и задаёт наводящие вопросы, не сообщая готовое решение. «Перед вычислением назовите основание каждого числа и проверьте каждую цифру. Какой показатель степени соответствует крайней правой цифре? Не перепутайте значение буквы A в шестнадцатеричном алфавите. Если ваши ответы расходятся, найдите конкретный шаг, где возникло различие, и исправьте его вместе. Я подойду к нескольким парам и попрошу объяснить выбор степеней». | В парах составляют записи: 347₈ = 3 · 8² + 4 · 8¹ + 7 · 8⁰; 2A₁₆ = 2 · 16¹ + 10 · 16⁰; 1101₂ = 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰. Вычисляют значения и взаимно проверяют работу. |
1 мин | Учитель просит одну пару объяснить шестнадцатеричный пример, а другую — двоичный. «Назовите не только результат, но и основание, значения цифр и разряды. Если класс заметит расхождение, сначала укажите, на каком шаге оно появилось: в переводе буквы, выборе степени или сложении. Именно так удобнее всего проверять вычисление». | Представители пар объясняют ход решения; остальные сверяют вычисления и отмечают совпадающие результаты. |
Эталон решения
347₈ = 3 · 8² + 4 · 8¹ + 7 · 8⁰ = 192 + 32 + 7 = 231. 2A₁₆ = 2 · 16¹ + 10 · 16⁰ = 32 + 10 = 42. 1101₂ = 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Для XXIV: XX = 20, IV = 5 − 1 = 4, следовательно, XXIV = 24.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили один алгоритм к трём основаниям и увидели, что меняются степени и алфавит, но сохраняется порядок действий. Теперь проверим индивидуально, можете ли вы самостоятельно выбрать нужные степени и объяснить, почему ваш ответ верен».
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (7 мин)
Цель этапа: получить индивидуальную обратную связь о применении алгоритма и научить учеников самостоятельно находить и исправлять ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания: перевести 10011₂ и 53₈ в десятичную систему, указать алфавит и основание для системы с записью 1F₁₆. «Работайте самостоятельно, без обсуждения. Для каждого перевода обязательно запишите разрядные слагаемые: правильный ответ без объяснения не покажет, каким способом вы его получили. В третьем пункте не нужно переводить число — укажите, какие знаки допустимы и чему равно основание. Если закончите раньше, проверьте вычисления обратным прикидочным рассуждением». | Индивидуально записывают развёрнутую форму, вычисляют 10011₂ и 53₈, для записи 1F₁₆ называют основание 16 и алфавит из цифр 0–9 и A–F. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон для самопроверки и предлагает отметить место возможной ошибки. «Сверьте свои решения по шагам, а не только по последнему числу. Для 10011₂ показатели идут от нуля справа налево; для 53₈ используйте степени восьми. Поставьте рядом с каждым заданием знак “+”, если уверены, или “?”, если хотите вернуться к нему. Исправление выполните другим цветом, чтобы было видно, чему именно вы научились». | Сверяют решения с эталоном, отмечают уверенность знаком «+» или «?», исправляют ошибки другим цветом. |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор». «Покажите зелёную карточку, если можете выполнить перевод и объяснить его; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна ещё одна тренировка; красную — если пока неясно, как выбрать степени. Это не оценка, а способ понять, где нам нужна дополнительная помощь. Посмотрите на свою работу и выберите карточку честно». | Поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку и соотносят выбор с результатами самостоятельной работы. |
Эталон решения
10011₂ = 1 · 2⁴ + 0 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19. 53₈ = 5 · 8¹ + 3 · 8⁰ = 40 + 3 = 43. Для 1F₁₆ основание равно 16; допустимый алфавит содержит цифры 0–9 и буквы A–F, F = 15.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, что важно не пропустить ни один разряд и не забыть значение букв в шестнадцатеричной системе. Перед завершением соберём все понятия в короткую схему и ответим на вопрос, который возник в начале урока».
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить открытый способ перевода, оценить личный прогресс и объяснить варианты домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание класса к начальным записям и предлагает короткую «Одноминутку». «Вернёмся к вопросу с доски: как узнать десятичное значение числа из другой позиционной системы? Закончите фразу: “Чтобы перевести число в десятичную систему, я…” Затем назовите одно отличие римской записи от позиционной. Запишите ответ кратко, но так, чтобы другой ученик смог по нему восстановить алгоритм». | Письменно завершают фразу: «Нумерую разряды справа налево, умножаю каждую цифру на степень основания и складываю»; называют отличие римской записи. |
1 мин | Учитель просит оценить понимание и уточняет, где нужна поддержка. «Покажите пальцами от одного до трёх, насколько уверенно вы теперь определяете основание и переводите число. Кто выбрал один или два, назовите конкретный шаг, который вызывает вопрос: определение разрядов, степени основания или вычисление суммы? Я отмечу эти затруднения и начну следующий урок с короткого разбора». | Показывают уровень уверенности от одного до трёх и называют затруднивший шаг, например: «путаю номера разрядов» или «забываю, что A равно десяти». |
2 мин | Учитель объясняет выбор домашнего задания. «Для обязательной части выберите пять коротких переводов по образцу, который мы разобрали; средний уровень добавляет сравнение двух систем, а продвинутый предлагает придумать собственный пример. Выберите вариант по своей уверенности, но обязательный минимум выполняют все. Перед выходом каждый ответит на контрольные вопросы: что такое основание, с какого разряда начинают нумерацию и как проверить допустимость цифры?» | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы; отвечают: «основание — количество знаков алфавита», «с нулевого разряда справа», «цифра должна быть меньше основания». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три перевода в парной карточке и все задания самостоятельной работы; развёрнутая запись содержит правильные степени, значение A или F указано верно, ученик может объяснить отличие римской системы.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи одного разряда; основание и допустимые цифры определены правильно.
- «3» — верно выполнены не менее двух заданий из парной карточки или самостоятельной работы при частичной записи шагов; ученик с подсказкой определяет основание и исправляет ошибку в разрядах.
- При формирующей проверке учитываются не только ответы, но и запись промежуточных действий, взаимная проверка в паре и способность найти место ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как объяснить своими словами, что показывает основание позиционной системы? | Проверить осознание понятий «основание» и «алфавит». |
Какой шаг перевода числа в десятичную систему оказался для вас самым сложным? | Выявить точку затруднения в алгоритме: нумерация разрядов, выбор степеней или вычисление. |
Чем запись XXIV отличается от записи 24 или 11000₂? | Проверить понимание различия между непозиционной и позиционными системами. |
Какое задание вы выбрали для домашней работы и почему? | Уточнить субъективную оценку готовности и осознанность выбора уровня. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что запись числа зависит от правил системы счисления, а в позиционной системе значение цифры определяется её разрядом и основанием. Вы научились переводить двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа в десятичную систему через развёрнутую запись. Самая частая ошибка — неверно пронумеровать разряды или забыть, что нумерация начинается справа с нуля; проверяйте именно этот шаг. Римские числа устроены иначе: их читают по правилам сочетания знаков, а не как сумму разрядов степеней основания. На следующем уроке мы продолжим работать с представлением чисел и потренируемся переводить их между системами счисления».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Перевести в десятичную систему 5 целых чисел: два двоичных, два восьмеричных и одно шестнадцатеричное; для каждого записать развёрнутую форму и вычисления. Дополнительно прочитать 3 римских числа, включающих случаи сложения и вычитания знаков. | Закрепляет применение алгоритма и понимание римской записи; при проверке обратить внимание на нумерацию разрядов, степени основания и значение букв A–F. |
Средний (повышающий) | Выполнить 6 переводов в десятичную систему: по два числа из систем с основаниями 2, 8 и 16; для двух чисел объяснить, почему все использованные цифры допустимы. Сравнить одну позиционную запись с римской, указав различие в принципе чтения. | Развивает самостоятельный выбор основания и анализ записи; при проверке оценить объяснение, а не только итоговые значения. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать три корректных числа в системах с основаниями 2, 8 и 16, перевести их в десятичную систему и составить одно число с ошибочной для выбранного основания цифрой. К каждому примеру написать короткое объяснение; дополнительно придумать два римских числа в пределах изученных правил. | Развивает создание собственных примеров и умение обнаруживать недопустимые цифры; при проверке смотреть на корректность оснований, вычислений и обоснования ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: что называется алфавитом системы счисления? Как связано основание с количеством цифр в алфавите? С какого края и с какого номера начинают нумерацию разрядов? Как определить десятичное значение позиционного числа? Почему римскую запись нельзя переводить тем же способом, что двоичную?
