Развёрнутая форма записи числа и двоичная система счисления: от 0 до 1024
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся научатся записывать числа в развёрнутой форме и переводить целые числа из двоичной системы в десятичную в диапазоне от 0 до 1024.
- Образовательная задача: сформировать понимание позиционного принципа записи чисел и алгоритма перевода через развёрнутую форму.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление и навыки работы с алгоритмами при решении вычислительных задач.
- Воспитательная задача: способствовать формированию цифровой грамотности и пониманию принципов работы современной вычислительной техники.
- Практическая задача: освоить использование компьютерного инструментария (калькулятора) для проверки правильности вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие навыков конструктивного общения и сотрудничества в процессе парной работы на компьютере.
- Понимание роли фундаментальных знаний в области информатики для будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения и устанавливать аналогии между различными системами счисления.
- Навыки структурирования информации и моделирования математических объектов.
- Способность к самоконтролю и коррекции своих действий при выполнении практических заданий.
Предметные
- Знание определений позиционной системы счисления, основания и алфавита системы.
- Умение записывать числа в развёрнутой форме в различных системах счисления.
- Владение навыком перевода целых чисел из двоичной системы в десятичную вручную и с помощью программных средств.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознание смысла изучения систем счисления как основы кодирования информации в ЭВМ.
- Развитие критического мышления при анализе результатов вычислений.
Регулятивные УУД
- Планирование последовательности шагов при переводе чисел по алгоритму.
- Оценка качества и уровня усвоения материала через выполнение самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника.
- Преобразование объекта из графической/символьной формы в математическую модель.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою точку зрения при обсуждении проблемных вопросов.
- Эффективное взаимодействие с учителем и сверстниками.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с примерами развёрнутой формы записи чисел (десятичная, двоичная).
- Распечатать карточки для этапа актуализации: наборы чисел в разных системах (римская, десятичная).
- Проверить работоспособность компьютеров и наличие стандартного приложения «Калькулятор».
- Подготовить таблицу степеней числа 2 (от 2^0 до 2^10) для раздачи ученикам.
- Сформулировать проблемный вопрос для этапа мотивации.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтересовать учеников темой внутреннего языка компьютера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Вы когда-нибудь задумывались, почему компьютер, такой мощный и умный, понимает только две цифры — 0 и 1? Представьте, что у вас есть 10 выключателей. Сколько различных состояний можно ими закодировать? Сегодня мы научимся понимать этот 'секретный код' и переводить его на наш привычный язык чисел." | Слушают учителя, настраиваются на работу, включаются в диалог. |
2 мин | "Посмотрите на экран. Здесь написано число 1010. Если я скажу, что это не 'одна тысяча десять', а всего лишь число 'десять', вы мне поверите? К концу урока вы сами сможете доказать, почему это так. Запишем тему урока: 'Развёрнутая форма записи числа и двоичная система счисления'." | Записывают тему урока в тетради, высказывают предположения о том, почему 1010 может быть равно 10. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заинтригованы, но чтобы разгадать загадку, нам нужно вспомнить, как мы вообще записываем числа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия позиционных и непозиционных систем счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним. На доске два числа: XXX и 333. В чем принципиальная разница между ними? Используем прием 'Толстые и тонкие вопросы'. Тонкий вопрос: в какой системе записано первое число? Толстый вопрос: как меняется значение цифры 3 в числе 333 в зависимости от её позиции?" | Отвечают: "Первое число — в римской системе, второе — в десятичной. В числе 333 первая тройка означает сотни, вторая — десятки, третья — единицы. В римской системе X всегда десять, где бы она ни стояла." |
2 мин | "Верно. Системы, где значение цифры зависит от позиции, называются позиционными. Наша десятичная система — именно такая. Давайте попробуем расписать число 2024 как сумму разрядных слагаемых. Кто пойдет к доске?" | Один ученик у доски, остальные в тетрадях записывают: 2024 = 2*1000 + 0*100 + 2*10 + 4*1. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что в нашей системе 'вес' каждой цифры — это степень десятки. А что, если основание будет другим?"
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: изучить алгоритм записи числа в развёрнутой форме и правила перевода из двоичной системы.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Любое число в позиционной системе с основанием q можно представить в развёрнутой форме. Посмотрите на формулу на слайде. Мы берем цифру и умножаем её на основание в степени, равной номеру позиции. Важно: позиции считаем справа налево, начиная с нуля! Давайте запишем это правило в тетрадь." | Записывают формулу общего вида и схему нумерации разрядов (справа налево: 0, 1, 2...). |
4 мин | "Теперь применим это к двоичной системе. В ней всего две цифры: 0 и 1. Основание q = 2. Возьмем наше загадочное число 1010. Пронумеруем разряды: над последним нулем ставим 0, над единицей — 1, над следующим нулем — 2, над первой единицей — 3. Теперь распишем сумму: 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0. Считаем!" | Считают вместе с учителем: 8 + 0 + 2 + 0 = 10. Делают вывод: "Действительно, 1010 в двоичной системе — это 10 в десятичной!" |
4 мин | "А теперь давайте замахнемся на большее. Как записать число 1024? В десятичной это 10 в третьей степени плюс еще немного. А в двоичной? Это единица и десять нулей! Это число — важный рубеж в информатике, оно равно 2 в 10-й степени. Давайте составим таблицу степеней двойки до десятой степени." | Записывают таблицу степеней двойки: 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^10=1024. |
Запись в тетрадях
Развёрнутая форма числа Aq:
Aq = dn-1*qn-1 + ... + d1*q1 + d0*q0
Пример перевода 11012:
1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310.
Aq = dn-1*qn-1 + ... + d1*q1 + d0*q0
Пример перевода 11012:
1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310.
Двоичная арифметика
В двоичной системе используются только две цифры: 0 и 1. Поэтому при сложении, вычитании и умножении действуют правила, отличные от привычных десятичных, но общий принцип переноса и заимствования сохраняется.
Сложение:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 102 — записываем 0, а 1 переносим в следующий разряд.
1 + 1 + 1 = 112 — записываем 1, а 1 переносим в следующий разряд.
Пример: 10112 + 01102. Справа налево: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 102, пишем 0 и переносим 1; 0 + 1 + 1 = 102, пишем 0 и снова переносим 1; 1 + 0 + 1 = 102. Получаем 100012.
Вычитание:
0 − 0 = 0
1 − 0 = 1
1 − 1 = 0
0 − 1 требует заимствования из соседнего старшего разряда. После заимствования 0 превращается в 102, поэтому 102 − 12 = 12, а значение старшего разряда уменьшается на единицу.
Пример: 10002 − 00012 = 01112. Единица из старшего разряда последовательно передаётся через нули, поэтому результат равен 710.
Умножение:
При умножении на 0 получается 0, при умножении на 1 число повторяется. Умножение на 210 равносильно сдвигу двоичной записи на один разряд влево с добавлением нуля справа: 10112 × 102 = 101102. При сдвиге влево на один разряд число увеличивается в 2 раза, а при сдвиге вправо — уменьшается в 2 раза для целых чисел без учёта остатка.
Проверять результат удобно переводом в десятичную систему. Например, 10112 = 1110 и 01102 = 610; 11 + 6 = 17, а 100012 = 1710.
В двоичной системе используются только две цифры: 0 и 1. Поэтому при сложении, вычитании и умножении действуют правила, отличные от привычных десятичных, но общий принцип переноса и заимствования сохраняется.
Сложение:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 102 — записываем 0, а 1 переносим в следующий разряд.
1 + 1 + 1 = 112 — записываем 1, а 1 переносим в следующий разряд.
Пример: 10112 + 01102. Справа налево: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 102, пишем 0 и переносим 1; 0 + 1 + 1 = 102, пишем 0 и снова переносим 1; 1 + 0 + 1 = 102. Получаем 100012.
Вычитание:
0 − 0 = 0
1 − 0 = 1
1 − 1 = 0
0 − 1 требует заимствования из соседнего старшего разряда. После заимствования 0 превращается в 102, поэтому 102 − 12 = 12, а значение старшего разряда уменьшается на единицу.
Пример: 10002 − 00012 = 01112. Единица из старшего разряда последовательно передаётся через нули, поэтому результат равен 710.
Умножение:
При умножении на 0 получается 0, при умножении на 1 число повторяется. Умножение на 210 равносильно сдвигу двоичной записи на один разряд влево с добавлением нуля справа: 10112 × 102 = 101102. При сдвиге влево на один разряд число увеличивается в 2 раза, а при сдвиге вправо — уменьшается в 2 раза для целых чисел без учёта остатка.
Проверять результат удобно переводом в десятичную систему. Например, 10112 = 1110 и 01102 = 610; 11 + 6 = 17, а 100012 = 1710.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть мощный инструмент — алгоритм. Пора проверить его в деле."
Этап 4. Первичное закрепление (5 мин)
Цель этапа: отработать навык перевода на простых примерах у доски.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Решим несколько задач. Вызываю троих к доске. Задание: перевести числа 1112, 10012 и 110002 в десятичную систему. Остальные работают в тетрадях. Помните про степени двойки из нашей таблицы!" | Трое учеников решают у доски, комментируя свои действия. Остальные сверяют результаты. Ответы: 7, 9, 24. |
Эталон решения
1. 1112 = 1*22 + 1*21 + 1*20 = 4 + 2 + 1 = 710
2. 10012 = 1*23 + 0 + 0 + 1*20 = 8 + 1 = 910
3. 110002 = 1*24 + 1*23 + 0 + 0 + 0 = 16 + 8 = 2410
2. 10012 = 1*23 + 0 + 0 + 1*20 = 8 + 1 = 910
3. 110002 = 1*24 + 1*23 + 0 + 0 + 0 = 16 + 8 = 2410
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ручной счет — это хорошо, но информатики ценят автоматизацию. Пересаживаемся за компьютеры."
Этап 5. Практическая работа на компьютере (12 мин)
Цель этапа: научиться использовать программные средства для работы с системами счисления и проверить свои вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Включите компьютеры. Найдите стандартное приложение 'Калькулятор'. Переключите его в режим 'Программист' (обычно это в меню 'Вид' или три полоски слева). Обратите внимание на переключатели HEX, DEC, OCT, BIN. Что они означают?" | Запускают калькулятор, находят режим. Отвечают: "DEC — десятичная, BIN — двоичная". |
10 мин | "Задание: 1) Проверьте свои ответы из предыдущего этапа, вводя числа в режиме BIN и глядя на строку DEC. 2) Переведите в десятичную систему число, состоящее из десяти единиц (1111111111). 3) Найдите двоичное представление для числа 1024. Что вы заметили?" | Работают индивидуально. Обнаруживают, что 10 единиц — это 1023. Видят, что 1024 — это единица и 10 нулей. Экспериментируют с другими числами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Компьютер подтвердил наши расчеты. Обратите внимание: 1024 — это ровно 2 в 10-й степени, поэтому оно так 'красиво' выглядит в двоичном коде."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание пройденного пути, оценка своих достижений и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Ребята, давайте подведем итоги. У вас на столах лежат карточки 'Светофор'. Зеленая — все понятно, желтая — есть вопросы, красная — было сложно. Поднимите ту, которая отражает ваше состояние. А теперь ответьте: какой шаг в алгоритме перевода самый важный?" | Поднимают карточки. Отвечают: "Важно правильно пронумеровать разряды с нуля", "Важно не перепутать степени двойки". |
4 мин | "Запишем домашнее задание. Я предлагаю вам выбор из трех уровней сложности. Выберите тот, который вам по силам. Также обратите внимание на контрольные вопросы в конце параграфа в учебнике Босовой." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — ученик верно выполнил перевод всех трех чисел у доски/в тетради, успешно справился с заданиями на компьютере и объяснил принцип работы режима 'Программист'.
- "4" — допущены 1-2 некритичные ошибки в вычислениях, которые были исправлены самостоятельно при проверке на компьютере.
- "3" — ученик понимает алгоритм, но испытывает трудности с возведением в степень или нумерацией разрядов, требуется помощь учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как изменится развёрнутая запись, если основание системы будет 8? | Проверка понимания универсальности алгоритма. |
Что было самым трудным: нумеровать разряды или считать сумму? | Выявление индивидуальных затруднений в алгоритме. |
Где в реальной жизни мы можем встретить число 1024? | Связь темы с практическими знаниями об объеме памяти (Кбайт). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами научились говорить на языке цифр, который понимает ваш смартфон и компьютер. Мы узнали, что за простыми нулями и единицами скрываются обычные числа, просто записанные иначе. На следующем уроке мы научимся обратному действию — превращать наши десятичные числа в двоичный код. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Перевести 5 двоичных чисел (от 4 до 6 знаков) в десятичную систему счисления вручную. | Закрепление базового алгоритма перевода. |
Средний | Сравнить пары чисел, записанных в разных системах (например, 110112 и 3010), поставив знак <, > или =. | Развитие навыков сравнения и анализа данных в разных форматах. |
Продвинутый | Найти десятичное значение самого большого двоичного числа, которое можно записать в 10 битах. Объяснить связь с числом 1024. | Подготовка к пониманию принципов адресации и объема памяти. |
Контрольный вопрос: Почему в развёрнутой форме записи крайняя правая цифра всегда умножается на основание в нулевой степени?
