Развернутая форма записи числа в позиционных системах счисления
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно переводить числа из любой позиционной системы счисления в десятичную, используя алгоритм записи числа в развернутой форме.
- Образовательная задача: изучить структуру развернутой формы записи числа и принцип определения веса разряда.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через установление межпредметных связей с математикой (степень числа).
- Воспитательная задача: формировать навыки ответственного отношения к индивидуальной и парной работе, уважения к мнению сверстников.
- ИКТ-задача: продемонстрировать возможность использования электронных таблиц для автоматизации расчетов по формуле развернутой формы.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе информации.
- Понимание роли информационных процессов в современном обществе.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения и устанавливать аналогии.
- Умение осознанно использовать речевые средства для выражения своих мыслей.
- Навыки смыслового чтения текстов, содержащих математические формулы.
Предметные
- Знать определение позиционной системы счисления и развернутой формы записи числа.
- Уметь записывать числа в развернутой форме для систем с основаниями 2, 8, 16.
- Владеть навыком вычисления десятичного эквивалента числа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно.
- Планирование — определение последовательности промежуточных целей.
- Самоконтроль и коррекция в процессе выполнения заданий.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации.
- Моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в паре, распределять обязанности.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с примерами развернутой формы записи чисел.
- Распечатать карточки для парной работы (15 штук) с числами в разных системах счисления.
- Проверить работоспособность проектора и интерактивной доски.
- Подготовить демонстрационный файл в MS Excel для проверки расчетов.
- Сформировать QR-код со ссылкой на интерактивный тренажер для этапа закрепления.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: эмоционально настроить учащихся на работу и создать ситуацию интеллектуального интереса через "крючок".
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начнем с загадки. Посмотрите на экран. Здесь написано: "В классе 100110110011000101011101..." Стоп, это слишком сложно. Давайте проще: представьте, что вы нашли записку пирата, где указано, что клад зарыт в 101 метре от старой сосны. Вы проходите 101 метр, но клада нет. Оказывается, пират был цифровым и считал в двоичной системе. Как вы думаете, сколько на самом деле метров нужно было пройти? Сегодня мы научимся понимать язык этих "цифровых пиратов" и переводить любые числа в привычный нам вид». | Слушают учителя, удивляются количеству цифр. Выдвигают предположения: «Может быть, 5 метров?», «Или это вообще не метры?». Включаются в обсуждение проблемы перевода чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы видим, что одна и та же запись "101" может означать совершенно разные величины. Чтобы не ошибиться, нам нужен универсальный ключ. Запишем тему урока: "Развернутая форма записи числа"».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру десятичного числа и понятие позиционности, подготовить почву для вывода общей формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте вспомним начальную школу. У нас есть число 352. Что означает цифра 3? А цифра 5? А 2? Правильно, это сотни, десятки и единицы. А теперь давайте запишем это математически, используя степени числа 10. Посмотрите на доску: $352 = 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0$. Почему мы используем именно число 10? Верно, потому что наша система — десятичная. А что будет, если мы заменим 10 на другое основание? Давайте проверим нашу интуицию». | Отвечают: «3 — это сотни, 5 — десятки, 2 — единицы». Записывают пример в тетрадь. Делают вывод: «Основание системы счисления определяет, в какую степень мы возводим число при разложении». |
Запись в тетрадях
$352_{10} = 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как устроены наши привычные числа. Оказывается, в них уже зашита формула, которую мы просто не замечали. Теперь применим этот секрет к другим системам».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать невозможность прямого перевода без знания алгоритма развернутой формы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Представьте число $1101_2$. Если я попрошу вас сказать, сколько это в нашей системе, сможете ли вы это сделать мгновенно? В чем главная трудность? Мы понимаем, что это не "тысяча сто один". Но как понять, какой вклад вносит каждая единица? Давайте попробуем применить ту же логику, что и с числом 352, но вместо 10 возьмем основание 2. Как вы думаете, с какого разряда нужно начинать нумерацию степеней?» | Пробуют перевести число. Сталкиваются с проблемой: «Непонятно, на что умножать единицы и нули». Предполагают: «Наверное, на степени двойки», «Нумерация должна идти справа налево, начиная с нуля». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, наша проблема: как правильно расставить степени и вычислить итог. Сформулируем цель: вывести общее правило записи числа в развернутой форме для любой системы счисления».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести общую формулу развернутой записи числа и алгоритм перевода в десятичную систему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Давайте выведем формулу вместе. Пусть у нас есть число $A$ в системе с основанием $q$. Запишем его цифры как $a_n, a_{n-1}, ..., a_0$. Учитель пишет на доске: $A_q = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + ... + a_0 \cdot q^0$. Этот вид записи называется развернутой формой. Обратите внимание: степени начинаются с 0 и идут справа налево! Давайте разберем пример вместе: $1101_2$. Расставим индексы над цифрами: над 1 (правой) — 0, над 0 — 1, над 1 — 2, над 1 (левой) — 3. Теперь диктуйте мне, что писать дальше». | Следят за записью формулы. Диктуют учителю: «$1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$». Считают в уме: «$8 + 4 + 0 + 1 = 13$». Делают вывод: «$1101_2 = 13_{10}$». |
6 мин | «А теперь межпредметная связь с математикой. Кто помнит, чему равно любое число в нулевой степени? Правильно, единице. А что делать, если в системе счисления есть буквы, как в 16-ричной? Например, $1A_{16}$. Мы знаем, что $A = 10$. Значит, запись будет: $1 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0$. Сколько получится? Сейчас я покажу вам, как это проверить в Excel. Учитель открывает таблицу, вводит формулу `=1*16^1 + 10*16^0`. Смотрите, компьютер мгновенно выдает 26!» | Отвечают: «Любое число в нулевой степени — это 1». Записывают пример с 16-ричным числом. Наблюдают за демонстрацией в ИКТ-среде, убеждаются в правильности своих расчетов. |
Эталон решения
$1A_{16} = 1 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 = 16 + 10 = 26_{10}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили универсальный инструмент. Теперь не важно, какая база у системы — 2, 8 или даже 60 — алгоритм всегда один и тот же».
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать навык записи развернутой формы в сотрудничестве, используя прием «Think-Pair-Share».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Сейчас вы поработаете в парах. Я раздаю карточки. На каждой — два числа: одно двоичное, одно восьмеричное. Ваша задача: один ученик записывает число в развернутой форме, а второй проверяет правильность расстановки степеней и вычисляет итог. Затем меняетесь ролями. Помните о правиле: не критикуем, а помогаем! Используйте прием "Светофор": если пара закончила — поднимите зеленую карточку, если возник вопрос — желтую». | Работают в парах. Обсуждают: «Смотри, здесь основание 8, значит умножаем на 8 в степени». Исправляют ошибки друг друга. Поднимают карточки готовности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу много зеленых карточек. Большинство пар успешно справились с переводом восьмеричных чисел».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальный уровень усвоения материала через решение дифференцированных задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Теперь каждый сам за себя. На экране три уровня сложности. Выберите один и решите его в тетради.
Уровень 1: $111_2$ и $23_8$.
Уровень 2: $10101_2$ и $AF_{16}$.
Уровень 3: $120,1_3$ (подсказка: для дробной части степени становятся отрицательными!).
Через 5 минут я выведу ответы на экран, и вы проведете самопроверку по эталону». | Выбирают уровень сложности. Самостоятельно записывают развернутые формы и считают. Сверяют свои результаты с ответами на слайде, ставят себе «+» или «?». |
Эталон решения (Уровень 2)
$AF_{16} = 10 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 160 + 15 = 175_{10}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Кто справился с 3 уровнем? Отлично! Отрицательные степени — это уже высший пилотаж».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к нашему цифровому пирату. Если он написал 101 метр в двоичной системе, сколько это на самом деле? (Учитель ждет ответа). Правильно, 5 метров! Видите, как важно знать системы счисления.
Сейчас я попрошу вас заполнить "Билет на выход": на маленьком листочке напишите одно предложение — что было самым трудным, и одну вещь, которую вы теперь точно умеете. Сдайте их мне, когда будете выходить». | Отвечают хором: «5 метров!». Заполняют листочки рефлексии. Записывают домашнее задание. Слушают комментарии учителя. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно записана развернутая форма для 3-х и более чисел, расчеты выполнены без ошибок.
- «4» — верно записана развернутая форма, но допущена 1 арифметическая ошибка в вычислениях.
- «3» — правильно расставлены степени над цифрами, но допущены ошибки в формуле развернутой записи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
С какой цифры мы начинаем нумерацию разрядов и в каком направлении? | Проверка усвоения ключевого правила алгоритма. |
Какая математическая операция является основной в развернутой форме? | Выявление понимания связи с темой «Степени». |
Где в реальной жизни нам может пригодиться навык перевода чисел? | Осознание практической значимости и связи с ИТ-профессиями. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы совершили важное открытие: поняли, как "думает" компьютер, раскладывая числа на степени двойки. Этот навык — база для всей цифровой электроники. Если сегодня у вас что-то не получилось с вычислениями — не переживайте, на следующем уроке мы закрепим это на практике в электронных таблицах. Вы молодцы, спасибо за активную работу в парах!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, §1.2, задание №5 | Записать в развернутой форме и перевести в 10-ю систему 3 двоичных числа. |
Средний (повышающий) | Карточка в ЭЖД | Сравнить числа: $110_2$ и $6_8$. Что больше? Доказать расчетом. |
Продвинутый (доп.) | Творческое задание | Придумать свою систему счисления (например, 5-ричную) и записать в ней дату своего рождения. |
Контрольный вопрос: «Как изменится развернутая форма записи, если мы увеличим основание системы счисления?»
