Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют переместительный и сочетательный законы сложения векторов, построят сумму двух векторов по правилу параллелограмма и применят алгоритм при решении не менее двух геометрических задач, включая задание экзаменационного типа.
- Сформировать представление о сумме двух векторов и геометрическом смысле правила параллелограмма.
- Научить строить сумму двух векторов с общим началом и записывать результат векторными равенствами.
- Развивать умение анализировать чертёж, выбирать способ построения и проверять правильность результата.
- Формировать уверенность при выполнении заданий формата ОГЭ, аккуратность построений и готовность аргументировать решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость векторного метода решения геометрических задач.
- Проявляют положительное отношение к самостоятельному поиску способа построения суммы векторов.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ через освоение понятного пошагового алгоритма.
- Осознают ценность точности, обоснованности и взаимопроверки математического решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, текста задания, динамической модели и краткой записи.
- Планируют построение суммы векторов и контролируют последовательность действий.
- Сравнивают два порядка сложения векторов и формулируют вывод о неизменности результата.
- Аргументированно представляют решение в паре и корректно оценивают работу одноклассника.
- Используют интерактивную модель для проверки геометрической гипотезы.
Предметные
- Знать определения суммы двух векторов и правила параллелограмма и треугольника.
- Уметь строить сумму двух векторов, отложенных от одной точки, по правилу параллелограмма.
- Уметь формулировать и применять переместительный и сочетательный законы сложения векторов.
- Уметь записывать векторные равенства по готовому чертежу и проверять построение.
- Владеть алгоритмом решения задач на сложение векторов в геометрической конфигурации.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться строить сумму векторов без пропуска этапов.
- Связывают освоение алгоритма с успешным выполнением геометрических заданий ОГЭ.
- Проявляют ответственность за точность чертежа и обоснование ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после анализа проблемного чертежа.
- Планируют построение параллелограмма по двум данным векторам.
- Сверяют результат с эталоном и находят ошибку в направлении или длине вектора.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Моделируют сумму векторов на чертеже и в динамической геометрической модели.
- Выделяют существенные признаки параллелограмма, необходимые для построения.
- Сравнивают выражения \(\vec a+\vec b\) и \(\vec b+\vec a\), формулируя переместительный закон.
- Преобразуют словесное условие задачи в чертёж и векторную запись.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: выполняющий построение и проверяющий алгоритм.
- Формулируют вопросы о начале, направлении и конце результирующего вектора.
- Доказывают правильность построения ссылкой на свойства параллелограмма.
- Принимают замечания партнёра и корректируют чертёж.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с формулировками суммы векторов, правила параллелограмма, переместительного и сочетательного законов, а также с двумя чертежами для самопроверки.
- Открыть заранее ЭОР с интерактивной моделью параллелограмма, в которой можно перемещать концы векторов и наблюдать изменение результирующего вектора.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые построения, задания на запись равенств и задание экзаменационного типа — по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки — по одному на ученика — с пунктами «Я могу построить», «Я могу объяснить», «Я могу проверить».
- Подготовить лист с эталоном построения для взаимопроверки — по одному на парту.
- Раздать на каждую парту линейку, карандаш, ластик и угольник; проверить наличие тетрадей и чертёжных принадлежностей.
- Вывести на доску тему урока, проблемный вопрос «Почему порядок сложения векторов не меняет результата?» и алгоритм с пропущенными шагами.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, компьютер с доступом к ЭОР и резервный статичный чертёж на случай технического сбоя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую значимость темы для решения геометрических задач и заданий ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: тетрадь, ручка, линейка, карандаш и угольник должны лежать на парте. Сегодня мы будем не просто запоминать формулу, а построим геометрический объект, который позволит складывать векторы без вычислений. Такой приём часто помогает сократить решение задания ОГЭ." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят чертёжные инструменты. |
2 мин | Учитель показывает на экране два вектора с общим началом и задаёт вопрос: "Представьте, что первый вектор задаёт движение вправо, а второй — вверх. Как изобразить одно результирующее перемещение? Можно ли получить один вектор, заменяющий два последовательных движения? Запомните этот вопрос: к нему мы вернёмся в конце урока." | Рассматривают модель, предлагают варианты: "Соединить начало первого вектора с концом второго", "построить диагональ"; формулируют предположение о результирующем векторе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что два перемещения можно заменить одним результирующим вектором. Сейчас проверим, какие знания о векторах понадобятся для такого построения и где возникает затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения вектора, равных векторов и параллельного переноса, необходимые для открытия нового способа сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала в течение тридцати секунд каждый самостоятельно ответит, что называется вектором и какие векторы считаются равными. Затем обсудите ответ с соседом и выберите точную формулировку. После этого две пары представят ответ классу." | Индивидуально формулируют определения, затем обсуждают их в паре; отвечают: "Вектор — направленный отрезок", "равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление". |
3 мин | Учитель демонстрирует на доске векторы \(\vec a\), \(\vec b\) и их параллельные переносы: "Посмотрите, что изменилось при переносе, а что осталось неизменным. Можно ли отложить вектор с началом в любой заданной точке? Как это свойство поможет нам расположить два вектора рядом?" Учитель фиксирует на доске ключевые слова: длина, направление, начало, конец. | Указывают, что при параллельном переносе сохраняются длина и направление; отвечают: "Вектор можно отложить от любой точки"; отмечают на рисунке равные векторы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что вектор можно переносить, не меняя его длину и направление. Значит, мы можем расположить два вектора с общим началом, но пока не знаем, как точно построить их сумму. Это и будет нашей учебной проблемой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при построении суммы векторов и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) с общим началом \(O\): "Перед вами два вектора. Нам нужно построить их сумму одним вектором. Куда должен идти результирующий вектор? Достаточно ли просто соединить концы данных векторов? Обсудите вопрос в паре одну минуту и назовите причину своего решения." | Обсуждают варианты; замечают, что соединение концов не всегда даёт нужный результат; формулируют затруднение: "Неясно, какой отрезок считать суммой и как обосновать его направление". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как построить сумму двух векторов, если они имеют общее начало, и почему порядок сложения не должен влиять на результат? Сформулируйте цель урока одним предложением. Я запишу ваши предложения на доске и уточню формулировку." | Предлагают цель: "Узнать правило параллелограмма", "научиться строить сумму двух векторов"; записывают тему и цель: построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма и объяснить законы сложения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: нам нужен строгий способ построения и его обоснование. Теперь мы сами откроем правило на чертеже и проверим его с помощью ЭОР."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания. Правило параллелограмма (10 мин)
Цель этапа: вывести правило параллелограмма и установить переместительный закон сложения векторов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске точку \(O\) и откладывает от неё векторы \(\vec a=\overrightarrow{OA}\) и \(\vec b=\overrightarrow{OB}\): "Сначала расположим оба вектора с общим началом. Через конец вектора \(\vec a\) проведём прямую, параллельную вектору \(\vec b\), а через конец \(\vec b\) — прямую, параллельную вектору \(\vec a\). Получим параллелограмм \(OACB\). Какой вектор соединяет общее начало с противоположной вершиной? Именно этот вектор и называется суммой." | Строят аналогичный параллелограмм в тетради; отвечают: "Вектор \(\overrightarrow{OC}\)"; формулируют: "\(\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec b\)". |
3 мин | Учитель записывает на доске правило: "Чтобы сложить два вектора, отложенных от одной точки, нужно построить на них параллелограмм; диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала, является суммой векторов." Затем спрашивает: "Если поменять векторы местами, какой параллелограмм получится? Изменится ли его диагональ?" | Сравнивают построения \(\vec a+\vec b\) и \(\vec b+\vec a\); отвечают: "Параллелограмм тот же, диагональ та же"; записывают \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\). |
3 мин | Учитель запускает ЭОР: "Теперь переместим конец одного вектора и посмотрим на динамическую модель. Следите за диагональю и направлением. Изменится ли сумма, если изменить порядок построения? Сделайте вывод по наблюдению, но обязательно подтвердите его свойством параллелограмма." | Наблюдают изменение положения фигуры в ЭОР; формулируют переместительный закон; называют признаки корректного результата: общее начало, параллельные противоположные стороны, диагональ от общего начала. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Правило параллелограмма: если \(\vec a=\overrightarrow{OA}\), \(\vec b=\overrightarrow{OB}\), то при построении параллелограмма \(OACB\) сумма векторов равна \(\vec a+\vec b=\overrightarrow{OC}\). Переместительный закон: \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\).»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили диагональ параллелограмма как сумму двух векторов и убедились, что порядок слагаемых не меняет результата. Осталось проверить, умеем ли мы применять правило по заданному чертежу и не путать диагональ суммы с другой диагональю."
Этап 5. Открытие сочетательного закона и первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения и вывести сочетательный закон сложения векторов через последовательное перемещение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Из точки \(O\) последовательно отложены векторы \(\vec a\), затем \(\vec b\), затем \(\vec c\). Какой вектор задаёт общее перемещение? Сначала сложите \(\vec a\) и \(\vec b\), а затем к полученному вектору прибавьте \(\vec c\). Запишите выражение." | Строят последовательное перемещение и записывают \((\vec a+\vec b)+\vec c\); отвечают: "Сначала получаем промежуточную сумму, затем прибавляем третий вектор". |
3 мин | Учитель показывает второй способ: "Теперь сначала объединим \(\vec b\) и \(\vec c\), а затем прибавим \(\vec a\). Конечная точка перемещения должна быть той же. Сравните записи и сформулируйте закон." | Строят второй вариант, сравнивают конечные точки; записывают \((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)\); формулируют сочетательный закон. |
2 мин | Учитель раздаёт карточку с чертежом: точки \(O,A,B,C\) образуют параллелограмм, \(\overrightarrow{OA}=\vec a\), \(\overrightarrow{OB}=\vec b\). Просит: "Назовите сумму, укажите диагональ и объясните, почему ответ не \(\overrightarrow{AB}\)." | Работают в парах, подписывают \(\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec b\), объясняют: "\(\overrightarrow{OC}\) выходит из общего начала, а \(\overrightarrow{AB}\) имеет другое начало и направлен противоположно диагонали в данном чертеже". |
Эталон решения
Пусть \(\vec a=\overrightarrow{OA}\), \(\vec b=\overrightarrow{OB}\). Через точку \(A\) проводим прямую, параллельную \(OB\), а через точку \(B\) — прямую, параллельную \(OA\). Их пересечение обозначаем \(C\). Тогда \(OACB\) — параллелограмм, поэтому диагональ, выходящая из общего начала, задаёт сумму: \(\vec a+\vec b=\overrightarrow{OC}\). При обратном порядке получаем ту же диагональ, следовательно, \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились читать сумму по готовому чертежу и увидели, что при последовательном сложении можно менять группировку. Теперь каждый самостоятельно выполнит построение и покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение строить сумму векторов и применять законы сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и проговаривает инструкцию: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Минимальный уровень обязателен для всех. На базовом уровне постройте сумму двух векторов по правилу параллелограмма и запишите два равенства. На повышенном уровне дополнительно преобразуйте выражение с тремя векторами. Не забывайте: сначала обозначьте общее начало, затем проведите параллельные прямые, после этого выделите диагональ." | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Базовый вариант: строят \(\vec a+\vec b\), записывают \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\). Повышенный вариант: преобразуют \((\vec a+\vec b)+\vec c\) в \(\vec a+(\vec b+\vec c)\). |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Сверьте не только конечный ответ, но и каждый шаг: одинаково ли обозначено общее начало, действительно ли стороны параллелограмма параллельны данным векторам, откуда выходит диагональ? Отметьте одну сильную сторону и одну ошибку, которую нужно исправить." | Проверяют построение по эталону, исправляют неточности другим цветом, ставят условный знак рядом с каждым выполненным шагом. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь работами с соседом. По критериям проверьте наличие параллелограмма, правильное направление диагонали и запись закона. Скажите партнёру две сильные стороны и одно пожелание." | Проверяют работу партнёра, формулируют: "Верно построены параллельные стороны", "нужно точнее провести диагональ"; возвращают работу автору. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство из вас выполнили построение по полному алгоритму. Мы увидели, что типичная ошибка — выбрать не ту диагональ или забыть общее начало. Закрепим теперь способ на задаче, близкой к формату ОГЭ."
Этап 7. Включение в систему знаний. Задание экзаменационного типа (2 мин)
Цель этапа: применить правило параллелограмма при чтении геометрического чертежа и подготовить учащихся к заданиям ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает чертёж параллелограмма \(OACB\) и говорит: "Рассмотрите рисунок. Известно, что \(\overrightarrow{OA}=\vec a\), \(\overrightarrow{OB}=\vec b\). Запишите через \(\vec a\) и \(\vec b\) вектор \(\overrightarrow{OC}\). Затем назовите выражение для \(\overrightarrow{CO}\). Объясните знак во втором равенстве." | Записывают \(\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{CO}=-(\vec a+\vec b)\); отвечают: "При изменении направления вектор меняется на противоположный". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили правило не только при построении, но и при чтении готового чертежа. Именно такой переход от рисунка к векторной записи часто требуется в экзаменационных заданиях."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные действия, выявить затруднения и дать посильное разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте зелёным пункт, который вы выполняете самостоятельно, жёлтым — который получается с подсказкой, красным — который требует повторения. Допишите одним предложением ответ на вопрос: почему диагональ параллелограмма является суммой?" | Заполняют лист самооценки, формулируют ответ: "Диагональ задаёт общее перемещение от общего начала после двух перемещений". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; желающие добавляют повышенный или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: назовите три шага построения суммы по правилу параллелограмма." | Называют шаги: откладывают два вектора от общего начала, проводят параллельные прямые, проводят диагональ из общего начала; записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ сложения векторов через параллелограмм, вывели два закона и применили их к чертежу. Сохраните алгоритм: он понадобится при дальнейшем разложении векторов и решении задач на координаты."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно построен параллелограмм, верно выбрана диагональ суммы, записаны переместительный и, для повышенного варианта, сочетательный законы; чертёж аккуратен и содержит необходимые обозначения.
- «4» — построение и векторные равенства в целом верны, но допущена одна неточность в обозначении, направлении или оформлении, не повлиявшая на основную идею.
- «3» — построение выполнено частично: определены данные векторы и проведена хотя бы одна параллельная сторона, однако допущена ошибка в выборе диагонали или записи закона; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о построении суммы двух векторов? | Выявление осознания правила параллелограмма и его геометрического смысла. |
Какие три шага алгоритма вы можете выполнить самостоятельно? | Проверка сформированности последовательного способа действия. |
Почему \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)? | Проверка понимания переместительного закона, а не механического запоминания записи. |
Какая ошибка в чертеже может привести к неверному ответу? | Выявление типичных затруднений в выборе диагонали и построении параллельных сторон. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять два вектора одним результирующим вектором и увидели, что таким результатом является диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала. Мы вывели переместительный и сочетательный законы сложения и применили их к чертежу экзаменационного типа. Помните о типичной ошибке: нельзя выбирать любую диагональ — нужно начинать именно из общего начала двух слагаемых. На следующем уроке мы продолжим работать с векторами и рассмотрим их разложение и применение в более сложных геометрических задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания на построение суммы двух векторов по правилу параллелограмма: в каждом обозначить общее начало, провести параллельные стороны и выделить диагональ суммы; записать переместительный закон. | Закрепляет алгоритм построения; при проверке обратить внимание на направление диагонали и наличие всех обозначений. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на преобразование выражений с тремя векторами с использованием переместительного и сочетательного законов, а также решить 1 задачу на чтение суммы по готовому чертежу. | Закрепляет применение законов сложения и переход от геометрического рисунка к векторной записи; проверить обоснование каждого преобразования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный чертёж параллелограмма и записать не менее четырёх векторных равенств, выражающих диагонали и противоположно направленные стороны через два исходных вектора; кратко объяснить каждое равенство. | Развивает умение создавать математическую модель и аргументировать решение; при проверке оценить корректность направлений и полноту объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как построить сумму двух векторов с общим началом? Какая диагональ является суммой? Как записывается переместительный закон? В чём состоит сочетательный закон? Почему изменение направления вектора меняет знак перед ним?»
