Решение задач по теоремам синусов и косинусов
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять теорему синусов или теорему косинусов для решения не менее трёх геометрических задач, включая задачу в формате ОГЭ, и выполнять проверку полученного результата.
- Сформировать умение распознавать по условию задачи, какая теорема является наиболее удобной для применения.
- Закрепить алгоритмы нахождения стороны, угла и площади треугольника с использованием теорем синусов и косинусов.
- Развивать умение анализировать условие, строить математическую модель, аргументировать выбор способа решения и проверять ответ.
- Снизить тревожность перед экзаменационными заданиями через работу по понятному алгоритму и взаимопроверку в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую и экзаменационную значимость теорем синусов и косинусов.
- Проявляет ответственное отношение к точности вычислений и записи решения.
- Развивает уверенность в возможности самостоятельно решать задания повышенной сложности.
- Формирует готовность воспринимать ошибку как источник коррекции способа решения.
Метапредметные
- Умеет извлекать данные из условия, чертежа и математической записи.
- Планирует последовательность решения и выбирает рациональный способ действий.
- Сравнивает два способа решения и аргументирует выбор теоремы.
- Работает в паре, формулирует вопросы и осуществляет взаимопроверку по критериям.
- Использует самопроверку для обнаружения ошибок в вычислениях и логике решения.
Предметные
- Знать формулировки теорем синусов и косинусов и условия их применения.
- Уметь находить сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними с помощью теоремы косинусов.
- Уметь находить сторону или угол треугольника с помощью теоремы синусов.
- Уметь определять вид треугольника по знаку выражения, содержащего квадрат стороны.
- Уметь записывать решение задачи с обоснованием каждого шага и округлять ответ с необходимой точностью.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать личную ответственность за результат решения и качество оформления работы.
- Связывать освоение геометрических методов с успешной подготовкой к ОГЭ и дальнейшим обучением.
- Сохранять спокойствие при встрече с незнакомой формулировкой задачи.
- Оценивать собственную готовность применять теоремы в новой ситуации.
Регулятивные УУД
- Формулировать цель решения после анализа условия задачи.
- Составлять план: чертёж, выделение данных, выбор теоремы, вычисление, проверка.
- Контролировать соответствие записанного решения условию и чертежу.
- Находить и исправлять вычислительные и логические ошибки.
- Оценивать степень достижения цели по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделять известные и неизвестные элементы треугольника.
- Устанавливать связь между сторонами и противолежащими углами.
- Моделировать условие задачи с помощью чертежа и буквенных обозначений.
- Сравнивать область применения теорем синусов и косинусов.
- Преобразовывать формулы и выполнять вычисления с приближёнными значениями.
Коммуникативные УУД
- Обсуждать в паре выбор теоремы и объяснять его математическими аргументами.
- Задавать уточняющие вопросы к решению одноклассника.
- Представлять решение у доски, используя корректную геометрическую терминологию.
- Проводить взаимопроверку по заданным критериям.
- Корректно формулировать замечания и принимать рекомендации партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами теорем синусов и косинусов, схемами обозначения сторон и углов.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, всего 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы двух уровней сложности — по одному комплекту на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: «1. Чертёж; 2. Дано; 3. Найти; 4. Выбор теоремы; 5. Вычисление; 6. Проверка».
- Подготовить стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для сигнала понимания.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использование встроенного калькулятора для вычисления приближённых значений.
- Вывести на экран критерии взаимопроверки: правильный чертёж, обоснованный выбор теоремы, последовательные вычисления, ответ.
- Подготовить таймер на 3 минуты для работы в парах и на 7 минут для самостоятельного задания.
- Оставить на доске место для записи эталона решения и типичных ошибок.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с решением экзаменационных задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка, калькулятор или черновик. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а учиться быстро определять, какая из них действительно нужна в задаче. Это умение помогает не терять баллы на ОГЭ." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране треугольник с двумя известными сторонами и углом между ними и спрашивает: "Представьте, что такая схема встретилась в экзаменационной задаче. Можно ли решить её, применив только теорему Пифагора? Почему нет? Какие данные подсказывают нам другой путь?" | Рассматривают чертёж, формулируют предположение: "Угол не прямой, поэтому нужна теорема косинусов". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научимся видеть структуру задачи ещё до вычислений. Сначала вспомним необходимые формулы, затем сами выработаем алгоритм выбора теоремы и проверим его на заданиях экзаменационного типа."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и установить связь между сторонами и углами треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "На доске записаны три утверждения. Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если неверно. Первое: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без дополнительных условий. Второе: в теореме косинусов обязательно учитывается угол между двумя известными сторонами. Третье: в теореме синусов сторона относится к синусу противолежащего угла." | Отмечают сигналы: первое утверждение неверно, второе и третье верны; объясняют ответы. |
3 мин | Учитель просит восстановить формулы: "Запишите в черновике теорему косинусов для стороны $a$ и теорему синусов. Не спешите: проверьте, какой угол является противолежащим стороне $a$." Учитель фиксирует на доске: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ и $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. | Записывают формулы, проговаривают: "$A$ — угол напротив стороны $a$", проверяют соответствие букв на схеме. |
Запись в тетрадях
Теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Теорема синусов: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. Важно: угол в формуле косинусов заключён между известными сторонами; в формуле синусов сторона и угол должны быть противолежащими.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы восстановлены, но одной памяти недостаточно. Важно понять, какие данные в условии ведут нас к каждой теореме. Сейчас найдём этот признак самостоятельно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать критерии выбора теоремы и план решения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните две ситуации. В первой известны две стороны и угол между ними. Во второй известны сторона, противолежащий ей угол и ещё одна сторона или угол. За 30 секунд определите, какую теорему выберете, затем обсудите ответ с соседом." | Сначала индивидуально выбирают теорему, затем обсуждают в парах и формулируют: «две стороны и угол между ними — косинусы; сторона и противолежащий угол — синусы». |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какой план поможет не потерять баллы? Что нужно сделать до подстановки чисел?" На доске записывает предложения учеников и уточняет их формулировки. | Называют шаги: построить или рассмотреть чертёж, выписать данные, определить неизвестное, выбрать теорему, выполнить вычисления, проверить ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы сформулировали рабочий алгоритм. Теперь проверим его на задаче, где теорема косинусов открывается не как готовая подсказка, а как результат анализа данных."
Этап 4. Открытие нового знания и разбор образца (10 мин)
Цель этапа: применить алгоритм выбора теоремы и разобрать полное решение задачи с теоремой косинусов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует условие: "В треугольнике $ABC$ стороны $AB=6$ см и $AC=8$ см, угол $A$ равен $60^\circ$. Найдите сторону $BC$. Внимательно прочитайте условие и не подставляйте числа сразу. Какая сторона неизвестна? Какие две стороны образуют известный угол?" | Строят схематичный треугольник, обозначают $BC=x$, отвечают: «неизвестна сторона напротив угла $A$; угол $A$ заключён между сторонами $AB$ и $AC$». |
4 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Подходит ли здесь теорема синусов? Для неё нам нужна известная пара «сторона — противолежащий угол». Есть ли такая пара? А какие данные непосредственно совпадают с условием теоремы косинусов? Запишем: $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$. Теперь подставим значения и вычислим вместе." | Обосновывают выбор теоремы косинусов, записывают формулу и вычисления: $BC^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\cos60^\circ=36+64-96\cdot0,5=52$. Получают $BC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7,2$ см. |
4 мин | Учитель обращает внимание на проверку: "Сравните найденную сторону с двумя другими. Может ли она быть больше суммы 6 и 8? Меньше их разности? Проверьте. Теперь сформулируйте ответ полной фразой и назовите типичную ошибку." | Проверяют: $2<7,2<14$, делают вывод о допустимости результата, записывают ответ. Называют ошибку: «можно забыть квадрат у неизвестной стороны или неправильно определить угол». |
Эталон решения
Дано: $AB=6$ см, $AC=8$ см, $\angle A=60^\circ$. Найти $BC$. По условию известны две стороны и угол между ними, поэтому применяем теорему косинусов: $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$. Подставляем: $BC^2=36+64-96\cdot0,5=52$. Следовательно, $BC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7,2$ см. Ответ: $BC\approx7,2$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что выбор теоремы определяется не внешним видом задачи, а сочетанием данных. В следующем задании вы сами сравните два условия и объясните партнёру, почему одна теорема удобнее другой."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм выбора теоремы и применить теорему синусов и теорему косинусов в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «В треугольнике $ABC$ известно: $AB=10$ см, $\angle A=30^\circ$, $\angle B=45^\circ$. Найдите сторону $AC$». Инструкция: "Сначала подчеркните в условии известную пару «сторона — противолежащий угол», затем запишите название теоремы и только после этого начинайте вычисления." | Подчёркивают пару $AB$ и угол $C$? После анализа уточняют: стороне $AB$ противолежит угол $C$, который пока неизвестен; используют сумму углов и находят $C=105^\circ$. |
4 мин | Учитель наблюдает за парами и задаёт вопросы: "Какой угол противолежит стороне $AB$? Как найти третий угол? Какая пропорция связывает $AC$ и $AB$? Запишите решение так, чтобы партнёр мог проверить каждый переход." | В парах находят $\angle C=105^\circ$, применяют теорему синусов: $\frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{AB}{\sin105^\circ}$, получают $AC=\frac{10\sin45^\circ}{\sin105^\circ}\approx7,3$ см. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Поставьте две звезды за верный выбор теоремы и корректные вычисления, одно пожелание — за действие, которое нужно уточнить." | Проверяют решения по критериям, записывают партнёру две сильные стороны и одну рекомендацию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы применили теорему синусов и увидели, что иногда сначала нужно найти недостающий угол. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение выбирать теорему, выполнять вычисления и оформлять решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: «Задание 1. В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите третью сторону. Задание 2. В треугольнике $ABC$ $AB=8$ см, $\angle A=30^\circ$, $\angle C=45^\circ$. Найдите сторону $BC$. Для каждого задания обязательны чертёж, название теоремы и ответ с единицами измерения." | Индивидуально решают две задачи. В первой применяют теорему косинусов и получают $\sqrt{39}$ см. Во второй находят $\angle B=105^\circ$ и используют теорему синусов: $BC=\frac{8\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\approx4,1$ см. |
2 мин | Учитель выводит эталон: «Проверьте не только число, но и структуру решения: есть ли чертёж, указана ли причина выбора теоремы, записан ли ответ. Исправления выполняйте другим цветом». | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их. Показывают сигнал светофора: зелёный — всё понятно, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется помощь. |
Эталон решения
Задание 1: $x^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos60^\circ=25+49-35=39$, поэтому $x=\sqrt{39}\approx6,2$ см. Задание 2: $\angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$. По теореме синусов $\frac{BC}{\sin30^\circ}=\frac{AB}{\sin105^\circ}$, поэтому $BC=\frac{8\cdot0,5}{\sin105^\circ}\approx4,1$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает для разных исходных данных. Ошибки сейчас полезны: они показывают, какой шаг нужно укрепить. Завершим урок осмыслением результата и составим посильное домашнее задание."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (7 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы решения, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: "За одну минуту закончите три фразы: «Теорему косинусов выбираю, когда…»; «Теорему синусов выбираю, когда…»; «Перед вычислениями я обязательно…»." | Письменно завершают фразы: «две стороны и угол между ними», «есть пара сторона — противолежащий угол», «строю чертёж и выписываю данные». |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему в первой задаче мы не применяли теорему Пифагора? Как понять по условию, что нужна теорема косинусов?" | Формулируют ответ: «угол не прямой, известны две стороны и угол между ними; теорема косинусов обобщает теорему Пифагора». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать теорему; жёлтую — если выбор понятен, но вычисления требуют тренировки; красную — если нужна индивидуальная помощь. Запишите на полях один конкретный вопрос, который остался." | Показывают карточку, формулируют личное затруднение или отмечают отсутствие вопросов. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи самостоятельной работы, правильно выбраны теоремы, выполнены чертежи, приведено обоснование и записаны ответы с единицами измерения.
- «4» — решены обе задачи, но допущена одна несущественная ошибка в вычислениях или оформлении, исправленная при самопроверке.
- «3» — правильно решена одна задача либо в обеих задачах выбран верный способ, но допущены ошибки в вычислениях; ход решения в основном понятен.
- «2» — не определена применимая теорема, отсутствует последовательное решение или выполнены только отдельные вычислительные действия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о выборе между теоремой синусов и теоремой косинусов? | Выявление осознания ключевого предметного различия. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: чертёж, выбор теоремы, вычисления или проверка? | Выявление конкретной точки затруднения. |
Какую ошибку в решении подобных задач вы теперь сможете предотвратить? | Формирование навыка самоконтроля. |
Насколько уверенно вы справитесь с похожей задачей ОГЭ: от 1 до 5? | Получение субъективной оценки готовности и планирование поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились не угадывать формулу, а выбирать теорему по данным задачи. Помните: две стороны и угол между ними обычно ведут к теореме косинусов, а известная пара «сторона — противолежащий угол» — к теореме синусов. Типичная ошибка — перепутать угол между сторонами с углом, лежащим напротив стороны. На следующем уроке мы продолжим решать задачи смешанного типа и потренируемся распознавать способ решения в условиях, близких к формату ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение стороны по теореме косинусов и две на применение теоремы синусов. В каждой задаче выполнить чертёж, выписать данные, указать выбранную теорему и записать ответ. | Закрепить базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на соответствие угла и противолежащей стороны, а также на единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи смешанного типа: в первой найти неизвестную сторону, во второй — неизвестный угол, в третьей — определить площадь треугольника через две стороны и угол между ними. | Развить умение преобразовывать формулы и выбирать способ решения; проверить обоснование каждого преобразования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу практического содержания, в которой требуется применить одну из теорем, выполнить к ней чертёж и привести полное решение с округлением ответа. | Развить математическое моделирование и умение создавать задачу; оценить корректность исходных данных и реалистичность результата. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие данные подсказывают применение теоремы косинусов?», «Какая пара элементов нужна для применения теоремы синусов?», «Что необходимо проверить после получения числового ответа?»
