Формулы площади треугольника и параллелограмма
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся выведут и применят формулу площади треугольника S = ½ab sin α, где α — угол между сторонами a и b, а также соотнесут её с формулами площадей параллелограмма и треугольника; каждый решит не менее двух задач и проверит ответ по критериям.
- Образовательная задача: вспомнить формулы площадей параллелограмма и треугольника, вывести формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.
- Развивающая задача: научиться выбирать подходящую формулу по данным задачи, выполнять вычисления с табличными значениями синуса и оценивать разумность результата.
- Развивающая задача: развивать умение строить геометрическую модель, объяснять ход решения и находить ошибки в вычислениях.
- Воспитательная задача: формировать настойчивость и уверенность при решении геометрических задач, воспринимая задания экзаменационного формата как посильные при последовательной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают практическую ценность вычисления площадей и связь геометрии с проектированием, строительством и измерительными работами.
- Проявляют готовность пробовать разные способы решения и спокойно относиться к ошибке как к источнику информации.
- Соотносят освоенные приёмы решения с подготовкой к ОГЭ и понимают, что геометрические задачи решаются по понятному алгоритму.
- Проявляют ответственность за точность вычислений и корректность объяснения решения.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи данные о сторонах, угле и искомой величине, представляют их на чертеже.
- Сопоставляют формулы площадей треугольника и параллелограмма и устанавливают связь между ними.
- Планируют решение, последовательно подставляют величины в формулу и проверяют вычисления.
- Аргументируют выбор формулы и обсуждают решение с одноклассником, используя геометрические термины.
- Применяют математические знания в межпредметном контексте измерения площади участка или детали.
Предметные
- Знают формулы площади параллелограмма S = ah и S = ab sin α, а также формулу площади треугольника S = ½ah.
- Понимают, что в формуле S = ½ab sin α величины a и b — стороны треугольника, а α — угол между ними.
- Умеют вычислять площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними, используя значения sin 30°, sin 45°, sin 60° и sin 90°.
- Умеют выбирать подходящую формулу и оформлять решение задачи с чертежом, формулой, подстановкой и ответом.
- Проверяют, что найденная площадь положительна и не превосходит площади параллелограмма, образованного теми же сторонами и углом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат урока: какое затруднение в задачах на площадь теперь могут преодолеть.
- Соотносят изучение формулы с задачами ОГЭ и будущими практическими ситуациями измерения.
- Поддерживают учебную уверенность, разделяя сложную задачу на чертёж, выбор формулы и вычисления.
- Соблюдают доброжелательный тон при взаимопроверке и обсуждении ошибок.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока из проблемной ситуации с заданными сторонами и углом.
- Планируют последовательность решения: построить чертёж, определить угол между сторонами, выбрать формулу, подставить данные, вычислить.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и отмечают место возможной ошибки.
- Корректируют решение после самопроверки и оценивают степень освоения нового способа.
Познавательные УУД
- Актуализируют сведения о высоте, основании и площади треугольника и параллелограмма.
- Моделируют ситуацию с помощью чертежа и выражают высоту через сторону и синус угла.
- Выводят формулу, опираясь на связь площади треугольника с площадью параллелограмма.
- Анализируют условие задачи и различают угол между заданными сторонами и другие углы треугольника.
- Используют известные значения синуса для вычисления площади и оценивают результат.
Коммуникативные УУД
- Формулируют гипотезу о способе вычисления площади, когда высота прямо не задана.
- Слушают объяснение партнёра и задают уточняющие вопросы о выборе угла и формулы.
- Аргументируют вывод формулы с опорой на чертёж и свойства прямоугольного треугольника.
- Согласуют парное решение и дают однокласснику конкретную рекомендацию по улучшению записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: формулы S = ah и S = ½ah, чертёж параллелограмма с диагональю и чертёж треугольника с высотой.
- Распечатать карточки с одной задачей на вывод формулы и тремя задачами разного уровня — по одной на каждого ученика, ориентировочно 30 экземпляров.
- Подготовить карточки самопроверки с эталонными ответами для самостоятельной работы — по одной на ученика, выдавать после выполнения.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для быстрой самооценки — по одной карточке каждого цвета на ученика либо общий набор цветных меток.
- Вывести на экран таблицу значений sin 30°, sin 45°, sin 60° и sin 90°; предусмотреть запись тех же значений на доске.
- Подготовить к межпредметной задаче схему участка в форме треугольника со сторонами 8 м и 10 м и углом 30° между ними.
- Подготовить таймер для двух коротких парных заданий и физкультминутки; обеспечить видимость отсчёта для всего класса.
- Оборудование: доска и маркеры или мел, проектор и компьютер при наличии; геометрические инструменты учителя для демонстрации чертежа.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и обозначить практический и экзаменационный смысл нового способа вычисления площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и просит подготовить тетради и чертёжные принадлежности: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам понадобятся не только вычисления, но и точный чертёж. Начнём с вопроса, который встречается и в практических задачах, и в заданиях экзаменационного формата». | Готовят принадлежности, записывают дату; отвечают, что для геометрической задачи важны чертёж и аккуратные вычисления. |
3 мин | Учитель показывает схему треугольного участка с подписанными сторонами 8 м и 10 м и углом 30° между ними: «Представьте, что нужно оценить площадь треугольной клумбы, а измерить высоту неудобно. Стороны и угол между ними известны. Как мы раньше находили площадь треугольника? Можно ли сразу воспользоваться формулой через основание и высоту? Подумайте полминуты, затем обсудите с соседом минуту. Предположите, каких данных нам не хватает и что можно сделать». | Рассматривают схему, индивидуально обдумывают вопрос, затем обсуждают в паре. Ожидаемые ответы: «Нужна высота»; «можно попробовать выразить высоту через угол»; «нужна новая формула». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что стороны и угол известны, а высота не дана. Это не тупик: сегодня мы выведем способ, который позволит найти площадь без непосредственного измерения высоты. Сначала восстановим знания, на которые будем опираться».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулы площадей и связь высоты с углом в прямоугольном треугольнике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске вопросы: «Как найти площадь параллелограмма через основание и высоту? Как найти площадь треугольника через основание и высоту? Как в прямоугольном треугольнике определяется синус острого угла?» Учитель просит ответить по очереди и показать нужные отрезки на чертеже параллелограмма и треугольника. «Не торопитесь: сначала назовите формулу, затем поясните, что обозначают буквы». | Называют формулы S = ah и S = ½ah; поясняют, что a — основание, h — высота. Формулируют: «Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе». |
3 мин | Учитель рисует прямоугольный треугольник и выделяет угол α: «Если гипотенуза равна b, а катет напротив угла α — h, чему равно sin α? Как выразить h? Проверьте запись у соседа: важно не перепутать прилежащий и противолежащий катеты. Что в наших формулах площади пока остаётся неизвестным?» | Записывают sin α = h/b, откуда h = b sin α. В парах проверяют обозначения и отвечают: «Неизвестна высота, но её можно выразить через сторону и синус угла». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили формулы площадей и получили важную связь: высоту можно представить как произведение стороны на синус угла. Теперь выясним, как эта связь поможет решить исходную задачу».
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: зафиксировать, почему привычной формулы недостаточно без высоты, и сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание класса к схеме клумбы: «В условии есть две стороны и угол между ними, но высота не измерена. Попробуйте назвать точное затруднение: чего мы не можем подставить в привычную формулу? Какая часть условия может помочь найти эту величину? Запишите одним предложением, что пока не умеем делать». | Фиксируют затруднение: «Не умеем находить площадь по двум сторонам и углу между ними»; предлагают выразить высоту через синус угла. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: «Сначала каждый сформулирует цель сам. Затем сравните формулировки в парах и выберите точную. Наша цель должна описывать результат, который можно проверить в конце урока». Учитель записывает итоговую формулировку на доске и уточняет план действий. | Сначала формулируют цель индивидуально, затем в паре; предлагают: «Вывести формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними и научиться применять её». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы точно назвали затруднение и договорились о цели. План такой: изобразить высоту, выразить её через синус, подставить выражение в формулу площади и проверить вывод на задаче».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу площади треугольника S = ½ab sin α и связать её с формулой площади параллелограмма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель чертит треугольник ABC, обозначает AB = c, AC = b, угол A = α и опускает высоту CH к стороне AB: «Посмотрите на чертёж. Какую сторону удобно взять основанием? Какой отрезок является высотой? Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Как связаны CH, AC и sin A? Произнесите ответ, опираясь на определение синуса». Учитель направляет вывод: sin A = CH/AC. | Называют основание AB и высоту CH; отвечают: «sin A = CH/AC», затем выводят CH = AC sin A = b sin A. |
3 мин | Учитель записывает рядом формулу площади: «Площадь исходного треугольника равна половине произведения основания на высоту. Подставим вместо высоты найденное выражение. Что получится? Запишите переход в тетради и проверьте, что угол взят именно между сторонами AB и AC». | Записывают S = ½·AB·CH = ½·c·b sin A. Обобщают обозначения и получают S = ½ab sin α, где α — угол между сторонами a и b. |
2 мин | Учитель рисует параллелограмм со сторонами a и b и углом α: «Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту. Высота к стороне a равна b sin α. Значит, площадь параллелограмма равна ab sin α, а площадь треугольника с теми же сторонами и углом — половине этой площади. Сформулируйте связь своими словами». | Формулируют: «Площадь параллелограмма со сторонами a и b и углом α равна ab sin α; соответствующий треугольник занимает половину параллелограмма». |
Запись в тетрадях
- Sпараллелограмма = ab sin α, где α — угол между сторонами a и b.
- Sтреугольника = ½ab sin α, где α — угол между сторонами a и b.
- Алгоритм: определить две стороны и угол между ними; записать формулу; подставить данные; вычислить синус; проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели формулу не как отдельное правило для заучивания, а из известной формулы площади и определения синуса. Сейчас проверим её на коротких заданиях, проговаривая выбор угла и вычисления».
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение после работы у доски и восстановить внимание перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает короткую разминку у рабочих мест: «Отложите ручки и встаньте рядом со стулом, не перемещаясь по классу. На слове “сторона” мягко потянитесь руками вверх, на слове “высота” опустите руки и расправьте плечи, на слове “синус” сделайте спокойный вдох и выдох. Повторим последовательность два раза. Затем сядьте, приготовьте чертёжные принадлежности и вернитесь к работе». | Встают у своих мест, выполняют два цикла движений по командам учителя, садятся и готовят тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Размялись и возвращаем внимание к геометрии. Теперь применим формулу сначала вместе, а затем каждый проверит себя самостоятельно».
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметная задача (8 мин)
Цель этапа: закрепить применение формулы в вычислительной задаче и перенести способ в практический контекст измерения площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает условие: «В треугольнике две стороны равны 8 см и 10 см, угол между ними равен 30°. Найдите площадь треугольника». Учитель спрашивает: «Какие данные здесь существенны? Какое значение синуса используем? Запишите решение по алгоритму: формула, подстановка, вычисление, ответ. Почему нельзя подставлять вместо 30° угол, который не заключён между данными сторонами?» | Записывают условие и решение: S = ½·8·10·sin 30° = 40·½ = 20 см². Поясняют: «Используем именно угол между сторонами 8 см и 10 см». |
4 мин | Учитель показывает схему треугольного участка: «Для межпредметной задачи представим участок в форме треугольника. Две его стороны равны 8 м и 10 м, угол между ними — 30°. Найдите площадь участка. Какой единицей измерения должен быть ответ? Если заказчик округляет до целого квадратного метра, нужно ли округлять результат?» Учитель просит сначала решить в паре, затем одну пару представить ход решения. | В парах записывают S = ½·8·10·sin 30° = 20 м². Объясняют выбор квадратных метров; отмечают, что округление не меняет результат, поскольку он целый. Одна пара представляет решение, другая проверяет подстановку. |
Эталон решения
Для обеих задач: S = ½ab sin α; a = 8, b = 10, α = 30°. Так как sin 30° = ½, получаем S = ½·8·10·½ = 20. В задаче о фигурах ответ: 20 см²; в задаче об участке: 20 м². Единицы площади записываются в квадрате.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что формула работает и в геометрическом упражнении, и в прикладной ситуации. При переходе к самостоятельной работе обратите особое внимание на два типичных риска: выбрать не тот угол и забыть квадратные единицы».
Этап 7. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение выбирать формулу, вычислять площадь и обнаруживать типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточку и поясняет критерии: «Решите два задания самостоятельно. Первое: найдите площадь треугольника со сторонами 6 см и 10 см и углом 90° между ними. Второе: найдите площадь треугольника со сторонами 8 см и 12 см и углом 60° между ними. В каждом решении покажите формулу, подстановку и единицы. Если закончите раньше, проверьте, действительно ли указан угол между данными сторонами». | Индивидуально решают: для первого задания получают 30 см²; для второго используют sin 60° = √3/2 и получают 24√3 см². Отмечают формулу, подстановку и ответ с единицами. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку-эталон: «Сверьте не только ответы, но и ход решения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который хотите проверить ещё раз. Если нашли расхождение, подчеркните место ошибки и исправьте его. Поднимите цветную карточку: зелёную, если можете объяснить способ; жёлтую, если нужен ещё пример; красную, если требуется помощь». | Сверяют решения по эталону, исправляют ошибки и поднимают карточку самооценки. По запросу объясняют партнёру, на каком шаге ошиблись: в выборе угла, значении синуса, вычислении или единицах. |
Эталон решения
1) S = ½·6·10·sin 90° = 30 см². 2) S = ½·8·12·sin 60° = 48·√3/2 = 24√3 см². В обоих случаях берётся угол между указанными сторонами.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство вычислительных ошибок легко обнаружить, если сверять каждый шаг с формулой. Карточки помогли увидеть, кому уже комфортно применять способ, а кому полезно ещё раз разобрать выбор угла. В конце зафиксируем, что именно стало новым».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ, выявить оставшиеся затруднения и дать посильное разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: «За одну минуту письменно закончите две фразы: “Чтобы найти площадь треугольника по двум сторонам, нужно…” и “Сегодня мне ещё нужно потренировать…”. Затем устно ответьте: почему в формуле важно использовать угол именно между заданными сторонами? По вашим ответам я увижу, какой шаг стоит повторить». | Заполняют билет на выход. Ожидаемая формулировка: «Нужно умножить половину произведения двух сторон на синус угла между ними». Записывают личную точку затруднения. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и снижает тревожность перед экзаменационными задачами: «Выберите уровень по готовности, но обязательный базовый выполните все. Если в задании появится незнакомый чертёж, сначала отметьте две стороны и угол между ними. На следующем уроке разберём, как эта формула помогает решать более сложные задачи на площади». | Записывают выбранные задания, уточняют, что можно начать с базового уровня и перейти к повышенному; сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — обе задачи самостоятельной работы решены верно; правильно выбраны углы, записаны формулы и подстановки, указаны единицы площади; ученик может объяснить применение формулы.
- «4» — верно решена хотя бы одна задача, а во второй допущена одна вычислительная ошибка или неточность оформления; формула и выбор угла в основном верны.
- «3» — записана подходящая формула и верно определены данные хотя бы для одной задачи, но допущены ошибки в выборе синуса, вычислениях или оформлении ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу площади треугольника мы вывели и что означает каждый множитель? | Проверка осознания нового предметного знания и смысла обозначений. |
Почему в формуле используется именно угол между двумя известными сторонами? | Выявление понимания связи между чертежом, высотой и определением синуса. |
На каком шаге самостоятельной работы вы сомневались: выбор формулы, значение синуса или вычисление? | Диагностика конкретных точек затруднения для последующей коррекции. |
Насколько уверенно вы готовы решить похожую задачу экзаменационного формата по шкале от 1 до 5? Что поможет повысить уверенность на один балл? | Субъективная оценка освоения темы и выявление потребности в дополнительной тренировке. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы вывели формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = ½ab sin α, и связали её с площадью параллелограмма. Главное — не подставлять любой угол треугольника: нужен угол между теми сторонами, которые стоят в формуле. Если при самостоятельной работе возникла ошибка, это не повод тревожиться: проверьте чертёж, подстановку и значение синуса по очереди. На следующем уроке продолжим применять формулы площадей в задачах, в том числе похожих на задания ОГЭ».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение площади треугольника по двум сторонам и углу между ними; использовать углы 30°, 90° и один из углов 45° или 60°. В каждом решении записать формулу, подстановку и единицы. | Закрепить алгоритм применения формулы и табличные значения синуса; при проверке обратить внимание на то, что выбран именно угол между заданными сторонами. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых требуется сравнить площади параллелограмма и треугольника с одинаковыми сторонами и углом либо найти неизвестную сторону по известной площади, второй стороне и синусу угла. | Потренировать преобразование формулы и понимание связи площадей; проверить аккуратность алгебраических преобразований и корректность единиц. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу о треугольной детали, клумбе или участке, задав две стороны и угол между ними; представить чертёж, вычисления и краткое объяснение точности результата. | Перенести геометрический способ в жизненный контекст; оценить выбор данных, реалистичность ответа и ясность математического объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: как записывается формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними? Какое значение синуса соответствует углу 30°? Как проверить, что выбран нужный угол? Какая типичная ошибка может привести к неверному ответу?
