Векторы на плоскости: понятие, равенство и сложение
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут распознавать вектор, называть его модуль и направление, определять равные векторы и складывать два вектора по правилу треугольника и правилу параллелограмма; проверят умение на индивидуальной карточке с критерием не менее трёх верных действий из четырёх.
- Образовательная задача: сформировать представление о векторе как о направленном отрезке и различать его начало, конец, направление и модуль.
- Образовательная задача: научить строить сумму двух векторов по правилу треугольника и параллелограмма и объяснять, почему результат не зависит от выбора правила.
- Развивающая задача: развивать пространственное воображение, умение анализировать чертёж, выбирать способ построения и проверять его по определению.
- Воспитательная задача: поддерживать самостоятельность и уверенность при решении геометрических задач, формировать уважительное отношение к аргументам одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что векторная модель помогает описывать перемещение и направление движения в практических ситуациях.
- Проявляют готовность пробовать построение самостоятельно, не воспринимая ошибку как неудачу.
- Соотносят изучаемые способы рассуждения с подготовкой к заданиям ОГЭ по геометрии.
- Уважительно обсуждают разные построения и обосновывают собственную позицию.
- Оценивают личный прогресс и формулируют конкретный вопрос по теме, если затруднение осталось.
Метапредметные
- Извлекают из чертежа сведения о начале, конце, направлении и длине направленного отрезка.
- Сравнивают два способа построения суммы и формулируют общий вывод.
- Планируют построение по словесному алгоритму и сверяют результат с условием.
- Представляют геометрическое рассуждение с помощью чертежа, обозначений и устного объяснения.
- Используют критерии самопроверки и исправляют найденные ошибки.
Предметные
- Знают, что вектор — направленный отрезок, а его модуль равен длине соответствующего отрезка.
- Умеют обозначать вектор двумя буквами со стрелкой, указывая сначала начало, затем конец.
- Умеют распознавать равные векторы по одинаковому направлению и равным модулям.
- Строят сумму векторов по правилу треугольника и правилу параллелограмма.
- Поясняют на чертеже, что сумма двух векторов соответствует перемещению сначала по одному, затем по другому вектору.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться читать и строить векторные чертежи.
- Связывают геометрическое понятие вектора с моделированием перемещения.
- Поддерживают рабочий настрой при переходе от наглядного примера к условным обозначениям.
- Осознают значимость аккуратного чертежа для решения экзаменационных задач.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки построения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации с перемещением.
- Составляют план построения суммы двух векторов и соблюдают последовательность шагов.
- Сверяют построенный вектор с условием по направлению и модулю.
- Находят и исправляют ошибку в положении начала или конца вектора.
- Оценивают результат самостоятельной работы по предложенному ключу.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки вектора и отличают его от обычного отрезка.
- Сравнивают векторы по модулю и направлению.
- Моделируют последовательное перемещение с помощью направленных отрезков.
- Анализируют два построения суммы и устанавливают их геометрическую связь.
- Используют обозначения и чертёж для фиксации решения.
Коммуникативные УУД
- В паре формулируют определение равных векторов, опираясь на чертёж.
- Задают уточняющие вопросы о направлении и длине направленных отрезков.
- Аргументируют выбор правила построения суммы.
- Слушают объяснение партнёра и корректно указывают на неточность в построении.
- Представляют классу общий вывод, используя математические обозначения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с векторной сеткой, чертежом параллелограмма ABCD и незавершённым построением суммы двух векторов.
- Распечатать индивидуальные карточки с четырьмя заданиями на чтение обозначений, равенство векторов и построение суммы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточку-памятку с критериями равенства векторов: равные модули и одинаковое направление.
- Подготовить по одному листу в клетку и линейке на каждого ученика; циркуль использовать по необходимости для переноса длины.
- Подготовить цветные маркеры или мел двух цветов для обозначения исходных векторов и их суммы.
- На доске заранее оставить место для записи темы, определений и двух алгоритмов сложения.
- Для мотивационного примера подготовить схему перемещения: 3 клетки вправо и 2 клетки вверх, затем 2 клетки вправо и 1 клетка вниз.
- Подготовить ключ для самопроверки карточки и шкалу оценивания, которую ученики увидят до начала самостоятельной работы.
- Обеспечить наличие проектора или интерактивной доски; при их отсутствии использовать крупный чертёж на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников ситуацией, в которой важно учитывать и величину, и направление перемещения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске схему маршрута по клеткам: сначала 3 клетки вправо и 2 вверх, затем 2 клетки вправо и 1 вниз. «Здравствуйте, ребята. Проверьте, что у вас есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня будем работать с чертежами и короткими заданиями в формате, полезном для подготовки к ОГЭ. Посмотрите на схему: здесь важны не только расстояния, но и то, куда направлено движение». | Готовят принадлежности, рассматривают схему и отмечают, что перемещения заданы длиной и направлением. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос и предоставляет 30 секунд на индивидуальное обдумывание, затем минуту на обсуждение в паре. «Если два участника начинают из одной точки и проходят одинаковое расстояние, обязательно ли они окажутся в одном месте? Почему? Подумайте сначала самостоятельно, затем обсудите с соседом. После обсуждения выслушаем две версии и проверим, каким математическим объектом удобно описать такое перемещение». | Сначала обдумывают вопрос, затем обсуждают в паре и высказывают варианты: «Нет, если они движутся в разные стороны»; «Нужно знать и длину, и направление». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили, что одного расстояния недостаточно: важно ещё и направление. Давайте вспомним, чем направленный отрезок отличается от обычного отрезка, и подготовим основу для нового понятия».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания об отрезке, длине и параллельности, необходимые для введения понятия вектора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель изображает отрезки AB и CD одинаковой длины, а также лучи с разными направлениями. «Рассмотрите чертёж. Что мы можем сказать о длине AB и CD? Как измеряем длину отрезка? Если отрезки равны по длине, означает ли это, что они направлены одинаково? Вспомните, что показывает стрелка на луче». | Отвечают: «Отрезки равны по длине»; «Длину измеряем линейкой»; «Одинаковая длина не означает одинаковое направление»; указывают, что стрелка задаёт направление. |
3 мин | Учитель раздаёт парам небольшую карточку с двумя рисунками направленных отрезков: в первом они одинаково направлены и равны по длине, во втором длины равны, но направления противоположны. «Приём “Подумай — обсуди в паре”: 30 секунд каждый отмечает, какие пары можно считать одинаковыми по заданным признакам, одну минуту обсуждаете решение, затем пара формулирует правило. Не ограничивайтесь ответом “похожи”: назовите признаки, по которым сравниваете». | Отмечают признаки на карточке, обсуждают и формулируют: «Нужно сравнить длину и направление»; объясняют, почему одного равенства длин недостаточно. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили длину отрезка и смысл направления. Пока у нас есть наблюдения, но нет общего определения; сейчас сформулируем понятие, которое объединит эти признаки».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: подвести учеников к формулировке цели урока и необходимости нового способа описания перемещения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на сетке две траектории: первая — на 3 клетки вправо, вторая — на 3 клетки влево. «Представьте, что длина пути в обоих случаях равна трём клеткам. Можно ли записать эти перемещения одним и тем же знаком? Что потеряется, если мы укажем только число 3? Как обозначить одновременно величину и направление?» | Сравнивают траектории и отвечают: «Нет, движения противоположны»; «Если оставить только число, направление потеряется». |
3 мин | Учитель записывает на доске слова «длина», «направление», «перемещение» и организует короткий «Снежный ком»: сначала каждый предлагает формулировку, затем пара выбирает точную, после чего две пары сообщают классу итог. «Какое понятие могло бы объединить длину и направление? Что нам нужно научиться делать с такими объектами? Сформулируйте цель так, чтобы в конце урока её можно было проверить». | Предлагают формулировки, затем согласуют цель: «Научиться распознавать и обозначать векторы, определять равные векторы и строить сумму двух векторов». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель сформулирована: разобраться, как задаётся вектор и как складываются два перемещения. Теперь проверим ваши предположения на чертеже и выведем определения».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятия вектора, его модуля и равных векторов, а также вывести два правила построения суммы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель рисует направленный отрезок AB и записывает обозначение $\overrightarrow{AB}$. «Направленный отрезок называется вектором. Точка A — начало, точка B — конец; порядок букв менять нельзя, потому что $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ имеют противоположные направления. Длина направленного отрезка называется модулем вектора и обозначается $|\overrightarrow{AB}|$. Как бы вы описали вектор, если бы объясняли его человеку, который не видит чертёж?» | Записывают элементы обозначения, отвечают: «Вектор задаётся началом, концом, направлением и длиной»; называют модуль изображённого вектора. |
3 мин | Учитель показывает два направленных отрезка на разных местах чертежа: одинаковой длины и направления. «Сравните эти векторы. Обязательно ли равные векторы должны иметь общее начало? Какие два признака должны совпасть? Запишите вывод: векторы равны, если их модули равны и направления одинаковы. Если один признак не выполнен, равенство не устанавливается». | Сравнивают векторы и формулируют: «Общее начало не требуется»; «Нужны равные модули и одинаковое направление». Записывают критерий равенства. |
3 мин | Учитель строит два перемещения: $\overrightarrow{AB}$, затем от точки B — вектор, равный $\overrightarrow{CD}$. «Для последовательного перемещения перенесите начало второго вектора в конец первого, сохранив его длину и направление. Вектор из начала первого в конец перенесённого второго и есть сумма. Это правило треугольника. Какой отрезок обозначает результат на нашем чертеже?» | Следят за переносом второго вектора, называют результат $\overrightarrow{AC}$ и проговаривают последовательность: «Начало второго вектора помещаем в конец первого». |
3 мин | Учитель изображает два вектора с общим началом и достраивает параллелограмм. «Те же два вектора можно сложить иначе: строим на них параллелограмм, а его диагональ из общего начала задаёт сумму. Сравните диагональ с результатом по правилу треугольника. Почему ответы совпадают? Какой способ удобнее, если начала векторов уже совпадают?» | Сравнивают диагональ с вектором, построенным по правилу треугольника; отвечают: «Это один и тот же результирующий вектор»; указывают, что правило параллелограмма удобно при общем начале. |
Запись в тетрадях
- Вектор — направленный отрезок; его модуль равен длине этого отрезка.
- Равные векторы имеют равные модули и одинаковое направление.
- Правило треугольника: начало второго вектора помещают в конец первого; сумма соединяет начало первого с концом второго.
- Правило параллелограмма: при общем начале слагаемых диагональ параллелограмма из общего начала задаёт сумму.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть определения и два способа сложения. Давайте применим их к одной задаче и проверим, что построение действительно описывает последовательное перемещение».
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: закрепить чтение векторных обозначений и применение двух правил сложения на конкретном чертеже.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт условие полностью: «На клетчатой плоскости турист прошёл из точки A 3 клетки вправо и 2 клетки вверх, затем 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Постройте оба вектора перемещения и вектор общего перемещения. Каковы его горизонтальная и вертикальная составляющие?» Учитель показывает на доске сетку и просит сначала назвать план решения. | Записывают условие в сокращённом виде, формулируют план: построить два вектора последовательно, соединить начало пути с конечной точкой. |
4 мин | Учитель просит одного ученика построить сумму по правилу треугольника, а другого — показать тот же результат на параллелограмме для перенесённых к общему началу векторов. «Сравните чертежи. Не считайте клетки только по горизонтали: проверьте, куда направлена каждая составляющая. Сколько клеток турист переместился вправо? Сколько — вверх после учёта движения вниз?» | Строят оба вектора, получают общее перемещение на 5 клеток вправо и 1 клетку вверх; проговаривают, что 2 клетки вверх и 1 вниз дают итоговое смещение на 1 клетку вверх. |
2 мин | Учитель показывает на доске карточку с ошибочным построением, где второй вектор развёрнут в противоположную сторону. «Найдите ошибку и назовите признак, который нарушен. Как исправить чертёж, не меняя модуль второго вектора?» | Указывают: «Изменено направление второго вектора»; исправляют его переносом параллельно самому себе, сохраняя направление и длину. |
Эталон решения
Первое перемещение задаётся вектором на 3 клетки вправо и 2 вверх. Второе — на 2 клетки вправо и 1 вниз. По правилу треугольника начало второго вектора помещается в конец первого. По горизонтали получаем $3+2=5$ клеток вправо; по вертикали $2-1=1$ клетку вверх. Итоговый вектор направлен вправо и вверх, его концы отличаются на 5 клеток по горизонтали и 1 клетку по вертикали.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы построили результирующее перемещение и обнаружили типичную ошибку — разворот переносимого вектора. Теперь каждый проверит, насколько самостоятельно может читать обозначения и строить сумму».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения вектора, равенства векторов и построения суммы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и показывает критерии оценивания до начала работы. «На карточке четыре задания: назовите начало и конец вектора, определите модуль по длине на сетке, выберите равные векторы по рисунку и постройте сумму двух векторов. Работайте самостоятельно, подпишите построение и отметьте правило, которым воспользовались. За каждое верно выполненное задание начисляется один балл». | Получают карточки, читают критерии, подписывают лист и готовят линейку. |
5 мин | Учитель запускает видимый таймер на пять минут и наблюдает за работой, не подсказывая решение. «Если затрудняетесь, начните с отметки начала и конца каждого вектора. При построении суммы проверьте, сохранили ли вы направление второго вектора. После завершения оставьте чертёж аккуратным: по нему должно быть понятно, как вы рассуждали». | Индивидуально выполняют четыре задания: читают обозначение, определяют модуль, отмечают пару равных векторов и строят сумму. |
2 мин | Учитель выводит ключевые ответы на доску, просит проверить работу другим цветом и провести самооценку. «Не стирайте первоначальный ответ: отметьте исправление и выясните, на каком шаге возникло расхождение. Поднимите зелёную карточку, если уверены в алгоритме, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если требуется разобрать построение вместе». | Сверяют четыре ответа с ключом, исправляют ошибки другим цветом и показывают карточку самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, какие действия уже получаются уверенно. Осталось связать правило сложения с другими действиями над векторами и обозначить, что будет изучаться дальше».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить ключевые выводы, обозначить место урока в теме и получить обратную связь о степени понимания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к схеме туристического маршрута. «Какой объект помог нам описать каждый участок пути? Какие признаки нужно сохранить при переносе вектора? Назовите два способа найти сумму и объясните, когда удобно использовать каждый. Сегодня мы изучили основу темы; вычитание, умножение вектора на число, коллинеарность, разложение и скалярное произведение требуют отдельных уроков, потому что для них нужны новые определения и тренировочные задачи». | Отвечают: «Вектор»; «Нужно сохранить длину и направление»; «Правило треугольника удобно для последовательных перемещений, правило параллелограмма — когда начала векторов общие». |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход» и собирает ответы у двери. «За минуту допишите две фразы: “Равные векторы — это…” и “Чтобы построить сумму по правилу треугольника, нужно…”. Внизу укажите один вопрос, который у вас остался. Это поможет мне понять, с чего начать следующий урок». | Письменно завершают две фразы и, если необходимо, записывают оставшийся вопрос; сдают билет учителю. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре задания карточки; обозначения читаются правильно, равенство обосновано через модуль и направление, сумма построена без изменения направления слагаемых.
- «4» — верно выполнены три задания из четырёх; допущена одна ошибка в определении модуля, распознавании равных векторов или аккуратности построения, но общий способ сложения выбран правильно.
- «3» — верно выполнены два задания из четырёх; ученик различает начало и конец вектора и с опорой на памятку может выполнить простое построение суммы.
- При формативной обратной связи учитель дополнительно отмечает не только число верных ответов, но и соблюдение алгоритма, сохранение направления и качество самопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие два признака необходимо проверить, чтобы признать векторы равными? | Проверить понимание определения равных векторов. |
Что нужно сохранить, когда переносишь вектор на чертеже? | Выявить понимание роли направления и модуля при переносе. |
Какое правило сложения оказалось понятнее: треугольника или параллелограмма? Почему? | Оценить осознанность выбора способа построения. |
Какое действие вы пока не готовы выполнить без памятки? | Определить индивидуальные затруднения для планирования следующего урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что вектор описывает не только длину, но и направление перемещения. Вы научились сравнивать векторы и находить их сумму двумя геометрическими способами. Чаще всего ошибка возникает, когда при переносе второго вектора меняют его направление или переставляют начало и конец. Если это произошло, вернитесь к чертежу и проверьте каждый шаг по определению. На следующем уроке мы разберём вычитание векторов и умножение вектора на число, а затем будем применять новые действия в задачах, связанных с подготовкой к ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 коротких задания: указать начало и конец вектора, определить модуль по клетчатому чертежу, найти пару равных векторов, построить сумму двух векторов по правилу треугольника. | Закрепляет определения и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на порядок букв и сохранение направления. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на построение суммы: одну по правилу треугольника и две по правилу параллелограмма, в том числе с векторами разной длины; к каждому чертежу добавить краткое объяснение. | Развивает выбор способа построения и умение обосновывать результат; проверить, что сумма начинается в общей точке и направлена по диагонали. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о последовательном перемещении по клетчатой карте, задать два вектора и изобразить их сумму двумя способами; приложить решение и проверку направления и длины по чертежу. | Развивает моделирование и создание математической задачи; оценить корректность условия, сопоставимость двух построений и ясность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: что называется вектором; чем его модуль отличается от направления; при каких условиях векторы равны; как построить сумму по правилу треугольника; в какой ситуации удобнее правило параллелограмма?
