Тригонометрические функции острого угла: синус, косинус и тангенс
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут объяснить определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника и применить их для записи отношений сторон и решения не менее двух типовых задач формата ОГЭ.
- Образовательная задача: установить связь между сторонами прямоугольного треугольника и значениями синуса, косинуса и тангенса его острого угла.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выбирать нужное тригонометрическое отношение и проверять ответ по условию задачи.
- Развивающая задача: формировать навыки самоконтроля и аргументированного объяснения решения при работе в паре и индивидуально.
- Воспитательная задача: поддерживать уверенность учащихся при решении задач экзаменационного формата, показывая, что сложная задача может быть сведена к понятному алгоритму.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют готовность разбираться в новой математической записи и задавать вопросы, если термин или шаг решения непонятен.
- Учащиеся воспринимают задачу формата ОГЭ как последовательность доступных действий, а не как повод для тревоги.
- Учащиеся оценивают собственный прогресс по конкретным умениям: определить стороны относительно угла и выбрать нужное отношение.
- Учащиеся проявляют ответственность за точность чертежа, вычислений и взаимной проверки.
Метапредметные
- Учащиеся извлекают из условия и чертежа информацию о прямом угле, заданном остром угле и известных сторонах.
- Учащиеся сравнивают отношения сторон подобных прямоугольных треугольников и формулируют вывод о зависимости отношения от угла.
- Учащиеся планируют решение по алгоритму, фиксируют затруднение и сверяют результат с эталоном.
- Учащиеся аргументируют выбор синуса, косинуса или тангенса, используя математические термины.
Предметные
- Учащиеся знают определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
- Учащиеся умеют различать гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты относительно выбранного острого угла.
- Учащиеся записывают отношения $\sin A=\frac{a}{c}$, $\cos A=\frac{b}{c}$ и $\tg A=\frac{a}{b}$, если $a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий катет, $c$ — гипотенуза.
- Учащиеся применяют определение для составления равенства по чертежу и нахождения неизвестной стороны в простых задачах.
- Учащиеся проверяют, соответствует ли выбранное отношение названным сторонам и данному углу.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Учащиеся соотносят освоение тригонометрических отношений с дальнейшим изучением геометрии и подготовкой к ОГЭ.
- Учащиеся формируют внутреннюю позицию обучающегося, принимая цель урока и оценивая собственный вклад в её достижение.
- Учащиеся проявляют настойчивость при выявлении и исправлении ошибки в обозначении сторон.
- Учащиеся осознают ценность точного математического языка для объяснения способа решения.
Регулятивные УУД
- Учащиеся вместе с учителем формулируют цель урока и намечают порядок действий для её достижения.
- Учащиеся планируют решение: отмечают угол, определяют относительно него стороны и выбирают отношение.
- Учащиеся сверяют самостоятельную работу с эталоном и отмечают конкретный шаг, который нужно исправить.
- Учащиеся оценивают результат по критериям правильности определения сторон, записи отношения и вычисления.
Познавательные УУД
- Учащиеся сравнивают отношения соответствующих сторон в подобных прямоугольных треугольниках.
- Учащиеся выделяют существенные признаки синуса, косинуса и тангенса и связывают их с конкретными сторонами.
- Учащиеся моделируют условие задачи с помощью чертежа и математической записи.
- Учащиеся используют определения и свойства прямоугольного треугольника для объяснения решения.
Коммуникативные УУД
- Учащиеся слушают объяснение партнёра и уточняют, относительно какого угла названы катеты.
- Учащиеся аргументируют выбор тригонометрического отношения полным предложением.
- Учащиеся согласуют общий ответ при парной работе и корректно указывают на обнаруженную ошибку.
- Учащиеся задают вопросы по ходу вывода определения и представляют классу итог пары.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом, но разными размерами; заранее указать длины соответствующих сторон.
- Распечатать карточки с тремя короткими заданиями на определение сторон относительно заданного угла — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальную карточку самостоятельной работы с тремя заданиями: определить отношение, выбрать формулу, решить задачу по чертежу, — по одной на каждого ученика.
- Подготовить отдельный лист или слайд с эталоном самостоятельной работы, закрытый до момента самопроверки.
- Вывести на доску шпаргалку-напоминание: гипотенуза лежит напротив прямого угла; противолежащий и прилежащий катеты определяются относительно выбранного острого угла.
- Подготовить маркеры или цветные мелки: гипотенузу отмечать одним цветом, противолежащий катет — вторым, прилежащий катет — третьим.
- Подготовить таймер для парного обсуждения и самостоятельной работы, а также три карточки-сигнала: зелёную, жёлтую и красную.
- Проверить готовность доски или проектора; на экране разместить проблемный вопрос и чертёж треугольника для итогового применения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к поиску способа находить отношения сторон по величине острого угла.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, линейка и ручка. Сегодня мы будем не заучивать три неизвестных слова, а сами выясним, какую информацию об отношениях сторон сообщает угол. Эта идея встречается в геометрических задачах и помогает спокойно разбирать задания экзаменационного формата. Если в каком-то месте будет трудно, мы остановимся и восстановим ход рассуждений вместе." | Готовят тетрадь и линейку, записывают дату; настраиваются на работу и отвечают: "Готовы". |
2 мин | Учитель показывает два прямоугольных треугольника разных размеров с отмеченным одинаковым острым углом: "Посмотрите на экран. Треугольники не одинаковы по размеру, но один острый угол у них равен. Как вы думаете, могут ли отношения соответствующих сторон оказаться одинаковыми? Почему это было бы полезно при измерении высоты или расстояния, которое нельзя измерить напрямую? Пока не ищем готовое правило: сначала сформулируйте предположение." | Рассматривают чертёж, 30 секунд обдумывают ответ и предполагают: "Возможно, отношения одинаковы, потому что треугольники подобны"; приводят пример измерения высоты здания или дерева. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что размер треугольника может меняться, а угол оставаться тем же. Теперь проверим, какие знания о прямоугольном треугольнике помогут нам исследовать это предположение."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия прямоугольного треугольника и подобных треугольников и обнаружить, что отношения сторон пока не имеют специальных названий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на чертёж прямоугольного треугольника ABC: угол C прямой, угол A отмечен. Покажите, какая сторона является гипотенузой. Теперь назовите катет, лежащий напротив угла A, и катет, прилежащий к углу A. Что изменится, если вместо угла A мы будем рассматривать угол B? Учитель выделяет стороны разными цветами и просит объяснить, почему слово «прилежащий» зависит от выбранного угла." | Указывают на доске стороны; отвечают: "Гипотенуза AB лежит напротив прямого угла C; против угла A лежит BC, а прилежащий катет — AC". Для угла B называют AC противолежащим, а BC прилежащим. |
3 мин | "Сравните теперь два треугольника на экране. Они прямоугольные, и отмеченные острые углы равны. Какие фигуры связывает равенство двух углов? Верно, они подобны. Вспомните, что происходит с отношениями соответствующих сторон подобных треугольников. Запишите на полях черновую формулировку. А теперь ответьте: умеем ли мы назвать каждое из этих отношений одним коротким математическим термином?" | Обсуждают ответ с соседом 1 минуту, формулируют: "Соответствующие стороны пропорциональны, отношения не меняются". Фиксируют затруднение: "Отношения видим, но специальных названий и правила выбора пока не знаем". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что равному острому углу соответствует одно и то же отношение соответствующих сторон. Но пока не договорились, как эти отношения называются и как не перепутать их в задаче. Сформулируем цель нашего исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель урока и последовательность действий для открытия новых понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "На экране вопрос: «Как по острому углу прямоугольного треугольника описать отношения его сторон и выбрать нужное отношение в задаче?» Подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите в паре. Что нужно определить прежде, чем записывать формулу? Какие стороны могут участвовать в отношении?" Учитель принимает версии и фиксирует на доске слова «угол», «гипотенуза», «катеты», «отношение». | Сначала думают самостоятельно, затем обсуждают в паре; предлагают: "Нужно выбрать угол", "Надо понять, какая сторона лежит напротив угла", "Нужно сравнить катет с гипотенузой или катеты между собой". |
2 мин | "Составим план открытия. Сначала ещё раз точно обозначим стороны относительно угла. Затем свяжем три отношения сторон с названиями синус, косинус и тангенс. После этого проверим определения на чертеже и попробуем решить задачу. Какой результат покажет, что цель достигнута?" Учитель записывает формулировку цели учащихся и критерий успеха. | Формулируют цель: "Научиться определять синус, косинус и тангенс острого угла и применять их в задаче". Называют критерий: "Сможем правильно записать отношение и объяснить выбор сторон". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План у нас есть: обозначить стороны, открыть три отношения и применить их. Начнём с исследовательского чертежа и выясним, какие отношения сохраняются при изменении размера треугольника."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: через сравнение подобных прямоугольных треугольников сформировать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Рассмотрите на экране два прямоугольных треугольника с одинаковым углом A. В первом длины противолежащего катета и гипотенузы равны 3 и 5, во втором — 6 и 10. Вычислите в паре отношение противолежащего катета к гипотенузе в каждом случае. Совпали ли результаты? Почему это не случайность? Вспомните подобие этих треугольников." | Вычисляют: $\frac{3}{5}$ и $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Объясняют: "Треугольники подобны, поэтому соответствующие стороны пропорциональны". |
4 мин | "Теперь рассмотрим три отношения для одного острого угла A. Первое — противолежащий катет к гипотенузе; второе — прилежащий катет к гипотенузе; третье — противолежащий катет к прилежащему. Эти отношения зависят от угла, а не от размера выбранного прямоугольного треугольника. Первое отношение называют синусом угла, второе — косинусом, третье — тангенсом. Посмотрите на цветные стороны и вместе со мной прочитайте каждое определение." Учитель последовательно записывает определения и подчёркивает, что катеты определяются относительно выбранного острого угла. | Читают определения с доски, соотносят каждый термин с выделенными сторонами; проговаривают: "Синус — противолежащий катет, делённый на гипотенузу; косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу; тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий". |
3 мин | "Проверим смысл определений на треугольнике ABC: прямой угол C, угол A острый, BC=3, AC=4, AB=5. Не вычисляйте ничего лишнего. Сначала назовите относительно угла A противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу. Затем составьте три отношения. Почему для синуса и косинуса в знаменателе одна и та же сторона, а для тангенса — другой катет?" | Обозначают: BC — противолежащий катет, AC — прилежащий катет, AB — гипотенуза. Записывают: $\sin A=\frac{3}{5}$, $\cos A=\frac{4}{5}$, $\tg A=\frac{3}{4}$. Объясняют выбор знаменателей через определения. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают тему и определения: $\sin A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos A=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\tg A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$. Под формулами записывают напоминание: «Сначала выбрать угол, затем назвать стороны относительно него».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три отношения и связали каждое с определённой парой сторон. Особенно важно не называть катет просто противолежащим без указания угла. Теперь закрепим определения на коротких заданиях и проверим, насколько уверенно вы ориентируетесь в чертеже."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание сторон и запись нужного тригонометрического отношения с проговариванием способа выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Сейчас работает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Я раздаю каждой паре карточку с тремя прямоугольными треугольниками и разными отмеченными углами. В каждом случае нужно определить гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты, а затем записать указанное отношение. Сначала каждый выполняет одну схему самостоятельно, потом сравниваете ответы. Важно не угадывать формулу, а объяснять, относительно какого угла вы называете катет." | Получают карточку; самостоятельно выбирают один чертёж и отмечают стороны цветными обозначениями. |
3 мин | "Обсудите ответы в паре. На первом чертеже запишите синус отмеченного угла, на втором — косинус, на третьем — тангенс. Если ответы различаются, не стирайте сразу: покажите пальцем на чертеже, какая именно сторона вызывает спор. Я обхожу пары и задаю уточняющий вопрос: «Какой угол выбран и какая сторона лежит напротив него?»" | Сверяют разметку и записи, объясняют партнёру каждое отношение; исправляют ошибки другим цветом и формулируют вопрос, если не согласны. |
2 мин | "Поделитесь одним решением с классом. Назовите сначала выбранный угол, потом стороны в числителе и знаменателе. Класс проверяет ответ по определениям на доске. Если формула записана верно, покажите зелёную карточку; если сомневаетесь в обозначении сторон — жёлтую; если нужна помощь — красную." | Две пары представляют решения; остальные сверяют записи и поднимают карточки-сигналы. Пример ответа: "Для угла A синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы потренировались не просто подставлять стороны в формулу, а сначала ориентироваться по выбранному углу. Теперь каждый выполнит короткую работу самостоятельно, чтобы увидеть, какой шаг уже получается без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определений и умение применить их в задаче, предоставив возможность самостоятельно обнаружить и исправить ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Возьмите индивидуальную карточку. На ней три задания: определить стороны относительно указанного угла; записать синус, косинус и тангенс по данному чертежу; решить задачу: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 6 см, а гипотенуза равна 10 см. Запишите синус угла A. Работайте самостоятельно; сначала подпишите стороны, затем выбирайте отношение. На выполнение отводится пять минут." | Получают карточки, читают условия и самостоятельно приступают к заданиям. |
5 мин | "Работайте в тишине и записывайте ход рассуждения, а не только ответ. Если заметили, что не можете выбрать формулу, вернитесь к напоминанию: относительно какого угла определяется противолежащий катет? Я не называю формулу вместо вас, но могу уточнить: какая сторона лежит напротив прямого угла?" | Решают задания индивидуально, отмечают стороны на чертеже; в задаче записывают $\sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. |
2 мин | "Откройте эталон на экране и проверьте каждый пункт. Поставьте рядом с верным ответом плюс, а ошибку исправьте другим цветом. Не оцениваем себя по принципу «получилось или не получилось» — отмечаем конкретный шаг: обозначение сторон, выбор отношения или сокращение дроби. Поднимите сигнал: зелёный — могу объяснить все шаги, жёлтый — остался вопрос, красный — нужна помощь с выбором сторон." | Сверяют карточки, исправляют ошибки и отмечают затруднившийся шаг; поднимают карточку соответствующего цвета. |
Эталон решения
В задаче дан острый угол A, противолежащий ему катет равен 6 см, гипотенуза равна 10 см. По определению синуса $\sin A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Подставляем данные: $\sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Ответ: $\sin A=\frac{3}{5}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулы становятся понятными, когда стороны сначала названы относительно угла. Ошибки в такой задаче обычно возникают не из-за сложных вычислений, а из-за невнимательного чтения чертежа. Проверим теперь, как этот алгоритм работает в жизненной и экзаменационной ситуации."
Этап 7. Применение и обобщение (5 мин)
Цель этапа: применить новые определения в задаче с практическим контекстом и обобщить алгоритм выбора тригонометрического отношения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Представьте, что нужно оценить высоту фонарного столба. Наблюдатель стоит на расстоянии 12 м от основания, а луч зрения к верхушке образует с землёй угол A. Угол прямой между землёй и столбом. Не вычисляя неизвестное значение угла, ответьте: какое отношение связывает высоту столба с расстоянием 12 м? Сначала нарисуйте прямоугольный треугольник и отметьте угол у наблюдателя. Затем назовите стороны относительно этого угла. Какую функцию выберете?" | Строят схему: горизонтальное расстояние — прилежащий катет, высота — противолежащий катет; отвечают: "Нужно отношение высоты к расстоянию, значит, тангенс угла A" и записывают $\tg A=\frac{h}{12}$. |
2 мин | "Сформулируйте общий алгоритм, который поможет и в практической задаче, и в задании ОГЭ. Я начну: «Сначала я…». Продолжите по цепочке. Затем ответьте: почему нельзя выбрать тангенс или косинус только по тому, что в условии встречается катет?" | По цепочке формулируют: "Сначала выбираю угол; затем называю стороны относительно него; после этого выбираю отношение по нужным сторонам; записываю формулу и проверяю ответ". Объясняют, что функция определяется конкретным отношением сторон. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили тангенс для отношения двух катетов и сформулировали общий порядок действий. Осталось оценить, что именно вы сегодня освоили и какой вопрос стоит разобрать дополнительно."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: помочь учащимся осознать результат урока, выявить оставшиеся затруднения и принять посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Заполните билет на выход из двух коротких ответов: «Теперь я могу…» и «Мне ещё нужно потренироваться…». Рядом отметьте, какое отношение вы выбираете увереннее всего — синус, косинус или тангенс. Это не отметка, а способ понять, какую помощь или тренировку запланировать дальше. Если готовы, дополните ответ одной фразой о том, как вы будете выбирать функцию в чертеже." | Индивидуально заполняют билет на выход: например, "Я могу определить синус по катету и гипотенузе"; "Мне нужно потренироваться определять прилежащий катет". |
1 мин | "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Базовый вариант обязателен для всех; если базовый алгоритм уже получается уверенно, можно добавить повышенный или продвинутый. На следующем уроке начнём с разбора типичных затруднений и перейдём к использованию тригонометрических отношений при нахождении неизвестных элементов треугольника." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и отвечают на контрольный вопрос учителя: "Что нужно определить до выбора формулы?" — "Сначала выбрать угол и назвать стороны относительно него". |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все три задания самостоятельной карточки; стороны названы относительно заданного угла, тригонометрические отношения записаны без ошибок, ход решения задачи и сокращение дроби показаны.
- "4" — верно выполнены два задания из трёх; допущена не более чем одна ошибка в обозначении сторон или записи отношения, ученик исправил её при самопроверке.
- "3" — верно выполнено не менее одного задания; ученик узнаёт гипотенузу и может с опорой на определение записать хотя бы одно отношение, но пока путает катеты или нуждается в подсказке.
- При формирующей проверке учитывать не только итоговый ответ, но и объяснение выбора функции: точное указание угла и сторон показывает осознанное применение определения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о синусе, косинусе и тангенсе острого угла? | Проверка осознания трёх определений и связи отношений со сторонами. |
Какое действие нужно выполнить первым, чтобы не перепутать противолежащий и прилежащий катеты? | Выявление понимания ключевого шага алгоритма: выбрать угол. |
На каком этапе решения вы сегодня сомневались: при обозначении сторон, выборе отношения или вычислении? | Диагностика конкретных точек затруднения для последующей коррекции. |
Насколько уверенно вы сможете объяснить выбор синуса, косинуса или тангенса в задаче формата ОГЭ? | Субъективная оценка готовности к применению нового знания и уровня учебной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы самостоятельно установили, что синус, косинус и тангенс острого угла — это отношения сторон прямоугольного треугольника. Главная опора при выборе формулы — не память на слова, а правильно отмеченный угол и названные относительно него стороны. Если обнаружили ошибку, это полезная информация: теперь вы знаете, какой шаг стоит потренировать. В заданиях экзаменационного формата действуйте последовательно и не спешите подставлять числа до анализа чертежа. На следующем уроке применим эти отношения для нахождения неизвестных сторон и углов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на чертежах прямоугольных треугольников: в каждом обозначить гипотенузу и катеты относительно указанного острого угла, затем записать заданное отношение — синус, косинус или тангенс. | Закрепляет точное определение сторон относительно угла; при проверке обратить внимание, не меняет ли ученик местами противолежащий и прилежащий катеты. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на запись тригонометрического отношения по данным длинам сторон, включая не менее одной задачи, где требуется сократить полученную дробь; к каждой задаче добавить короткое объяснение выбора функции. | Развивает применение определений и математическую аргументацию; при проверке оценить соответствие числителя и знаменателя выбранным сторонам. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить практическую задачу о высоте объекта или недоступном расстоянии, представить её прямоугольным треугольником, обозначить острый угол и записать уравнение с синусом, косинусом или тангенсом; указать, какие дополнительные данные понадобились бы для вычисления неизвестной величины. | Развивает моделирование и перенос знаний в жизненный контекст; при проверке обратить внимание на корректность чертежа, выбранного угла и отношения сторон. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: что является гипотенузой; относительно какого угла определяется противолежащий катет; какое отношение задаёт синус острого угла; чем отличается косинус от тангенса; с какого действия следует начинать выбор тригонометрической функции по чертежу?
