Вычитание векторов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять вычитание векторов геометрическим и координатным способами, объяснять связь разности векторов с противоположным вектором и решать не менее четырёх практических заданий с точностью не менее 80%.
- Сформировать понимание определения разности векторов как суммы уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.
- Научиться строить разность двух векторов и находить её координаты.
- Развивать умение выбирать способ решения, проверять результат и аргументировать последовательность действий.
- Снизить тревожность перед заданиями ОГЭ за счёт пошагового алгоритма и самопроверки по эталону.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность векторных вычислений для описания перемещений, направлений и геометрических объектов.
- Проявляют готовность спокойно разбирать ошибку и исправлять её по алгоритму.
- Формируют положительное отношение к подготовке к ОГЭ через выполнение посильных заданий с постепенным усложнением.
- Развивают ответственность за индивидуальный результат и результат работы в паре.
Метапредметные
- Познавательные: преобразуют выражение разности векторов в сумму, выделяют известные данные и выбирают способ решения.
- Регулятивные: формулируют цель, планируют решение, сверяют результат с эталоном и корректируют ошибку.
- Коммуникативные: объясняют ход построения партнёру, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Работают с математической записью, рисунком, координатами и кратким условием задачи.
Предметные
- Знать определение разности векторов и правило преобразования [31m⃗a−⃗b=⃗a+(−⃗b)[0m.
- Уметь строить вектор, противоположный данному, и геометрически изображать разность двух векторов.
- Уметь находить координаты разности векторов по формуле [31m⃗a−⃗b=(a₁−b₁; a₂−b₂)[0m.
- Уметь применять правило при решении задач базового уровня, в том числе в формате ОГЭ.
- Уметь проверять правильность вычислений по координатам и направлению полученного вектора.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, где векторы применяются для описания перемещения и разности положений.
- Формируют уверенность в возможности решить задачу через последовательное выполнение алгоритма.
- Оценивают собственную готовность к заданиям по теме и определяют, какой шаг требует дополнительной тренировки.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения при обсуждении в паре.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель: научиться вычитать векторы двумя способами.
- Составляют план решения: определить противоположный вектор, заменить вычитание сложением, выполнить построение или вычисление.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место ошибки.
- Оценивают результат по критериям и выбирают задание для дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Сравнивают сложение и вычитание векторов, устанавливают их связь.
- Моделируют выражение разности на чертеже и в координатной форме.
- Выделяют существенные признаки противоположных векторов: равные длины и противоположные направления.
- Проверяют вычислительный результат геометрическим рассуждением.
Коммуникативные УУД
- Формулируют объяснение партнёру с использованием математических терминов.
- Совместно обсуждают карточку, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Задают вопросы о направлении вектора и порядке выполнения действий.
- Корректно принимают замечания и уточняют спорный шаг решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с векторами [31m⃗a[0m и [31m⃗b[0m, координатной плоскостью и алгоритмом вычитания.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего по числу парт, с заданиями на построение и координаты.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы с эталоном решения для самопроверки: по одному на ученика или один комплект на парту.
- Подготовить цветные маркеры: одним цветом обозначать вектор [31m⃗a[0m, другим — [31m⃗b[0m, третьим — [31m−⃗b[0m.
- Вывести на доску памятку: «Разность = сумма с противоположным вектором» и формулу координат.
- Подготовить линейки, карандаши и координатные сетки для каждого ученика.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Почему вычитание векторов нельзя выполнять только по длинам?»
- Подготовить таймер на 3–4 минуты для практических заданий и зелёные, жёлтые, красные карточки для приёма «Светофор».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и показать связь темы с геометрическими задачами и ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки, карандаша и ручки. Сегодня у нас будет не длинное объяснение, а серия коротких практических заданий. На доске записан вопрос: “Как сравнить два направленных перемещения?” Подумайте, где подобная задача может встретиться в геометрии или физике». | Проверяют готовность, читают вопрос и называют варианты: «При движении», «при нахождении координат», «в задачах ОГЭ». |
2 мин | Учитель показывает два направленных отрезка и говорит: «Представьте, что первый вектор задаёт перемещение вправо и вверх, а второй — перемещение вправо и вниз. Нам нужно определить, какое перемещение останется после вычитания второго из первого. Сегодня мы выясним, как это сделать без догадок и как быстро проверить ответ». | Рассматривают рисунок, формулируют предположения: «Нужно изменить направление второго вектора», «надо сложить первый с противоположным второму». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что вычитание связано не только с длинами, но и с направлением. Сейчас вспомним свойства векторов, которые помогут нам построить правильный алгоритм».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о сложении, координатах и противоположных векторах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске вектор [31m⃗a=(3;2)[0m и спрашивает: «Как называют пару чисел, задающую положение вектора? Как найти координаты суммы [31m⃗a+⃗b[0m? Запишите коротко формулу и назовите её вслух». | Записывают: «Координаты вектора». Формулируют: «Координаты суммы получают сложением соответствующих координат». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: «Какими свойствами обладают противоположные векторы? Что можно сказать о координатах вектора [31m⃗b=(−4;3)[0m и противоположного ему вектора?» | Отвечают: «Они равны по длине и противоположно направлены». Записывают: [31m−⃗b=(4;−3)[0m. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить [31m⃗p=(2;−1)[0m и [31m⃗q=(−3;4)[0m: «Найдите координаты [31m⃗p+⃗q[0m и проговорите каждый шаг». | Вычисляют: [31m⃗p+⃗q=(2−3;−1+4)=(−1;3)[0m. Объясняют порядок действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили сложение и противоположный вектор. Значит, у нас уже есть почти все элементы нового правила; осталось понять, как соединить их в одно действие».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести правило вычитания векторов и сформулировать план работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение [31m⃗a−⃗b[0m и обращается к классу: «Попробуйте объяснить, что означает знак минус между векторами. Можно ли просто вычесть длины? Почему такой способ может привести к ошибке? Обсудите ответ сначала индивидуально 30 секунд, затем с соседом одну минуту». | Сначала записывают предположение, затем обсуждают в парах. Формулируют: «Нужно учитывать направление», «нельзя вычитать только длины». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: «Предложите правило. Сначала каждая пара формулирует его, затем объединитесь с соседней парой и выберите наиболее точную запись. Нам важно получить алгоритм, которым можно пользоваться на ОГЭ». Учитель фиксирует варианты на доске. | Объединяют пары и предлагают формулировку: «Вычесть вектор — значит прибавить противоположный ему». Записывают цель: «Научиться строить и вычислять разность векторов». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы должны научиться выполнять вычитание и проверять себя. Сначала откроем геометрический смысл правила, а затем сразу применим его на координатах».
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести правило вычитания векторов через построение противоположного вектора и закрепить координатную формулу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт координатные сетки и говорит: «Постройте вектор [31m⃗a[0m из точки A, а затем вектор [31m⃗b[0m. Теперь построим [31m−⃗b[0m: длина остаётся прежней, направление меняется на противоположное. Сложение [31m⃗a+(−⃗b)[0m выполняем правилом треугольника. Какой вектор получился?» | Строят [31m⃗a[0m, [31m⃗b[0m и [31m−⃗b[0m, соединяют начало первого с концом второго. Формулируют: «Получился вектор разности [31m⃗a−⃗b[0m». |
3 мин | Учитель записывает на доске: [31m⃗a−⃗b=⃗a+(−⃗b)[0m. Затем поясняет: «В координатах меняются знаки обеих координат вычитаемого вектора. Поэтому [31m(a₁;a₂)−(b₁;b₂)=(a₁−b₁;a₂−b₂)[0m. Сравним геометрическое построение и вычисление». | Переписывают правило, подчёркивают, что меняются обе координаты. Сопоставляют рисунок и формулу. |
3 мин | Учитель разбирает пример: «Даны [31m⃗a=(5;−2)[0m и [31m⃗b=(1;3)[0m. Найдём [31m⃗a−⃗b[0m. Сначала записываем формулу, затем подставляем координаты: [31m(5−1;−2−3)=(4;−5)[0m. Обратите внимание: ошибка возникает, если забыть вычесть вторую координату». | Записывают решение, проверяют знаки и проговаривают: «Первая координата равна 4, вторая — −5». |
Запись в тетрадях
Записать: «Разность векторов — это сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому: [31m⃗a−⃗b=⃗a+(−⃗b)[0m. Если [31m⃗a=(a₁;a₂)[0m, [31m⃗b=(b₁;b₂)[0m, то [31m⃗a−⃗b=(a₁−b₁;a₂−b₂)[0m».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило открыто: меняем направление вычитаемого вектора и складываем либо вычитаем соответствующие координаты. Теперь проверим это правило на коротких заданиях, где каждый шаг будет проговариваться».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм вычитания векторов на построении и вычислении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: «Работаем в парах. Первый ученик выполняет вычисление, второй проверяет знаки и объясняет, где появился противоположный вектор. Затем поменяйтесь ролями. Задание 1: найдите [31m⃗u−⃗v[0m, если [31m⃗u=(−2;4)[0m, [31m⃗v=(3;−1)[0m». | Вычисляют: [31m⃗u−⃗v=(−2−3;4−(−1))=(−5;5)[0m. Проверяющий объясняет действие со второй координатой. |
2 мин | Учитель даёт задание 2: «Постройте [31m⃗m−⃗n[0m на координатной сетке, если [31m⃗m[0m направлен на 4 клетки вправо и 1 вверх, а [31m⃗n[0m — на 2 клетки вправо и 3 вниз. Подпишите сначала [31m−⃗n[0m». | Строят [31m−⃗n[0m как вектор на 2 клетки влево и 3 вверх, затем складывают с [31m⃗m[0m. Получают вектор на 2 клетки вправо и 4 клетки вверх. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: «Сверьте решение с соседом. Если ответы различаются, не исправляйте сразу, а найдите конкретный шаг расхождения. Используйте приём “Две звезды и пожелание”: назовите два верных действия и один совет». | Сравнивают решения, называют два правильных шага и формулируют совет, например: «Не забывай заключать отрицательную координату в скобки». |
Эталон решения
[31m⃗u−⃗v=(−2;4)−(3;−1)=(−2−3;4−(−1))=(−5;5)[0m. В построении [31m−⃗n[0m направлен на 2 клетки влево и 3 клетки вверх; после сложения с [31m⃗m[0m получаем направление на 2 клетки вправо и 4 клетки вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что вычислительный и геометрический способы дают один результат. Перед самостоятельной работой ещё раз проверьте главное место ошибки — знаки координат вычитаемого вектора».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и подготовить учащихся к заданиям базового уровня ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии: «Выполните обязательный блок из трёх заданий. Сначала перепишите координаты внимательно, затем выполните вычитание по соответствующим координатам. После этого можно выбрать дополнительное задание на построение». | Записывают алгоритм на полях: «Формула — подстановка — вычисление — проверка». |
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки. Задания: «1) Найдите [31m⃗p−⃗q[0m, если [31m⃗p=(7;−3)[0m, [31m⃗q=(2;5)[0m. 2) Найдите координаты [31m⃗r−⃗s[0m, если [31m⃗r=(−1;6)[0m, [31m⃗s=(−4;2)[0m. 3) При каком значении x вектор [31m⃗a−⃗b[0m имеет первую координату 6, если [31m⃗a=(x;3)[0m, [31m⃗b=(2;−1)[0m?» | Решают индивидуально. Получают: 1) [31m(5;−8)[0m; 2) [31m(3;4)[0m; 3) [31mx−2=6, x=8[0m. |
2 мин | Учитель открывает эталон и говорит: «Проверьте не только ответы, но и запись решения. Отметьте галочкой верную формулу, подстановку и вычисление. Ошибку подчеркните одним цветом, исправление выполните другим». | Сверяют решения с эталоном, отмечают каждый выполненный шаг, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: «Зелёная карточка — вы уверенно выполняете вычитание; жёлтая — иногда ошибаетесь в знаках; красная — требуется разбор первого шага. Поднимите карточку и запишите рядом, какая помощь нужна». | Поднимают карточку, формулируют личную трудность: «Путаю знаки», «не понимаю построение», «могу считать координаты». |
Эталон решения
1) [31m⃗p−⃗q=(7;−3)−(2;5)=(7−2;−3−5)=(5;−8)[0m. 2) [31m⃗r−⃗s=(−1;6)−(−4;2)=(−1+4;6−2)=(3;4)[0m. 3) Первая координата разности: [31mx−2=6[0m, поэтому [31mx=8[0m.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже работает. Сейчас обобщим его в одном коротком выводе и проверим, можете ли вы объяснить правило своими словами».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, зафиксировать затруднения и получить дифференцированное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: «За одну минуту завершите три фразы: “Чтобы вычесть векторы, нужно…”, “Главная ошибка сегодня — …”, “Проверить себя можно …”. Затем два-три ученика прочитают ответы». | Пишут: «прибавить противоположный», «перепутать знаки», «сравнить с формулой или построением». Зачитывают варианты. |
1 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос: «Чем отличаются выражения [31m⃗a−⃗b[0m и [31m⃗b−⃗a[0m? Как связаны их результаты?» | Отвечают: «Порядок важен; результаты являются противоположными векторами». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите уровень по своей самооценке. В каждой работе обязательно записывайте формулу, подстановку и проверку знаков. Если сегодня была жёлтая или красная карточка, начните с базового уровня». | Записывают выбранный уровень и формулируют, какой шаг будут контролировать при выполнении домашней работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не просто запомнили формулу, а вывели её через построение и проверили вычислением. Это важный формат работы для ОГЭ: увидеть правило, применить его и проверить знаки. На следующем уроке мы включим вычитание в более сложные выражения с несколькими векторами».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три обязательных задания, корректно записаны формула, подстановка и вычисления; ученик может объяснить связь вычитания с противоположным вектором.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх или допущена одна вычислительная ошибка при правильном алгоритме и корректной записи действий.
- «3» — выполнено хотя бы два задания с частично верным алгоритмом, но допущены ошибки в знаках или оформлении; ученик после подсказки исправляет первый шаг.
- Ниже «3» — правило не применено самостоятельно либо перепутаны уменьшаемый и вычитаемый векторы; требуется повторная работа по алгоритму с координатной сеткой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать с вычитаемым вектором перед сложением? | Проверить осознание определения разности векторов. |
На каком шаге самостоятельной работы возникла ошибка, если она была? | Выявить точку затруднения в алгоритме: формула, знаки или вычисления. |
Как можно проверить координатный ответ геометрически? | Проверить понимание связи вычислительного и построительного способов. |
Насколько уверенно вы решите аналогичное задание ОГЭ: уверенно, с небольшой помощью или пока неуверенно? | Определить субъективную оценку освоения темы и необходимость дифференциации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что вычитание векторов — это сложение уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому. В координатах мы вычитаем соответствующие координаты, внимательно контролируя знаки. Типичная ошибка — забыть скобки перед отрицательной координатой или изменить знак только у одной координаты. Вы уже умеете проверять результат построением и самопроверкой по эталону. На следующем уроке применим это правило в выражениях с несколькими векторами и задачах повышенной сложности».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение разности двух векторов по заданным координатам, включая два случая с отрицательными координатами; в каждой задаче записать формулу и промежуточные вычисления. | Закрепить координатный алгоритм и контроль знаков; при проверке смотреть на правильность подстановки и порядок координат. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: две на вычисление разности и одну на построение [31m⃗a−⃗b[0m по координатной сетке с последующим указанием координат результата. | Связать геометрический и координатный способы; при проверке сравнить результат построения с вычислением. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 собственные задачи: одну на нахождение неизвестной координаты в разности векторов и одну на упрощение выражения вида [31m⃗a−⃗b−⃗c[0m. | Развить умение создавать математическую модель и переносить правило на более сложные выражения; проверить корректность условия и полного решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определяется разность векторов? Как построить вектор, противоположный данному? Как найти координаты [31m⃗a−⃗b[0m? Почему порядок вычитания имеет значение?»
