Нахождение длин сторон и величин углов треугольников
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника и сумму углов треугольника для нахождения неизвестных сторон и углов в практических и экзаменационных задачах, выполнив не менее 3 заданий из 4 без существенных ошибок.
- Познакомить учащихся с алгоритмом анализа условия задачи о треугольнике и выбора подходящего геометрического свойства.
- Научить находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по теореме Пифагора и неизвестные углы по сумме углов и свойствам равнобедренного треугольника.
- Развивать умение строить математическую модель по условию, объяснять ход решения и проверять полученный ответ.
- Формировать уверенность при решении заданий, аналогичных заданиям ОГЭ, и понимание практической ценности геометрических методов.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают ценность точного и последовательного рассуждения при решении практических задач.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение и проверять собственный результат без страха ошибки.
- Понимают связь геометрии с измерениями, проектированием и задачами экзаменационного формата.
- Формируют ответственное отношение к самостоятельной работе и взаимной проверке.
Метапредметные
- Умеют выделять из текста задачи известные и неизвестные величины, переводить условие в чертёж и математическую запись.
- Сравнивают несколько способов решения и обосновывают выбор нужного свойства треугольника.
- Планируют последовательность действий, сверяют решение с эталоном и корректируют ошибки.
- Участвуют в парном обсуждении, формулируют ответ полным предложением и аргументируют его.
Предметные
- Знать сумму углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора.
- Уметь находить неизвестный угол треугольника по двум известным углам.
- Уметь находить боковую сторону или основание равнобедренного треугольника по известным данным.
- Уметь вычислять неизвестную сторону прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
- Владеть алгоритмом оформления решения геометрической задачи с записью формулы, вычислений и ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за качество решения и достоверность вычислений.
- Соотносят учебную задачу с будущей подготовкой к ОГЭ и профессиональными задачами, связанными с измерениями.
- Развивают смыслообразование через понимание практической роли геометрических моделей.
- Принимают право на ошибку как этап поиска и используют её для коррекции способа действия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения и составляют краткий план действий по условию задачи.
- Контролируют соответствие выбранной формулы данным чертежа и текста.
- Проверяют вычисления, единицы измерения и разумность полученного результата.
- Оценивают степень освоения алгоритма по критериям и намечают способ устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и неизвестную величину в условии.
- Классифицируют задачи по используемому свойству треугольника.
- Строят чертёж и математическую модель ситуации.
- Применяют формулы, преобразуют их и устанавливают причинно-следственные связи между элементами треугольника.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по условию и уточняют ход рассуждения партнёра.
- Объясняют выбор теоремы, используя математические термины.
- Согласуют решение в паре и корректно указывают на вычислительную или логическую ошибку.
- Представляют решение классу в краткой и последовательной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с изображениями произвольного, равнобедренного и прямоугольного треугольников.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с четырьмя заданиями экзаменационного формата — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «1. Сделай чертёж. 2. Выдели известное и неизвестное. 3. Выбери свойство. 4. Выполни вычисления. 5. Проверь ответ».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить эталоны решений для парной и самостоятельной работы, закрытые до этапа самопроверки.
- Проверить наличие у учащихся линейки, карандаша, транспортира и калькулятор не использовать, если это не предусмотрено форматом задания.
- Подготовить таймер на 3 минуты для актуализации и на 6 минут для самостоятельной работы.
- Оставить на доске место для записи темы, формул и типичных ошибок.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую и экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, на столе наличие тетради, ручки, линейки и транспортира. Сегодня нам понадобятся не только знания формул, но и умение быстро понять, какая формула нужна именно в данной задаче." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске схему треугольника с несколькими известными величинами: "Представьте, что длину одной стороны нужно определить при проектировании конструкции, а угол — проверить по чертежу. Подобные действия встречаются и в заданиях ОГЭ. Сегодня мы научимся действовать по алгоритму, а не угадывать формулу." | Рассматривают схему, формулируют предположение: "Нужно использовать свойства треугольника и известные данные". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы будем решать не отдельные формулы, а учиться распознавать тип задачи. Сначала вспомним опорные свойства, затем откроем общий алгоритм и проверим его на заданиях, похожих на ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства треугольника, необходимые для открытия способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите индивидуально ответы на три вопроса: чему равна сумма углов треугольника; какие углы равны в равнобедренном треугольнике; как связаны стороны прямоугольного треугольника? У вас 30 секунд на размышление, затем обсудите ответы в паре." | Записывают ответы, обсуждают их в парах, формулируют: "Сумма углов равна 180°", "углы при основании равны", "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". |
3 мин | Учитель выводит на доску три утверждения и просит определить их применение: "Первое утверждение помогает найти неизвестный угол. Второе — угол или сторону равнобедренного треугольника. Третье — неизвестную сторону прямоугольного треугольника. Назовите условие, по которому вы узнаете каждый тип." | Соотносят утверждения с рисунками и отвечают: "Нужно увидеть прямой угол для теоремы Пифагора; равные стороны — для равнобедренного треугольника; два известных угла — для суммы углов". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили три опорных инструмента. Теперь проверим, достаточно ли просто помнить формулу или нужно сначала правильно прочитать условие и построить модель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в выборе способа решения и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "В треугольнике ABC угол A равен 50°, угол B равен 60°. Найдите угол C". Затем показывает вторую задачу: "В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу". Учитель спрашивает: "Можно ли решить обе задачи одной и той же формулой? Что мешает начать решение сразу?" | Сравнивают условия, отвечают: "Нет, задачи относятся к разным свойствам"; "сначала нужно определить вид треугольника и известные величины". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске цель: "Научиться по условию и чертежу выбирать свойство треугольника, находить неизвестную сторону или угол и обосновывать каждый шаг. Как проверим достижение цели?" | Предлагают критерий: "Решим несколько задач разных типов и объясним выбор формулы". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не только в вычислениях, а в выборе правильной модели. Сейчас мы построим единый алгоритм, который поможет не теряться в задачах ОГЭ."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения неизвестной стороны или угла через анализ вида треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает задачу: "В треугольнике ABC углы A и B равны 50° и 60°. Найдите угол C. Сначала читаем условие, затем записываем известные и неизвестные величины. Какое свойство связывает все три угла?" Учитель демонстрирует запись на доске: $\angle A+\angle B+\angle C=180°$. | Чертят треугольник, подписывают углы, называют свойство и составляют вычисление: $\angle C=180°-50°-60°=70°$. Формулируют ответ: "Угол C равен 70°". |
3 мин | Учитель показывает равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 7 см и основанием 10 см: "Какие стороны равны? Что можно сказать об углах при основании? Если известен один угол при основании, как найти второй?" Учитель подчёркивает: "Равные элементы позволяют сократить число неизвестных." | Определяют боковые стороны, проговаривают свойство равных углов при основании и записывают: если один угол при основании равен 42°, второй также равен 42°. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу." Учитель ведёт эвристическую беседу: "Где расположен прямой угол? Какая сторона лежит напротив него? Какую формулу применим?" На доске записывает $c^2=a^2+b^2$. | Указывают гипотенузу, подставляют данные, получают $c^2=6^2+8^2=36+64=100$, затем $c=10$ см. Объясняют, почему отрицательное значение корня не выбирается для длины. |
Запись в тетрадях
- Сумма углов треугольника равна $180°$.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Для прямоугольного треугольника $c^2=a^2+b^2$, где $c$ — гипотенуза.
- Алгоритм: построить или дополнить чертёж; определить вид треугольника; выбрать свойство; выполнить вычисления; записать ответ и проверить его.
Эталон решения
Для прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см: $c^2=6^2+8^2=36+64=100$; $c=\sqrt{100}=10$ см. Гипотенуза равна 10 см, поскольку длина отрезка положительна.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели общий порядок работы: сначала распознаём фигуру и её данные, затем выбираем свойство, а уже после этого считаем. Теперь применим алгоритм вместе и проверим, насколько надёжно он работает."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор свойства и оформление решения в задачах трёх типов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парам карточки и объясняет приём «Маршрут решения»: "На каждой карточке сначала укажите вид треугольника и свойство, а затем выполняйте вычисления. Один ученик объясняет выбор, второй записывает; через половину времени поменяйтесь ролями." | Получают карточки, распределяют роли, читают условия и выделяют известные данные. |
4 мин | Учитель предлагает задания: "1) В треугольнике два угла равны 35° и 75°. Найдите третий угол. 2) В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. 3) Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу." Учитель наблюдает, задаёт вопросы: "Какой признак подсказал вам формулу?" | Решают задачи в парах. Получают ответы: 70°; по 70°; 13 см. Подписывают использованное свойство рядом с решением. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и организует взаимопроверку: "Сверьте не только число, но и выбор свойства. Если нашли расхождение, поставьте рядом вопросительный знак и объясните его партнёру." | Сверяют решения, исправляют ошибки, формулируют: "В первой задаче использовали сумму углов, во второй — свойства равнобедренного треугольника, в третьей — теорему Пифагора". |
Эталон решения
1) $180°-35°-75°=70°$. 2) Углы при основании равны, поэтому каждый равен $(180°-40°):2=70°$. 3) $c^2=5^2+12^2=25+144=169$, следовательно, $c=13$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что один и тот же алгоритм подходит к разным условиям, но формула меняется. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он пройти весь маршрут без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и подготовить учащихся к заданиям ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Работаем самостоятельно. В каждом задании запишите формулу или свойство, а не только ответ. Если затрудняетесь, вернитесь к памятке на доске и определите вид треугольника." | Получают листы, читают четыре условия, отмечают известные и неизвестные величины. |
6 мин | Учитель предлагает задания: "1) Углы треугольника равны 48° и 67°. Найдите третий угол. 2) В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 54°. Найдите угол при основании. 3) Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу. 4) Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, основание — 12 см. Найдите боковую сторону." | Индивидуально решают задания: 65°; 63°; 15 см; 10 см. Оформляют вычисления и ответы. |
2 мин | Учитель показывает эталон и просит выполнить самопроверку: "Поставьте один балл за правильное определение свойства и один балл за правильные вычисления в каждом задании. Отметьте красным место ошибки, если она есть." | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают баллы, исправляют одну ошибку по образцу и ставят себе отметку по критериям. |
Эталон решения
1) $180°-48°-67°=65°$. 2) Углы при основании равны: $(180°-54°):2=63°$. 3) $c^2=9^2+12^2=81+144=225$, $c=15$ см. 4) Пусть боковая сторона равна $x$. Тогда $2x+12=32$, $2x=20$, $x=10$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. Ошибка в такой задаче — это не повод тревожиться: важно увидеть, на каком шаге она появилась, и исправить именно этот шаг."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и сообщить домашнее задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете самостоятельно выбрать свойство и решить задачу; жёлтый — если формулу выбираете, но допускаете вычислительные ошибки; красный — если пока не понимаете, с чего начать." | Поднимают стикеры, соотносят цвет со своим результатом, называют конкретное затруднение: "Мне трудно распознать равнобедренный треугольник" или "Нужно внимательнее считать корень". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой первый шаг алгоритма? Как понять, что нужна теорема Пифагора? Почему в задаче на углы полезно записывать сумму 180°?" | Отвечают: "Нужно выделить данные и определить вид треугольника"; "должен быть прямой угол"; "сумма позволяет выразить неизвестный угол". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, при желании, один повышающий. Перед решением обязательно сделайте краткий чертёж или выпишите данные. Ваша задача — не просто получить число, а показать, почему применено именно это свойство." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать условие задачи в понятный маршрут решения. На следующем уроке мы продолжим работу с треугольниками и разберём более сложные случаи, где потребуется комбинировать несколько свойств."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены 4 задания самостоятельной работы, в каждом указано применённое свойство или формула, вычисления и ответы оформлены корректно.
- «4» — верно решены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но способ решения выбран правильно.
- «3» — верно решены 2 задания из 4 либо правильно выбраны свойства в трёх заданиях, но есть ошибки в вычислениях.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость повторить алгоритм по памятке и разобрать с учителем конкретный шаг, на котором возникло затруднение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг нужно сделать при решении задачи о треугольнике? | Проверка понимания общего алгоритма анализа условия. |
Как определить, что в задаче нужно применить теорему Пифагора? | Выявление умения распознавать прямоугольный треугольник и нужное свойство. |
На каком этапе самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика точек затруднения в выборе свойства, вычислениях или оформлении. |
Что поможет вам спокойнее решать задания такого типа на ОГЭ? | Осознание стратегии самоконтроля и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить неизвестные стороны и углы треугольника не угадыванием, а по понятному алгоритму. Главное — сначала определить вид треугольника и выписать известные величины, а затем выбрать свойство. Типичная ошибка — сразу подставлять числа в первую вспомнившуюся формулу, не проверив условие. Если вы будете делать чертёж и обосновывать каждый шаг, задания формата ОГЭ станут значительно спокойнее. На следующем уроке мы продолжим применять свойства треугольников в комбинированных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение неизвестного угла по сумме углов треугольника и свойствам равнобедренного треугольника; две на нахождение стороны прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. В каждой задаче записать данные, свойство, вычисления и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм. При проверке смотреть на правильность выбора свойства, запись формулы и вычисления. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение элементов треугольника, в которых требуется выполнить два последовательных действия, например сначала найти угол равнобедренного треугольника, а затем использовать сумму углов, либо найти сторону по периметру. | Развивает планирование и комбинирование свойств. При проверке обращать внимание на последовательность рассуждений и связь между шагами. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о треугольнике, аналогичную заданию ОГЭ, с нахождением стороны или угла, выполнить к ней чертёж, решение и проверку ответа. Обменяться задачей с одноклассником для решения. | Формирует умение создавать математическую модель и оценивать корректность условия, числовых данных и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое свойство связывает углы любого треугольника?», «Какие углы равны в равнобедренном треугольнике?», «Какая сторона является гипотенузой?», «Какой шаг алгоритма выполняется до выбора формулы?»
