Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики сформулируют определение произведения вектора на число, установят его свойства и применят их для решения не менее двух геометрических задач, в том числе задачи экзаменационного формата, обосновывая каждый шаг.
- Образовательная задача: раскрыть геометрический смысл умножения ненулевого вектора на число и научиться определять направление и длину полученного вектора.
- Образовательная задача: освоить свойства умножения вектора на число и использовать их совместно со сложением векторов.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие геометрической задачи, переводить его на язык векторов и аргументировать решение.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к самостоятельной работе и уверенность в возможности решать задачи экзаменационного формата по шагам.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что векторный метод позволяет кратко и последовательно обосновать решение геометрической задачи.
- Проявляют интерес к применению векторов в задачах экзаменационного формата и воспринимают сложное решение как последовательность доступных шагов.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в преобразовании векторных выражений.
- Уважительно относятся к отличающимся способам решения и аргументируют собственную позицию.
Метапредметные
- Извлекают из условия геометрической задачи данные о направлении, длине и равенстве векторов.
- Преобразуют геометрическое условие в векторную модель и соотносят запись с рисунком.
- Планируют решение, проверяют промежуточные преобразования и исправляют обнаруженную ошибку.
- Объясняют ход рассуждений партнёру, задают уточняющие вопросы и используют математические термины.
Предметные
- Знают определение произведения вектора на число и свойства этого действия.
- Умеют определять направление произведения вектора на положительное, отрицательное и нулевое число.
- Умеют находить длину вектора, умноженного на число, и упрощать выражения вида k⃗a и k⃗a + m⃗a.
- Применяют сложение векторов и умножение вектора на число для решения геометрических задач, записывая обоснование.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение векторных преобразований с личной целью уверенно решать геометрические задачи.
- Оценивают собственную готовность применять векторный метод и обозначают, какой шаг требует дополнительной тренировки.
- Сохраняют учебную активность при затруднении и обращаются к определению или рисунку как к опоре.
- Принимают ответственность за точность записи и проверку результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения при сравнении и преобразовании векторов.
- Составляют план решения: выделить данные, записать векторное равенство, преобразовать выражение, проверить геометрический смысл.
- Сверяют самостоятельную работу с эталоном и отмечают конкретный шаг, в котором возникла ошибка.
- Корректируют решение, опираясь на свойства умножения вектора на число.
Познавательные УУД
- Сравнивают коллинеарные векторы и устанавливают связь между коэффициентом умножения, направлением и длиной.
- Выделяют существенные признаки произведения вектора на число и формулируют свойства на основе рисунка и примеров.
- Моделируют условие геометрической задачи с помощью векторных обозначений.
- Проверяют равносильность преобразований и используют контрпример для обнаружения неверного утверждения.
Коммуникативные УУД
- Согласуют в паре формулировку правила и представляют общий вывод классу.
- Обосновывают выбор знака коэффициента и направление полученного вектора.
- Задают вопросы, помогающие уточнить запись и логику решения одноклассника.
- Дают корректную обратную связь по критериям: правильность векторной записи, преобразований и обоснования.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник, по которому работает класс: ученики используют определения и примеры темы, не привязанные к номерам страниц и заданий.
- Распечатать карточку актуализации с двумя короткими заданиями на сложение векторов — по одной на парту, ориентировочно 15 карточек.
- Распечатать карточки самостоятельной работы трёх уровней — по одной на ученика, ориентировочно 30 карточек; включить в каждую базовую часть и отдельное задание повышенного уровня.
- Подготовить лист с геометрической задачей на параллелограмм для парной работы — по одному на пару.
- На доске заранее оставить место для определения, схемы направлений при коэффициенте k и трёх свойств умножения вектора на число.
- Подготовить слайд с изображением ненулевого вектора и его кратных при коэффициентах 2, −1 и 0, а также с вопросом: «Что меняется, а что сохраняется?»
- Подготовить на отдельном листе эталоны заданий для самопроверки и краткий чек-лист: направление, длина, свойства, обоснование.
- Проверить наличие доски и маркеров или мела; при использовании презентации — ноутбука и проектора. Линейка нужна учителю для демонстрационного чертежа.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и заинтересовать их практической ценностью нового действия с векторами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Откройте тетради и приготовьте учебник, линейку и ручку. Сегодня продолжим работать с векторами и проверим, как одно новое действие поможет упростить геометрические рассуждения. В конце урока вы попробуете решить задачу в формате, близком к экзаменационному, но будем двигаться по понятному алгоритму». | Готовят тетради, учебники и линейки; записывают дату и настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске вектор a и его изображение, направленное в противоположную сторону, и задаёт проблемный вопрос: «Представьте, что вектор описывает перемещение на карте. Как обозначить перемещение в том же направлении, но в два раза длиннее? А как записать такое же по длине перемещение в обратную сторону? Сегодня нужно найти удобное правило, чтобы не строить каждый раз новый чертёж». | Высказывают предположения: «Удлинить стрелку вдвое»; «Развернуть стрелку в противоположную сторону». Формулируют, что нужна запись, показывающая и длину, и направление. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одного рисунка недостаточно для короткой записи изменения длины и направления. Вспомним знакомые действия с векторами и определим, чего именно нам пока не хватает».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о векторах и сложении векторов и выявить затруднение, связанное с записью кратного вектора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки актуализации: «На карточке изображён параллелограмм ABCD. Запишите через стороны параллелограмма вектор AC и назовите правило, которым вы воспользовались. Не начинайте новую тему наугад: используйте уже известное сложение векторов. На работу две минуты, затем сравним записи с соседом». | Индивидуально записывают равенство ⃗AC = ⃗AB + ⃗BC; отмечают, что при переходе из A в C можно пройти через B. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала самостоятельно решите, какой вектор получится, если к вектору a прибавить такой же вектор a. Затем одну минуту обсудите ответ с соседом. Важно не только назвать результат, но и объяснить его по направлению и длине». | Самостоятельно думают 30 секунд, затем обсуждают в паре 1 минуту и формулируют: «Получится вектор в том же направлении, вдвое длиннее». |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: «Мы описали результат словами, но как коротко записать два одинаковых слагаемых? А если векторов три? Что будет, если нам нужно взять вектор в противоположном направлении? Пока предложите запись, а не новое правило». | Предлагают ⃗a + ⃗a и ⃗a + ⃗a + ⃗a; замечают, что противоположное направление связано с −⃗a. Отмечают затруднение: краткую запись умножения вектора на число ещё не изучали. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем складывать векторы и видим, что повторение одного слагаемого можно описать короче. Но пока не договорились, как точно связать число с длиной и направлением. Это и станет нашей учебной задачей».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и спланировать открытие правила умножения вектора на число.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражения 2⃗a и −2⃗a: «Посмотрите на две записи. Как вы думаете, чем должны отличаться соответствующие векторы? Какое свойство останется общим? Не торопитесь угадывать формальное определение: опирайтесь на рисунок и на то, что мы уже сказали о перемещении». | Сравнивают записи и предполагают: «Длины должны быть одинаковыми, а направления — противоположными»; «Первый вектор сонаправлен с a, второй направлен обратно». |
2 мин | Учитель предлагает классу определить план: «Чтобы проверить предположения, нам нужно договориться, что означает произведение, выяснить, как меняется длина при разных числах, сформулировать свойства, а затем решить задачу. Какой шаг поставим первым? Как проверим правило? В конце каждый выполнит короткое задание самостоятельно». | Формулируют цель: «Научиться умножать вектор на число и применять это в задачах». Предлагают план: рассмотреть рисунки, записать определение и свойства, решить задачу в паре, проверить себя самостоятельно. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель и план у нас есть. Сейчас проверим гипотезы на чертежах и запишем правило так, чтобы им можно было пользоваться не только в примере, но и в доказательстве».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение и свойства умножения вектора на число, связав коэффициент с направлением и длиной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает учебник на теме о действиях с векторами и показывает рисунок с ненулевым вектором a и его кратными: «Рассмотрите чертёж и соответствующие определения в учебнике. Сравните вектор a и вектор 2a. Что произошло с длиной? Изменилось ли направление? Теперь сравните a и −2a. Назовите, что осталось тем же, а что изменилось. Сформулируйте наблюдение полным предложением». | Читают относящийся к теме фрагмент учебника, рассматривают рисунок, формулируют: «Вектор 2a сонаправлен с a и вдвое длиннее»; «Вектор −2a противоположно направлен и тоже вдвое длиннее». |
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу и записывает обозначение: «Для ненулевого вектора a и числа k произведением k a называют вектор, длина которого равна |k| умножить на длину a. При k больше нуля направление сохраняется, при k меньше нуля становится противоположным. А что получаем при k = 0? Какой вектор имеет длину ноль? Запишем это отдельно, чтобы не потерять случай нулевого коэффициента». | Отвечают: «При k = 0 получаем нулевой вектор». Записывают определение; отмечают, что длина произведения равна |k|·|a|, а знак коэффициента определяет направление. |
2 мин | Учитель выводит на доске свойства: «Если умножаем сумму векторов на число, число распределяется на каждое слагаемое. Если складываем кратные одного и того же вектора, складываем коэффициенты. При последовательном умножении вектора на числа перемножаем коэффициенты. Прочитайте каждое равенство и объясните его словами: какие действия выполняются сначала и какой результат получается?» | Читают и объясняют свойства: k(a + b) = ka + kb; ka + ma = (k + m)a; k(ma) = (km)a. Приводят пример для одного свойства и уточняют, что речь идёт о векторах. |
2 мин | Учитель обращает внимание на типичную ошибку: «Проверьте утверждение: при умножении на отрицательное число меняется только длина. Верно ли оно? Обоснуйте, опираясь на определение. Затем сформулируйте правило коротко, так, чтобы им можно было воспользоваться у доски без рисунка». | Опровергают утверждение: «Нет, отрицательный коэффициент меняет направление на противоположное, а длина умножается на модуль числа». Формулируют правило и приводят пример −3a. |
Запись в тетрадях
- Для ненулевого вектора a и числа k произведение ka — вектор, длина которого равна |k|·|a|; при k > 0 он сонаправлен с a, при k < 0 противоположно направлен, при k = 0 является нулевым.
- Свойства: k(a + b) = ka + kb; ka + ma = (k + m)a; k(ma) = (km)a.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли смысл коэффициента и записали свойства. Теперь применим их вместе: сначала преобразуем выражение с векторами, а затем используем векторную запись для решения геометрической задачи».
Этап 5. Первичное закрепление: геометрическая задача в паре (8 мин)
Цель этапа: применить новое определение и свойства при упрощении выражения и записи связи между векторами параллелограмма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение 3a − 2a + b − 4b: «Сначала упростите выражение, используя свойства сложения и умножения на число. Здесь важно группировать только коэффициенты при одинаковых векторах. Обсудите ход решения с партнёром и подчеркните шаг, где применяется распределительное свойство или сложение кратных». | В парах преобразуют выражение, группируют слагаемые и получают a − 3b. Проговаривают: «Коэффициенты при a дают 3 − 2 = 1, при b — 1 − 4 = −3». |
4 мин | Учитель раздаёт лист с условием: «В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите вектор AO через векторы AB и AD. Сначала запишите вектор AC через две стороны, затем используйте свойство диагоналей параллелограмма. Не пропускайте обоснование: по рисунку обозначьте, что точка O делит диагональ AC пополам». | Строят схему параллелограмма и записывают: ⃗AC = ⃗AB + ⃗AD; поскольку O — середина AC, ⃗AO = 1/2⃗AC; следовательно, ⃗AO = 1/2⃗AB + 1/2⃗AD. Сверяют записи в паре. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь листами. Проверьте три пункта: правильно ли выражена диагональ AC, указано ли свойство середины диагонали, распределён ли коэффициент одна вторая на оба слагаемых. Поставьте партнёру две отметки за верные шаги и одно конкретное пожелание, если обоснование можно сделать яснее». | Проверяют решение по трём пунктам; дают обратную связь: «Верно записана диагональ; не забудь пояснить, почему AO составляет половину AC». |
Эталон решения
В параллелограмме ABCD: ⃗AC = ⃗AB + ⃗BC. Так как ⃗BC = ⃗AD, то ⃗AC = ⃗AB + ⃗AD. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому ⃗AO = 1/2⃗AC. Подставляем выражение для ⃗AC и применяем распределительное свойство: ⃗AO = 1/2(⃗AB + ⃗AD) = 1/2⃗AB + 1/2⃗AD.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы использовали коэффициент одна вторая не как отдельное украшение записи, а как выражение факта, что O — середина диагонали. Теперь каждый проверит, умеет ли самостоятельно выбрать нужное свойство и аккуратно обосновать вычисления».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание направления и длины кратного вектора, свойств преобразования и применения векторной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и проговаривает критерии до начала работы: «Выполните обязательные задания самостоятельно. В первом укажите направление и длину −3a относительно a, если |a| = 2. Во втором упростите 2(a + b) − a. В третьем запишите вектор отрезка от вершины параллелограмма к точке пересечения диагоналей через его стороны. Если базовые задания выполнены, выбирайте повышенный пункт. За ответ важны не только вычисления, но и пояснение свойства». | Получают карточки, читают условия и задают уточняющие вопросы до начала отсчёта времени. |
6 мин | Учитель запускает видимый таймер и наблюдает за работой: «Работайте индивидуально, записывайте каждый переход. Если сомневаетесь в знаке, сначала определите направление; если сомневаетесь в преобразовании, подпишите применяемое свойство. Я не буду подсказывать ответ, но помогу определить, к какому правилу обратиться». | Самостоятельно решают: при |a| = 2 длина −3a равна 6, направление противоположно a; 2(a + b) − a = a + 2b; для вершины A и точки пересечения диагоналей получают ⃗AO = 1/2⃗AB + 1/2⃗AD. Выполнившие обязательные задания переходят к повышенному пункту. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и проводит самопроверку: «Сверьте не только итог, но и обоснование. Поставьте плюс у полностью верного решения, знак вопроса у места, которое нужно уточнить, и исправьте ошибку другим цветом. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все шаги, жёлтую — если остался вопрос, красную — если нужно разобрать правило повторно». | Сверяют решения с эталоном, исправляют записи и показывают карточку самооценки. Формулируют затруднение конкретно: «Перепутал знак направления» или «Не распределил коэффициент на оба слагаемых». |
Эталон решения
1) |−3a| = |−3|·|a| = 3·2 = 6; коэффициент отрицательный, поэтому вектор −3a противоположно направлен вектору a. 2) 2(a + b) − a = 2a + 2b − a = a + 2b. 3) В параллелограмме ABCD и точке O пересечения диагоналей: ⃗AC = ⃗AB + ⃗AD, ⃗AO = 1/2⃗AC, поэтому ⃗AO = 1/2⃗AB + 1/2⃗AD.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, какие шаги уже выполняются уверенно, а где ещё нужна опора на правило. Перед завершением урока соотнесём результат с целью и запишем домашнее задание с возможностью выбрать уровень сложности».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить порядок выполнения домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «В начале урока мы искали короткую запись перемещения в том же или противоположном направлении. Завершите фразу: “При умножении вектора на число его длина…”; “Если число отрицательное, направление…”. Затем назовите одно свойство, которое помогло решить задачу с диагональю параллелограмма». | Устно завершают фразы: «Длина умножается на модуль числа»; «При отрицательном числе направление становится противоположным». Называют распределительное свойство или свойство середины диагонали. |
1 мин | Учитель проводит одноминутную рефлексию: «Запишите на небольшом листке одно действие, которое теперь получается, и один вопрос, который ещё остался. Это не оценка за скорость, а способ понять, какую часть правила стоит повторить. Передайте листок при выходе». | Пишут короткий ответ, например: «Умею упрощать сумму кратных векторов; нужно ещё потренировать выбор направления при отрицательном коэффициенте». |
2 мин | Учитель поясняет домашнее задание: «Обязательная часть нужна всем, а повышающий и дополнительный уровни можно выбрать по готовности. Подбирайте задания по описанию из своего учебника или записи урока, не забывайте о чертежах и обоснованиях. Перед выходом ответьте себе: какой признак показывает направление произведения и почему середина диагонали задаёт коэффициент одна вторая?» | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы. Отвечают: «Знак коэффициента задаёт направление»; «Потому что вектор от вершины к середине диагонали равен половине вектора всей диагонали». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания самостоятельной работы, правильно указаны длина и направление кратного вектора, выражение преобразовано по свойствам, решение задачи с диагональю параллелограмма содержит полное обоснование.
- «4» — правильно выполнены не менее двух обязательных заданий; допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не меняющая основного способа решения, либо пропущено одно пояснение.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание и ученик с опорой на определение может исправить ошибку в направлении, длине или распределении коэффициента.
- При самооценке учитываются не скорость выполнения, а корректность векторной записи, использование свойств и способность объяснить ход решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как изменяются длина и направление вектора при умножении на положительное и отрицательное число? | Проверка понимания определения и связи знака коэффициента с направлением. |
Какое свойство помогло вам упростить выражение с несколькими кратными одного вектора? | Выявление осознанного выбора свойства, а не механического преобразования. |
На каком шаге задачи о параллелограмме нужно было обосновать коэффициент одна вторая? | Проверка связи векторной записи с геометрическим фактом о середине диагонали. |
Что сегодня получилось уверенно, а что вы хотели бы потренировать ещё? | Самооценка освоения темы и диагностика индивидуальных затруднений. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, как умножение на число меняет длину и направление вектора, и применили это действие к преобразованию выражений и задаче о параллелограмме. Особенно важно помнить: длина умножается на модуль коэффициента, а его знак определяет направление. Типичная ошибка — распределить коэффициент не на все слагаемые или забыть, что отрицательное число меняет направление. Если какой-то шаг пока вызывает сомнение, вернитесь к определению и схеме в тетради: это нормальная часть освоения нового способа. На следующем уроке продолжим применять векторы в геометрических задачах и потренируемся выбирать удобную запись для обоснования решения».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: в двух определить направление и длину произведения вектора на положительное и отрицательное число; в одном упростить выражение с кратными одинаковых векторов; в одном выразить вектор от вершины параллелограмма к середине диагонали через его стороны. | Закрепляет определение и базовые свойства; при проверке обратить внимание на модуль коэффициента, знак и письменное обоснование коэффициента одна вторая. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на упрощение выражений вида k(a + b) − ma и применение векторных свойств в параллелограмме или треугольнике; к каждой записи добавить пояснение использованного свойства. | Развивает выбор последовательности преобразований и умение переводить геометрические отношения в векторную запись. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную геометрическую задачу о параллелограмме или треугольнике, в условии которой используется середина стороны или диагонали; решить её векторным способом и проверить, что каждое равенство обосновано. | Развивает перенос способа решения и создание математической задачи; при проверке оценить корректность условия, чертежа и доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Чему равна длина вектора ka? Как направлен вектор ka при k < 0? Как упростить ka + ma? Как выразить вектор от вершины параллелограмма к точке пересечения диагоналей через две его стороны?»
