Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся выведут и применят основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1, а также научатся определять знак и выбирать формулу приведения для углов, связанных с 90° и 180°, решая не менее 4 из 5 тренировочных заданий.
- Сформировать умение находить sin α или cos α по известному значению другой тригонометрической функции с учётом знака.
- Познакомить с алгоритмом применения формул приведения и отработать его на заданиях экзаменационного типа.
- Развивать умение устанавливать связи между геометрической моделью единичной окружности, формулами и графическим представлением.
- Формировать ответственное отношение к самопроверке, снижать тревожность перед ОГЭ через пошаговый разбор типичных заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность тригонометрических формул для решения задач ОГЭ и прикладных задач.
- Проявляют готовность проверять результат и исправлять ошибку без отказа от дальнейшей работы.
- Развивают уверенность в собственных математических возможностях через выполнение заданий по алгоритму.
- Проявляют уважение к мнению партнёра при обсуждении различных способов решения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки формул и устанавливают связь между знаком функции и четвертью окружности.
- Планируют последовательность решения, используют таблицу формул и выполняют самопроверку по эталону.
- Читают математическую информацию на экране, в учебнике и на карточке, преобразуют её в краткую запись.
- Аргументируют выбор знака и формулы, участвуют в парном и фронтальном обсуждении.
- Используют интерактивную модель единичной окружности для проверки гипотез.
Предметные
- Знать основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1 и следствия cos² α = 1 − sin² α, sin² α = 1 − cos² α.
- Уметь находить неизвестную тригонометрическую функцию по известной функции и четверти, в которой расположен угол.
- Знать формулы приведения для углов 90° ± α и 180° ± α.
- Уметь определять знак функции по четверти и применять формулу приведения в вычислительных заданиях.
- Владеть алгоритмом решения заданий на преобразование тригонометрических выражений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают связь изучаемых формул с успешным выполнением практических и экзаменационных заданий.
- Формируют внутреннюю позицию ученика, готового к самостоятельному преодолению затруднения.
- Оценивают собственный прогресс по результатам мини-тренировки.
- Соблюдают нормы сотрудничества и корректно формулируют замечания партнёру.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения в пробном задании.
- Планируют решение по алгоритму: определить четверть, выбрать знак, применить формулу, проверить результат.
- Контролируют вычисления с помощью основного тождества и эталона.
- Корректируют решение после взаимопроверки и фиксируют причину ошибки.
Познавательные УУД
- Моделируют тригонометрические зависимости на единичной окружности.
- Сравнивают значения функций для углов α и 180° − α, 90° − α.
- Выводят следствия из основного тождества и преобразуют формулы.
- Классифицируют задания по способу решения и работают с математической информацией из учебника.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбран именно такой знак функции.
- Формулируют вопросы по непонятным шагам решения.
- Согласовывают общий ответ пары и представляют его классу.
- Участвуют в проблемном диалоге, аргументируя собственную гипотезу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с единичной окружностью, координатными осями, четвертями и таблицей знаков синуса и косинуса.
- Открыть интерактивную модель единичной окружности для демонстрации симметрии точек относительно осей координат.
- Распечатать карточки для парной игры «Тригонометрическое лото» — по одной карточке на пару, 15 экземпляров.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран алгоритм применения формул приведения: определить угол, назвать четверть, определить знак, заменить функцию, проверить ответ.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения четвертей и знаков функций.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для игровых и тренировочных заданий.
- Подготовить слайд с заданиями ОГЭ: найти cos α по известному sin α и определить значение функции для угла 180° − α.
- Организовать свободное пространство у доски для короткой физкультминутки с движениями по направлениям координатных осей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране единичную окружность с отмеченным углом: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжим разговор о тригонометрии и попробуем превратить несколько знакомых фактов в быстрый инструмент решения задач. Посмотрите на окружность: один и тот же угол можно рассматривать вместе с его отражением относительно оси. Как вы думаете, одинаковыми или противоположными будут координаты соответствующих точек?" | Готовят тетради и ручки, рассматривают модель, высказывают предположения: "Одна координата может измениться по знаку", "Значения функций связаны с координатами точки". |
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: "На ОГЭ встречается задание: sin α = 0,6, угол α расположен во второй четверти. Найдите cos α. Устно это не определить, но и длинное вычисление здесь не нужно. Какую связь между синусом и косинусом мы можем использовать? Запишите первое предположение, а затем обсудите его с соседом по приёму «Подумай — обсуди в паре»." | Сначала записывают индивидуальную гипотезу, затем 1 минуту обсуждают в парах. Предполагают: "Нужно использовать квадрат синуса и квадрат косинуса", "Косинус во второй четверти отрицательный". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для решения задания нужно связать известное значение функции с расположением угла. Сейчас актуализируем необходимые знания и найдём формулу, которая станет нашим основным инструментом."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о единичной окружности, знаках функций и координатах точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране четыре четверти окружности и проводит фронтальный опрос: "Назовите, что показывает координата x точки единичной окружности, а что показывает координата y. В какой четверти синус положителен? Где косинус отрицателен? Не называйте только ответ — объясните, с какой координатой он связан." Учитель фиксирует на доске таблицу знаков. | Отвечают: "Координата x связана с косинусом, координата y — с синусом"; "Синус положителен в первой и второй четвертях"; "Косинус отрицателен во второй и третьей четвертях". Заполняют в тетради таблицу знаков. |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку с элементами игры: "Представьте, что вы точка на окружности. Когда я называю первую или вторую четверть, поднимите руки вверх — синус положителен. Когда называю первую или четвёртую, вытяните руки вправо — косинус положителен. Если функция отрицательна, руки опускаем вниз или отводим влево. Работаем быстро, но внимательно." | Выполняют движения по сигналу учителя, определяют знак синуса и косинуса для названных четвертей, исправляют действия после короткого обсуждения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координатный смысл синуса и косинуса и научились быстро определять их знаки. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний для решения исходной задачи."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость основного тригонометрического тождества и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к задаче: "Дано sin α = 0,6, угол α находится во второй четверти. Найдите cos α. Мы определили знак косинуса, но самого значения пока нет. Какая операция позволит связать синус и косинус? Что произойдёт, если возвести функции в квадрат?" Учитель записывает на доске предложения учащихся, не объявляя сразу правильный вариант. | Отвечают: "Можно использовать квадрат синуса", "Нужно найти cos² α", "После извлечения корня надо выбрать знак по четверти". Формулируют затруднение: "Мы не знаем общей связи между квадратами функций". |
2 мин | Учитель формулирует учебную проблему: "Сегодня нам предстоит самим получить эту связь, вывести из неё рабочий алгоритм и проверить его на формулах приведения. Сформулируйте цель урока одним предложением. Что мы должны уметь к концу занятия?" | Формулируют цель: "Вывести основное тригонометрическое тождество, находить неизвестную функцию и применять формулы приведения". Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: знак мы определяем по четверти, а модуль значения должны получить вычислением. Начнём с вывода основной связи между синусом и косинусом."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести основное тригонометрическое тождество и сформировать алгоритм его применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует единичную окружность: "Рассмотрим точку A(cos α; sin α) на единичной окружности. Радиус окружности равен 1. Запишем уравнение окружности: x² + y² = 1. Так как x = cos α, а y = sin α, какую формулу получаем? Почему именно квадраты функций входят в тождество?" Учитель подводит к записи sin² α + cos² α = 1. | Отвечают: "Получаем cos² α + sin² α = 1"; "Квадраты появляются из уравнения окружности". Записывают формулу и называют её основным тригонометрическим тождеством. |
3 мин | Учитель выводит следствия: "Из равенства можно выразить любую функцию. Если известен синус, перенесём sin² α вправо и получим cos² α = 1 − sin² α. Если известен косинус, получим sin² α = 1 − cos² α. Но после извлечения корня знак выбираем не произвольно: он определяется четвертью." На экране появляется алгоритм из четырёх шагов. | Записывают два следствия. Формулируют алгоритм: определить четверть; найти квадрат неизвестной функции; извлечь корень; выбрать знак по четверти. |
3 мин | Учитель разбирает исходную задачу целиком: "Дано sin α = 0,6, α принадлежит второй четверти. Найдите cos α. Сначала найдём квадрат косинуса, затем модуль косинуса и только после этого учтём знак. Следите за каждой строкой и сравнивайте её с алгоритмом." | Записывают решение: cos² α = 1 − 0,6² = 0,64; |cos α| = 0,8; во второй четверти cos α < 0; cos α = −0,8. Формулируют вывод: "Косинус равен −0,8". |
Запись в тетрадях
sin² α + cos² α = 1; cos² α = 1 − sin² α; sin² α = 1 − cos² α. Алгоритм: 1) определить четверть; 2) применить тождество; 3) извлечь квадратный корень; 4) выбрать знак функции.
Эталон решения
Дано: sin α = 0,6, α ∈ II четверти. Тогда cos² α = 1 − sin² α = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64. Следовательно, |cos α| = √0,64 = 0,8. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому cos α = −0,8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели тождество из уравнения единичной окружности и увидели, что оно работает как алгоритм. Теперь применим его сначала в парной игре, а затем перейдём к формулам приведения."
Этап 5. Первичное закрепление. Парная игра «Тригонометрическое лото» (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение основного тождества и подготовить переход к формулам приведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя заданиями и объясняет правила: "На карточке три мини-задачи. Один ученик выполняет вычисления, второй контролирует знак и задаёт вопрос: «Почему именно такой знак?» Через две минуты поменяйтесь ролями. Побеждает не самая быстрая пара, а та, которая может обосновать каждую строку." | Получают карточки, распределяют роли, читают задания и уточняют порядок работы. |
4 мин | Учитель предлагает задания: "1) sin α = 0,8, α — угол I четверти, найти cos α. 2) cos β = −0,6, β — угол III четверти, найти sin β. 3) sin γ = −0,5, γ — угол IV четверти, найти cos γ. Используйте только алгоритм из тетради." Учитель консультирует пары, задаёт уточняющие вопросы. | Решают в парах: cos α = 0,6; sin β = −0,8; cos γ = √3/2. Партнёры проговаривают выбор знака и проверяют вычисления. |
2 мин | Учитель организует фронтальную проверку: "Пара, выполнявшая первое задание, назовите не только ответ, но и причину выбора знака. Какие ошибки могли появиться?" Учитель показывает эталон на экране. | Представляют решения, сравнивают с эталоном, отмечают исправления. Называют типичную ошибку: "После извлечения корня забыли учесть четверть". |
Эталон решения
1) cos² α = 1 − 0,8² = 0,36, α ∈ I четверти, поэтому cos α = 0,6. 2) sin² β = 1 − (−0,6)² = 0,64, β ∈ III четверти, поэтому sin β = −0,8. 3) cos² γ = 1 − (−0,5)² = 0,75, γ ∈ IV четверти, поэтому cos γ = √0,75 = √3/2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Основное тождество уверенно работает в задачах, где известен угол или четверть. Но в заданиях часто встречаются выражения вроде sin(180° − α) или cos(90° + α). Сейчас выясним, как быстро преобразовывать такие записи."
Этап 6. Формулы приведения и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: открыть смысл формул приведения через симметрию единичной окружности и связать их с координатной моделью и информатикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель запускает интерактивную модель окружности и говорит: "Переместим точку симметрично относительно оси Oy. Абсцисса изменит знак, а ордината сохранится. Значит, для углов α и 180° − α косинусы противоположны, а синусы равны: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Какие координатные изменения происходят при симметрии относительно оси Ox?" | Наблюдают за моделью, отвечают: "Ордината меняет знак, абсцисса сохраняется". Записывают: sin(180° + α) = −sin α, cos(180° + α) = −cos α. |
2 мин | Учитель показывает на экране углы 90° − α и 90° + α: "При переходе к углу, связанному с 90°, синус и косинус меняются местами. Запомнить это можно по правилу: функция меняется на софункцию — синус на косинус, косинус на синус; знак определяем по четверти." Учитель предлагает проговорить формулы хором. | Записывают и проговаривают: sin(90° − α) = cos α; cos(90° − α) = sin α; sin(90° + α) = cos α; cos(90° + α) = −sin α. Объясняют знаки по четверти. |
2 мин | Учитель связывает тему с информатикой и инженерией: "В графических программах и навигации положение точки задаётся координатами, а поворот меняет эти координаты по тем же правилам. Поэтому формулы приведения — не набор случайных знаков, а описание симметрии и поворота. На экране появятся четыре выражения; определите, какую функцию и какой знак нужно получить." | Работают фронтально с экраном: преобразуют sin(180° − α), cos(180° + α), sin(90° − α), cos(90° + α), объясняют каждый ответ через координаты и четверть. |
Запись в тетрадях
sin(180° − α) = sin α; cos(180° − α) = −cos α; sin(180° + α) = −sin α; cos(180° + α) = −cos α; sin(90° − α) = cos α; cos(90° − α) = sin α; sin(90° + α) = cos α; cos(90° + α) = −sin α.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что формулы приведения можно не только заучивать, но и восстанавливать по симметрии окружности. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять оба сегодняшних инструмента."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение основного тождества и формул приведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выполните четыре задания. 1) Найдите sin α, если cos α = 0,6 и α — угол IV четверти. 2) Упростите sin(180° − α). 3) Упростите cos(90° + α). 4) Вычислите sin² α + cos² α при любом допустимом α. Записывайте промежуточные шаги, особенно знак корня." | Индивидуально решают задания: sin α = −0,8; sin(180° − α) = sin α; cos(90° + α) = −sin α; значение суммы равно 1. |
2 мин | Учитель показывает эталон и предлагает самопроверку: "Поставьте плюс рядом с верным заданием, рядом с ошибкой запишите её причину: неверно применили тождество, не определили знак или перепутали синус и косинус. Это не наказание, а диагностика шага, который нужно повторить." | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают количество верных ответов, фиксируют причину ошибки и поднимают карточку зелёного, жёлтого или красного цвета. |
Эталон решения
1) sin² α = 1 − 0,6² = 0,64; |sin α| = 0,8; в IV четверти sin α < 0, поэтому sin α = −0,8. 2) sin(180° − α) = sin α. 3) cos(90° + α) = −sin α. 4) sin² α + cos² α = 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок уже можно классифицировать: либо неверно найден квадрат, либо потерян знак, либо функция не приведена к софункции. В финале сформулируем, какой алгоритм забираем с собой и что нужно потренировать дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, определить индивидуальные затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите три фразы: «Сегодня я вывел…», «Теперь я умею…», «Мне нужно ещё потренировать…». Затем ответьте на контрольный вопрос: почему после извлечения корня нельзя автоматически брать только положительное значение? Поднимите цветную карточку: зелёная — могу решить сам, жёлтая — нужен ещё один пример, красная — требуется разбор алгоритма." | Формулируют ответы: "Я вывел основное тождество", "Умею находить неизвестную функцию", "Нужно потренировать формулы приведения". Объясняют: "Знак зависит от четверти". Показывают карточку самооценки. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте письменно на два вопроса: какое тождество связывает синус и косинус и как определить знак функции?" | Записывают выбранный уровень и два контрольных вопроса, сдают короткий билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто запомнили формулы, а вывели их из геометрической модели и проверили на задачах. Ошибка в знаке исправляется алгоритмом: четверть, функция, знак, проверка. На следующем уроке продолжим преобразование тригонометрических выражений."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены 4 задания самостоятельной работы, корректно применены основное тождество и формулы приведения, знак каждой функции обоснован.
- "4" — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в объяснении знака при сохранённом общем алгоритме.
- "3" — верно выполнены 2 задания из 4, основное тождество записано правильно, но имеются затруднения в извлечении корня или определении знака.
- Результаты парной игры учитываются как формирующая обратная связь и не заменяют индивидуальную оценку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня вывели, а не просто запомнили? | Проверка осознания происхождения основного тригонометрического тождества. |
Какой шаг алгоритма помогает выбрать знак функции? | Выявление понимания связи между четвертью окружности и знаком функции. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения в тождестве или формулах приведения. |
Насколько самостоятельно вы готовы решить аналогичное задание ОГЭ? | Субъективная оценка освоения темы и уровня учебной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели основное тригонометрическое тождество из уравнения единичной окружности и увидели, как оно помогает находить неизвестную функцию. Мы также установили, что формулы приведения описывают симметрию и смену координат, а не являются случайным набором правил. Самая частая ошибка — правильно извлечь корень, но забыть определить знак по четверти. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать тригонометрические выражения и будем постепенно увеличивать сложность заданий ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: в двух найти неизвестную тригонометрическую функцию по известной и четверти, в двух применить формулы приведения для углов 90° ± α и 180° ± α. Записать промежуточные вычисления и обоснование знака. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на запись квадрата функции, извлечение корня и выбор знака. |
Средний (повышающий) | Решить 5 смешанных заданий экзаменационного типа: три на основное тождество и два на преобразование выражений с формулами приведения, включая один пример с дробными значениями. | Формирует перенос алгоритма в новую ситуацию; проверить порядок действий и отсутствие подмены синуса косинусом. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на каждую четверть, где требуется найти неизвестную функцию или преобразовать выражение с углом 90° ± α либо 180° ± α. К каждому дать краткое объяснение выбора знака. | Развивает создание и оценку математической модели; при проверке смотреть на корректность условий, ответов и аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Что нужно сделать после нахождения квадрата неизвестной функции? Как по единичной окружности определить знак синуса и косинуса? Чем при приведении угла к 90° связан синус с косинусом?
