Тригонометрические формулы для площади треугольника и параллелограмма
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять формулы площади треугольника и параллелограмма через синус угла, решив не менее 4 практических задач разного уровня с точностью и обоснованием вычислений.
- Закрепить формулы площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ и параллелограмма $S=ab\sin\alpha$, а также распознавать необходимые элементы на чертеже.
- Научиться составлять краткую математическую модель задачи, выбирать формулу, выполнять вычисления и проверять разумность полученного ответа.
- Развивать умение работать в паре, объяснять ход решения, сравнивать способы и находить ошибки в вычислениях.
- Формировать уверенность при решении практических задач формата ОГЭ и ответственное отношение к взаимопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость тригонометрических формул площади.
- Снижают тревожность перед ОГЭ через выполнение посильных заданий с постепенным повышением сложности.
- Проявляют ответственность за точность вычислений и корректность взаимопроверки.
- Осознают ценность сотрудничества и уважительного обсуждения разных способов решения.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи длины сторон, величину угла и единицы измерения.
- Планируют последовательность решения: чертёж, выбор формулы, подстановка, вычисление, ответ.
- Сравнивают решения, выявляют ошибочные действия и аргументируют исправление.
- Используют математическую речь, таблицу критериев и средства взаимопроверки.
Предметные
- Знать формулы площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ и параллелограмма $S=ab\sin\alpha$.
- Уметь находить площадь по двум сторонам и углу между ними.
- Уметь выбирать подходящую формулу по условию и чертежу.
- Уметь применять значения синуса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ в практических вычислениях.
- Владеть навыком проверки единиц площади и оценки правдоподобия результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на практикум и соотносят её с подготовкой к ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при решении задачи повышенной сложности.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения себя с одноклассниками.
- Принимают необходимость аккуратной записи как условие надёжного результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения задачи по известным данным.
- Контролируют соответствие выбранной формулы условию.
- Проверяют вычисления и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и переводят текст задачи в математическую модель.
- Устанавливают связь между площадью, сторонами и синусом угла.
- Сравнивают формулы для треугольника и параллелограмма.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью чертежа и краткой записи.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Объясняют выбор формулы и задают уточняющие вопросы.
- Аргументированно принимают или корректируют решение партнёра.
- Согласуют общий ответ при расхождении результатов.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задачи на прямую подстановку, стандартные задачи с выбором формулы и творческую задачу; по одному комплекту на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки и критерии взаимопроверки по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить карточки с формулами и значениями синуса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — по одной на парту.
- Вывести на доску или экран памятку: «Чертёж — данные — формула — подстановка — вычисление — единицы — ответ».
- Подготовить два цветных маркера, стикеры трёх цветов и таймер.
- Организовать парную работу: соседи по парте получают общий лист решения и индивидуальную карточку.
- Подготовить презентацию или запись на доске с задачей формата ОГЭ и изображением параллелограмма.
- Проверить наличие у учеников линейки, транспортира, ручки и калькулятора не использовать, если вычисления предусмотрены вручную.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на практическую работу и показать связь темы с форматом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас практикум: теории будет минимум, зато мы разберём несколько задач и научимся быстро видеть нужную формулу. Проверьте, что на парте есть тетрадь, линейка и ручка. Работать будем в парах, но каждый отвечает за собственную запись." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает изображение участка дорожки в форме параллелограмма и говорит: "Представьте, что нужно рассчитать площадь материала для такой площадки. Известны две стороны и угол между ними. Какую величину мы ищем? Где подобная модель может встретиться в экзаменационной задаче?" Учитель фиксирует ответы и сообщает: "Сегодня мы отработаем алгоритм, который позволит уверенно решать такие задачи." | Формулируют ответы: "Площадь площадки"; "В задаче с чертежом или практическим сюжетом"; называют известные способы нахождения площади. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что задача имеет практический смысл. Теперь проверим, какие знания о площадях и синусе уже готовы нам помочь."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить формулы площадей и табличные значения синуса, необходимые для практикума.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Быстрый круг": "Назовите формулу площади прямоугольника, треугольника через основание и высоту, параллелограмма через основание и высоту. Отвечайте коротко, но называйте все величины." | По очереди формулируют: "$S=ab$"; "$S=\frac{1}{2}ah$"; "$S=ah$". |
2 мин | Учитель показывает карточки с углами: "Поднимите карточку со значением синуса для углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Если значение содержит корень, запишите его точно." | Поднимают карточки и записывают: "$\sin30^\circ=\frac12$", "$\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$", "$\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$", "$\sin90^\circ=1$". |
1 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если высота неизвестна, но известны две стороны и угол между ними, чего нам не хватает в обычной формуле? Как синус может заменить высоту?" | Обсуждают в парах и отвечают: "Высоту можно выразить через сторону и синус угла". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы площадей и значения синуса у нас есть. Теперь выясним, как получить формулу, если высота в условии не дана."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести практический алгоритм выбора формулы и сформулировать цель работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: "В треугольнике две стороны равны 6 см и 8 см, угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника. Высота не дана. Как начать решение?" Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": 30 секунд индивидуально, 1 минута обсуждения, затем ответы. | Сначала делают краткую запись, затем обсуждают в парах и предлагают: "Нужно использовать стороны 6 см и 8 см и синус угла между ними". |
2 мин | Учитель направляет вывод: "Запишем площадь через основание и высоту. Если высота выражается как произведение другой стороны на синус угла, какая формула получится? Сравните формулы для треугольника и параллелограмма." | Формулируют цель: "Научиться находить площадь по двум сторонам и углу между ними"; записывают формулы $S_{\triangle}=\frac12ab\sin C$ и $S_{\text{паралл}}=ab\sin\alpha$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
$S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin C$; $S_{\text{паралл}}=ab\sin\alpha$. Алгоритм: 1) выделить две стороны и угол между ними; 2) выбрать формулу; 3) подставить значения; 4) вычислить; 5) записать единицы площади.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема решена: высоту можно заменить произведением стороны на синус угла. Теперь проверим формулы на конкретных вычислениях и будем проговаривать каждый шаг."
Этап 4. Практическая работа в парах. Первичное закрепление (9 мин)
Цель этапа: отработать применение формул в базовых и стандартных задачах с взаимным объяснением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель разбирает образец: "В треугольнике стороны 6 см и 8 см образуют угол $30^\circ$. Найдите площадь. Сначала назовите формулу, затем подставим данные: $S=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin30^\circ$. Не пропускайте единицы." | Записывают решение: "$S=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\frac12=12$ см²"; объясняют, почему используется синус угла между сторонами. |
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки базового уровня: 1) параллелограмм со сторонами 5 см и 10 см и углом $30^\circ$; 2) треугольник со сторонами 4 см и 6 см и углом $90^\circ$. Инструкция: "Один ученик решает первую задачу, второй — вторую, затем обменяйтесь тетрадями и проверьте формулу, подстановку и единицы." | Решают в парах. Получают: $S=5\cdot10\cdot\frac12=25$ см²; $S=\frac12\cdot4\cdot6=12$ см². Взаимно отмечают правильные шаги. |
3 мин | Учитель предлагает стандартную задачу: "В параллелограмме стороны равны 8 см и 12 см, угол между ними $60^\circ$. Найдите площадь. Объясните, почему множитель $\frac12$ здесь не появляется." Учитель консультирует пары, которым нужна опора. | Решают: "$S=8\cdot12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=48\sqrt3$ см²"; объясняют: "Параллелограмм не делится формулой на два, поэтому используется $S=ab\sin\alpha$". |
Эталон решения
Для параллелограмма: $S=ab\sin\alpha=8\cdot12\cdot\sin60^\circ=96\cdot\frac{\sqrt3}{2}=48\sqrt3$ см². Для треугольника: $S=\frac12ab\sin C=\frac12\cdot4\cdot6\cdot1=12$ см².
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались на прямой подстановке и увидели главное различие: у треугольника есть множитель $\frac12$, у параллелограмма его нет. Теперь перейдём к задачам, где сначала нужно распознать модель."
Этап 5. Дифференцированная самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: индивидуально применить формулы в заданиях разной сложности и получить обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Каждый выбирает карточку по готовности. Уровень 1 — обязательная опора, уровень 2 — стандартная практика, уровень 3 — повышенная задача. Выбор уровня не является оценкой ваших способностей: цель — сделать следующий шаг." | Выбирают карточку и записывают на листе номер уровня. |
4 мин | Учитель предлагает уровень 1: задача 1 — найти площадь треугольника со сторонами 10 см и 6 см и углом $30^\circ$; задача 2 — найти площадь параллелограмма со сторонами 7 см и 4 см и углом $90^\circ$. На доске остаётся алгоритм. | Решают индивидуально: 15 см² и 28 см², записывают формулу и единицы. |
3 мин | Учитель предлагает уровень 2: "В треугольнике стороны 8 см и 5 см образуют угол $45^\circ$. Найдите площадь и оставьте ответ с корнем. Затем сравните результат с площадью прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см." | Решают: $S=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt2}{2}=10\sqrt2$ см²; сравнивают с 40 см² и делают вывод, что площадь треугольника меньше площади соответствующего параллелограмма. |
2 мин | Учитель предлагает уровень 3: "Площадь параллелограмма равна $24\sqrt3$ см², одна сторона равна 6 см, угол между сторонами $60^\circ$. Найдите вторую сторону." Напоминает: "Сначала запишите уравнение, затем выразите неизвестное." | Записывают $24\sqrt3=6b\cdot\frac{\sqrt3}{2}$, получают $24\sqrt3=3b\sqrt3$, поэтому $b=8$ см. |
Эталон решения
Для задачи повышенного уровня: $S=ab\sin60^\circ$, поэтому $24\sqrt3=6b\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3b\sqrt3$. Делим обе части на $3\sqrt3$: $b=8$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы выбрали посильный уровень и проверили себя вычислением. Сейчас мы посмотрим не только на ответ, но и на качество математического рассуждения: можно ли заметить ошибку и предложить более удачное решение."
Этап 6. Творческое задание и анализ ошибок (8 мин)
Цель этапа: применить формулы в новой ситуации, создать собственную задачу и аргументированно оценить решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "Спроектируйте план клумбы в форме треугольника или параллелограмма. Выберите две стороны, угол между ними из набора $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, задайте размеры и составьте задачу на нахождение площади. Решение должно содержать чертёж, формулу и ответ." | В парах выбирают фигуру, придумывают условие, выполняют чертёж и решают собственную задачу. |
3 мин | Учитель предлагает обмен: "Передайте задачу соседней паре. Проверьте, достаточно ли данных, правильно ли выбран угол, нет ли ошибки в формуле. Поставьте две звезды за сильные стороны и одно пожелание." | Решают задачу другой пары, отмечают два достоинства и один совет по критериям. |
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение: "$S=8\cdot5\cdot\sin45^\circ=20\sqrt2$ см² для треугольника" и спрашивает: "На каком шаге ошибка? Как исправить?" | Находят пропущенный множитель $\frac12$, исправляют: "$S=10\sqrt2$ см²", объясняют причину. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы не только применили готовую формулу, но и создали собственную задачу. Ошибка с множителем $\frac12$ типична, поэтому перед ответом всегда проверяйте, какая фигура дана."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: оценить освоение алгоритма, зафиксировать затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Покажите цвет: зелёный — могу сам выбрать формулу и решить; жёлтый — решаю с подсказкой; красный — нужно повторить связь площади и синуса. На листе самооценки завершите фразы: «Сегодня я научился…», «Мне нужно потренировать…»." | Поднимают карточку выбранного цвета, заполняют две фразы и отмечают выполненные умения. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какая формула используется для треугольника? Какой угол должен быть дан? Почему в формуле параллелограмма нет множителя $\frac12$? Какие единицы измерения записываем в ответе?" | Отвечают: "$S=\frac12ab\sin C$"; "угол между сторонами"; "параллелограмм не является половиной фигуры в этой формуле"; "квадратные единицы". |
2 мин | Учитель объявляет критерии и домашнее задание: "Оценка учитывает не только ответ, но и формулу, подстановку, единицы и объяснение. Выберите уровень домашней работы, ориентируясь на сегодняшнюю самооценку." | Фиксируют домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы отработали формулы площади треугольника и параллелограмма через синус угла, потренировались выбирать уровень и проверять решение. Ошибки в множителе и выборе угла теперь должны быть заметны вам самим. На следующем уроке продолжим решать задачи, где тригонометрические формулы будут связаны с другими элементами треугольника."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены не менее 90% заданий выбранной карточки, правильно выбраны формулы, записаны подстановка, вычисления и квадратные единицы; творческая задача содержит корректный чертёж и полное решение.
- «4» — верно решены не менее 70% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма; формула выбрана правильно.
- «3» — верно решены не менее 50% заданий при наличии записи формул и попытки обосновать решение; возможны ошибки в вычислениях или единицах, требующие коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу вы выбираете, если известны две стороны треугольника и угол между ними? | Проверка осознания ключевого алгоритма. |
На каком шаге решения сегодня возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: выбор формулы, синус, вычисления или оформление. |
Почему площадь треугольника содержит множитель $\frac12$, а площадь параллелограмма — нет? | Проверка понимания различия формул, а не механического запоминания. |
Какой уровень задания вы готовы выбрать на следующем уроке и почему? | Формирование адекватной самооценки и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить площадь треугольника и параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. Важно не перепутать фигуры, не забыть множитель $\frac12$ для треугольника и записать квадратные единицы. Вы показали, что умеете работать самостоятельно и проверять решение партнёра. На следующем уроке мы продолжим практику и включим эти формулы в более сложные задачи геометрии и формата ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение площади треугольника и параллелограмма по двум сторонам и углу $30^\circ$, $60^\circ$ или $90^\circ$. В каждом решении записать формулу, подстановку и единицы. | Закрепляет прямое применение формул; при проверке смотреть на выбор угла и наличие множителя $\frac12$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых по площади, одной стороне и углу требуется найти вторую сторону, а также одну задачу на сравнение площадей треугольника и параллелограмма. | Развивает преобразование формулы и математическое моделирование; проверять последовательность преобразований и точность сокращения корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о клумбе, площадке или детали в форме треугольника или параллелограмма. Использовать угол $45^\circ$ или $60^\circ$, выполнить чертёж и кратко объяснить выбор формулы. | Развивает создание математической модели и перенос знания в новый контекст; проверять достаточность данных, корректность чертежа и реалистичность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие две величины и какой угол нужны для применения формулы?», «Какую формулу использует треугольник?», «Какую формулу использует параллелограмм?», «В каких единицах записывается площадь?»
