Теоремы синусов и косинусов. Решение произвольных треугольников
Цели и задачи
- Цель: научиться применять теоремы синусов и косинусов для нахождения неизвестных сторон и углов произвольного треугольника в контексте подготовки к ОГЭ.
- Образовательная задача: вывести (или рассмотреть вывод) и закрепить формулировки теорем синусов и косинусов, сформировать навык выбора нужной теоремы в зависимости от условия задачи.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение анализировать условие задачи и строить математическую модель.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед экзаменом ОГЭ через отработку типовых заданий и алгоритмизацию действий.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие уверенности в своих силах при решении практико-ориентированных задач экзаменационного типа.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Навык использования знаково-символических средств для решения математических задач.
- Регулятивные навыки: планирование пути достижения цели, осознанный выбор наиболее эффективных способов решения.
Предметные
- Знать формулировки и математическую запись теорем синусов и косинусов.
- Уметь вычислять значения синуса и косинуса тупых углов через углы первой четверти.
- Уметь решать задачи на нахождение элементов треугольника по двум сторонам и углу между ними, или по стороне и двум углам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом (подготовка к ОГЭ).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков, выбор оснований для классификации треугольников и методов их решения.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с чертежами треугольников и условиями задач из банка ОГЭ (задание №15).
- Распечатать справочные таблицы значений тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° по количеству учеников.
- Подготовить карточки для самостоятельной работы с самопроверкой (3 варианта сложности).
- Проверить работоспособность проектора и интерактивной доски.
- Выписать на доску формулы приведения для тупых углов: sin(180°-α) = sinα, cos(180°-α) = -cosα.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, обозначить практическую значимость темы для предстоящего экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас важная тема. Посмотрите на слайд. Перед вами задача из открытого банка ОГЭ: 'В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, сторона BC равна 8√2. Найдите сторону AC'. Можем ли мы решить её прямо сейчас, используя только теорему Пифагора? Нет, ведь треугольник не прямоугольный. Сегодня мы вооружимся инструментами, которые позволят вам 'щелкать' такие задачи на экзамене за пару минут. Это теоремы синусов и косинусов». | Слушают учителя, смотрят на экран, осознают, что привычных инструментов для решения произвольного треугольника недостаточно. Записывают дату и тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, наша цель сегодня — расширить границы геометрии за пределы прямоугольного треугольника. Начнем с повторения того, что мы уже знаем».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определения синуса и косинуса, а также теорему Пифагора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте вспомним базу. Начертите в тетради прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Как найти синус угла A? Косинус угла A? Запишите формулу теоремы Пифагора. А теперь внимание: чему равен cos 120°? Помните ли вы формулу для тупых углов? Я вывесил подсказку на доске. Посмотрите на неё». Учитель указывает на формулы sin(180-α) и cos(180-α). | Чертят треугольник, записывают: sin A = a/c, cos A = b/c, a² + b² = c². Отвечают: «cos 120° = -cos 60° = -0,5». Записывают значения в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, фундамент заложен. Теперь переходим к главному — к теоремам, которые работают для ЛЮБЫХ треугольников».
Этап 3. Открытие нового знания: Теорема косинусов (10 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: познакомить с теоремой косинусов как обобщением теоремы Пифагора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Представьте, что теорема Пифагора — это частный случай более общей формулы. Если угол равен 90°, то его косинус равен нулю, и хвост формулы исчезает. Запишем теорему косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишите формулу: a² = b² + c² - 2bc * cos A». Учитель рисует произвольный треугольник и подписывает стороны и углы. | Записывают формулировку и формулу в рамку. Рисуют чертеж. |
5 мин | «Давайте решим задачу. В треугольнике стороны равны 5 и 8, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону. Кто хочет попробовать у доски? Помните, что cos 60° = 0,5». Учитель контролирует процесс вычислений. | Один ученик у доски, остальные в тетрадях: x² = 5² + 8² - 2*5*8*cos 60° = 25 + 64 - 80*0,5 = 89 - 40 = 49. Значит, x = 7. |
Эталон решения
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$$
$$x^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$$
$$x^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49$$
$$x = 7$$
$$x^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$$
$$x^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49$$
$$x = 7$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теорема косинусов незаменима, когда у нас есть две стороны и угол между ними. А что делать, если известны два угла и одна сторона? Здесь на помощь приходит теорема синусов».
Этап 4. Открытие нового знания: Теорема синусов (8 мин)
Цель этапа: изучить пропорциональную связь между сторонами и синусами противолежащих углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Теорема синусов гласит: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Запишем: a / sin A = b / sin B = c / sin C. А еще, ребята, это отношение равно двум радиусам описанной окружности (2R). Это часто встречается в задачах ОГЭ! Давайте вернемся к задаче, которую я показал в начале урока. У нас есть BC = 8√2, угол A = 45°, угол B = 30°. Нужно найти AC. Какую пару отношений мы возьмем?» | Записывают формулу: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Отвечают: «Возьмем BC/sin A = AC/sin B». Подставляют значения: 8√2 / sin 45° = AC / sin 30°. Вычисляют: 8√2 / (√2/2) = AC / 0,5. Получают AC = 8. |
Эталон решения
$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$
$$\frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{0.5}$$
$$16 = \frac{AC}{0.5} \implies AC = 8$$
$$\frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{0.5}$$
$$16 = \frac{AC}{0.5} \implies AC = 8$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у вас есть два мощных инструмента. Главное — правильно выбрать, какой применить. Если видим 'углы-пары' — синусы, если 'клещи' (две стороны и угол между ними) — косинусы».
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать навык выбора теоремы и выполнения расчетов в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Применяем приём 'Думай — Обсуди в паре — Поделись'. На карточках у вас две задачи. Задача 1: Найти сторону треугольника, если две другие 3 и 4, а угол между ними 120°. Задача 2: В треугольнике сторона 10 лежит против угла 150°. Найдите радиус описанной окружности. Обсудите с соседом, какую теорему использовать, и решите». Учитель проходит по рядам, помогая с cos 120° и формулой 2R. | Обсуждают. В первой задаче выбирают теорему косинусов, во второй — теорему синусов (a/sin A = 2R). Выполняют расчеты. Проверяют друг друга. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что многие справились с коварным косинусом тупого угла. Не забывайте про минус в формуле косинусов, когда угол тупой!»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала в формате мини-теста.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Сейчас каждый работает самостоятельно. На экране три задачи разного уровня сложности. Выберите любые две и решите их. Ответы запишите на листочках». | Выбирают задачи, решают индивидуально. |
2 мин | «А теперь посмотрите на эталон на слайде. Сравните свои решения. Если всё верно — поставьте себе '+'. Если ошиблись — найдите, где именно: в формуле или в арифметике». | Сверяют ответы с экраном, проводят самоанализ ошибок. |
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень понимания и дать инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Ребята, наш урок подходит к концу. Мы сегодня сделали большой шаг к успешной сдаче ОГЭ. Давайте подведем итоги с помощью приёма 'Светофор'. Поднимите зеленую карточку, если вы поняли обе теоремы и можете их применять. Желтую — если понимаете, но путаетесь в расчетах. Красную — если тема кажется очень сложной». Учитель фиксирует результат. | Поднимают карточки соответствующего цвета. Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи самостоятельной работы, продемонстрировано знание формул и умение работать с тригонометрическими значениями тупых углов.
- «4» — верно решены задачи, но допущена одна вычислительная ошибка при извлечении корня или умножении, либо не указаны единицы измерения.
- «3» — правильно выбрана теорема для решения, записана верная формула, но решение не доведено до конца или допущено более двух ошибок в расчетах.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая теорема показалась вам более простой в использовании? | Выявление субъективного предпочтения и уровня комфорта с материалом. |
В чем главная сложность при расчете по теореме косинусов для тупого угла? | Акцентирование внимания на типичной ошибке (знак косинуса). |
Где в реальной жизни может пригодиться умение находить расстояние между объектами, если мы знаем углы и одну сторону? | Связь с практикой и функциональной грамотностью (навигация, строительство). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы отлично поработали! Мы разобрали две фундаментальные теоремы геометрии, которые являются ключом к решению большинства задач на треугольники в экзамене. Помните: геометрия — это не только формулы, это логика и порядок. Если вы научитесь видеть структуру задачи, никакой ОГЭ вам не страшен. На следующем уроке мы разберем прикладные задачи на местности, где эти теоремы спасают геодезистов и моряков. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №1025 (а, б), №1030. | Отработка прямого применения формул синусов и косинусов для остроугольных треугольников. |
Средний (повышающий) | Задачи из открытого банка ОГЭ (ФИПИ), раздел 'Геометрия', задания №15 (3 задачи на выбор). | Подготовка к экзаменационному формату, работа с чертежами. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать теорему синусов через площадь треугольника. | Развитие навыков математического доказательства и глубокого понимания связей между темами. |
Контрольный вопрос перед уходом: «Чему равен косинус 135 градусов? Ответьте хором!» (Ответ: -√2/2).
