Теорема косинусов и теорема синусов: решение произвольных треугольников
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение применять теоремы синусов и косинусов для нахождения неизвестных сторон и углов в произвольных треугольниках при решении задач формата ОГЭ.
- Образовательная задача: Вывести теорему косинусов и теорему синусов, научить выбирать оптимальную теорему в зависимости от условия задачи.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через обобщение теоремы Пифагора и установление связей между сторонами и углами треугольника.
- Воспитательная задача: Повышать учебную мотивацию через демонстрацию практической значимости геометрии в экзаменационных задачах.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки.
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Навыки смыслового чтения — извлечение необходимой информации из условия геометрической задачи.
Предметные
- Знать формулировки и доказательства теорем синусов и косинусов.
- Уметь находить третью сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними.
- Уметь находить стороны треугольника по стороне и двум углам.
- Владеть навыками вычисления значений тригонометрических функций для углов от 0 до 180 градусов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками при обсуждении гипотез.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование познавательной цели.
- Составление плана и последовательности действий при решении расчетных задач.
- Оценка правильности выполнения действия и внесение корректив.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами математического языка.
Подготовка учителя к уроку
- Проверить наличие мела (белого и цветного для выделения элементов на чертежах).
- Подготовить чертежную линейку для построения треугольников на доске.
- Заранее выписать на скрытой части доски таблицу значений синусов и косинусов для углов 30, 45, 60, 120, 135, 150 градусов.
- Подготовить карточки с текстами задач формата ОГЭ (задание №15) для этапа самостоятельной работы.
- Проверить чистоту доски для обеспечения максимальной видимости записей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создание рабочей атмосферы, актуализация значимости темы для успешной сдачи ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня у нас очень важная тема. Мы переходим от изучения прямоугольных треугольников к произвольным. Как вы думаете, часто ли в жизни или в задачах ОГЭ встречаются треугольники, где нет прямого угла?" | Здороваются, настраиваются на работу. Отвечают: "Да, постоянно, почти во всех задачах на площади или четырехугольники". |
2 мин | "Совершенно верно. До сегодняшнего дня нашим главным оружием была теорема Пифагора. Но она работает только в 'элитном клубе' прямоугольных треугольников. Сегодня мы научимся решать ЛЮБОЙ треугольник. Эти знания — ключ к решению 15-го задания ОГЭ. Запишите тему урока: 'Теорема косинусов и теорема синусов'." | Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Прежде чем мы откроем новые формулы, давайте вспомним, что мы уже умеем делать с прямоугольными треугольниками."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение определений синуса, косинуса и теоремы Пифагора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель рисует на доске прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. "Напомните мне теорему Пифагора. А теперь скажите, чему равен косинус угла A? А синус? Нам также понадобятся значения для тупых углов. Кто помнит, чему равен $\cos(180^\circ - \alpha)$? А $\sin(180^\circ - \alpha)$?" | Отвечают: "$c^2 = a^2 + b^2$". Выходят к доске, записывают: $\cos A = b/c$, $\sin A = a/c$. Вспоминают формулы приведения: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. |
2 мин | "Отлично. Эти знания — наш фундамент. Теперь представьте, что угол C в нашем треугольнике перестал быть прямым. Он стал, например, 60 градусов. Будет ли работать формула $c^2 = a^2 + b^2$?" | Предполагают: "Нет, она изменится", "Гипотенузы больше нет, есть просто третья сторона". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Именно это изменение мы сейчас и исследуем. Мы выведем 'улучшенную' теорему Пифагора — теорему косинусов."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания: Теорема косинусов (12 мин)
Цель этапа: вывод теоремы косинусов через метод координат или введение высоты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель рисует произвольный треугольник ABC на доске. Вводит систему координат с началом в точке A(0,0). Сторона AB лежит на оси Ox. "Пусть сторона $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$. Координаты точки B — $(c, 0)$. Какие координаты у точки C, если угол A нам известен? Вспоминаем определение координат через синус и косинус." | Следят за построением. Один ученик у доски записывает координаты точки C: $(b \cos A, b \sin A)$. |
7 мин | "Теперь применим формулу расстояния между точками B и C. Квадрат расстояния $BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$. Давайте раскроем скобки вместе." Учитель пишет на доске: $a^2 = (b \cos A - c)^2 + (b \sin A - 0)^2$. "Диктуйте раскрытие квадратов." | Диктуют: $a^2 = b^2 \cos^2 A - 2bc \cos A + c^2 + b^2 \sin^2 A$. Замечают основное тригонометрическое тождество: $b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) = b^2$. Получают итоговую формулу: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. |
Запись в тетрадях
Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
Пример 1 (с решением)
Задача: В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найти третью сторону.
Решение:
1. Пусть $b = 5$, $c = 8$, $\angle A = 60^\circ$.
2. По теореме косинусов: $a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$.
3. Подставляем значения: $a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5$.
4. $a^2 = 89 - 40 = 49$.
5. $a = \sqrt{49} = 7$ см.
Ответ: 7 см.
Решение:
1. Пусть $b = 5$, $c = 8$, $\angle A = 60^\circ$.
2. По теореме косинусов: $a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$.
3. Подставляем значения: $a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5$.
4. $a^2 = 89 - 40 = 49$.
5. $a = \sqrt{49} = 7$ см.
Ответ: 7 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Заметьте, если угол A = 90°, то $\cos 90^\circ = 0$, и формула превращается в теорему Пифагора! А теперь узнаем, как связаны стороны и синусы углов."
Этап 4. Открытие нового знания: Теорема синусов (8 мин)
Цель этапа: вывод теоремы синусов через формулу площади треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Вспомните формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Запишем её тремя способами для одного и того же треугольника." | Записывают: $S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B$. |
4 мин | "Разделим все части этого равенства на $\frac{1}{2}abc$. Что получится?" Учитель сокращает записи на доске. | Выполняют деление и получают: $\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$. Переворачивают дроби для удобства: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. |
Запись в тетрадях
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
Пример 2 (с решением)
Задача: В треугольнике сторона $a = 10$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Найти сторону $b$.
Решение:
1. Используем теорему синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
2. Выражаем $b$: $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$.
3. Подставляем значения: $b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
4. Избавляемся от иррациональности: $b = 5\sqrt{6}$.
Ответ: $5\sqrt{6}$.
Решение:
1. Используем теорему синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
2. Выражаем $b$: $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$.
3. Подставляем значения: $b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
4. Избавляемся от иррациональности: $b = 5\sqrt{6}$.
Ответ: $5\sqrt{6}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть полный набор инструментов. Теорема косинусов хороша, когда есть 2 стороны и угол между ними, а теорема синусов — когда есть пары 'сторона-угол'."
Этап 5. Первичное закрепление и практика ОГЭ (10 мин)
Цель этапа: отработка навыка выбора теоремы и вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель пишет задачу на доске: "В треугольнике ABC стороны AB=4, BC=6, косинус угла B равен 1/3. Найти сторону AC. Какой теоремой воспользуемся?" | Отвечают: "Теоремой косинусов, так как даны две стороны и косинус угла между ними". Один ученик решает у доски: $AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6\cdot (1/3) = 16 + 36 - 16 = 36 \implies AC = 6$. |
5 мин | Учитель пишет вторую задачу: "В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, сторона BC = $2\sqrt{2}$. Найти сторону AC." | Решают в тетрадях: $\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} \implies AC = \frac{2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}/2)}{1/2} = 4$. Сверяют ответы. |
Эталон решения (задача 2)
$$\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 30^\circ}$$
$$AC = \frac{BC \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{0.5} = 4$$
$$AC = \frac{BC \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{0.5} = 4$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь. Теперь попробуйте решить задачу самостоятельно, как на настоящем экзамене."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: проверка усвоения материала в условиях индивидуальной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задачу: "В треугольнике стороны равны 3 и 5, а угол между ними 120°. Найти третью сторону. Внимание на знак косинуса тупого угла!" | Самостоятельно решают. $x^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos 120^\circ = 9 + 25 - 30\cdot (-0.5) = 34 + 15 = 49 \implies x = 7$. |
1 мин | Учитель открывает правильный ответ на доске и краткое решение. | Проверяют свои решения, исправляют ошибки в знаках. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самая частая ошибка — забыть минус в косинусе тупого угла. Будьте внимательны!"
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка уровня понимания.
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно выбрана теорема, безошибочно проведены вычисления во всех трех задачах этапа закрепления и самостоятельной работы.
- "4" — Верно выбрана теорема, но допущена одна вычислительная ошибка или ошибка в знаке тригонометрической функции.
- "3" — Ученик понимает, какую теорему использовать, но не может довести решение до конца или путает значения синусов/косинусов табличных углов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая теорема показалась вам более сложной для применения? | Выявление затруднений в алгоритме вычислений. |
В каком случае мы точно выбираем теорему косинусов? | Проверка осознанности выбора метода решения. |
Сможете ли вы теперь решить задачу №15 из ОГЭ по этой теме? | Субъективная оценка готовности к экзамену. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили прорыв: теперь для вас не существует 'нерешаемых' треугольников. Мы научились обходить ограничения теоремы Пифагора и работать с любыми углами. Помните, что геометрия — это не только формулы, но и умение видеть связи. На следующем уроке мы узнаем, как эти теоремы помогают найти радиус описанной окружности. Спасибо за работу!"
Контрольный вопрос: Чему равен косинус 150 градусов? (Ответ: $-\sqrt{3}/2$). Проверьте себя перед выполнением ДЗ!
