Сумма нескольких векторов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить сумму нескольких векторов, последовательно откладывая их по правилу треугольника, и изображать результат на чертеже с правильной записью равенства векторных сумм.
- Сформировать представление о сумме нескольких векторов как о последовательном сложении векторов и научить применять правило треугольника.
- Научить строить сумму двух и нескольких векторов на чертеже, используя начало первого и конец последнего вектора.
- Закрепить переместительное свойство сложения и свойство нулевого вектора как нейтрального элемента.
- Развивать умение читать геометрический чертёж, аргументировать способ решения и выполнять самопроверку по алгоритму; показать связь векторного метода с координатами и физическим описанием перемещений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность векторного метода для описания перемещений и направлений в математике, физике и инженерных задачах.
- Проявляют ответственное отношение к построению чертежа и проверке результата.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ благодаря работе по понятному пошаговому алгоритму.
- Развивают готовность обсуждать разные способы решения и корректно принимать обоснованную критику.
Метапредметные
- Извлекают информацию из схемы-памятки, условия задачи и геометрического чертежа.
- Планируют последовательность построения суммы нескольких векторов и контролируют соответствие результата условию.
- Сравнивают правило треугольника и правило параллелограмма, выбирая подходящий способ.
- Формулируют выводы, аргументируют решение и используют самооценку для выявления затруднений.
Предметные
- Знать, что сумма нескольких векторов может быть найдена последовательным применением правила треугольника.
- Уметь откладывать векторы последовательно: конец первого совмещать с началом второго и так далее.
- Уметь изображать сумму нескольких векторов вектором от начала первого до конца последнего.
- Уметь применять переместительное свойство и свойства нулевого вектора при преобразовании суммы.
- Уметь записывать результат построения в виде равенства векторов и проверять его по чертежу.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения векторов через связь с перемещениями и задачами ОГЭ.
- Проявляют познавательный интерес к поиску краткого и надёжного способа построения.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
- Соблюдают математическую культуру записи и аккуратность чертежа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют шаги построения суммы нескольких векторов.
- Сверяют чертёж с алгоритмом и исправляют ошибки в порядке действий.
- Оценивают результат по критериям: правильность, полнота записи, соответствие чертежу.
Познавательные УУД
- Выделяют начальную и конечную точки цепочки векторов.
- Моделируют сумму векторов с помощью геометрического чертежа.
- Сравнивают свойства сложения и устанавливают, что порядок слагаемых не влияет на сумму.
- Переводят условие задачи из словесной формы в графическую и обратно.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах, распределяя роли чертёжника и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы о начале и конце векторов.
- Объясняют партнёру каждый шаг построения.
- Аргументированно сравнивают варианты решения и корректно формулируют замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить изображение памятки «Сумма векторов» из предоставленного материала: определения, правило треугольника, правило параллелограмма и свойства сложения.
- Раздать каждому ученику лист с двумя заданиями: построить сумму трёх векторов и проверить запись по алгоритму.
- Подготовить карточки для работы в парах: схемы с векторами, обозначенными буквами a, b, c, и заданиями на выбор порядка сложения.
- Распечатать по одной памятке на парту и по одному листу самооценки на каждого ученика.
- На доске заранее оставить место для темы, алгоритма и контрольного равенства.
- Подготовить линейки, карандаши и ластики; проверить наличие проектorа или интерактивной доски для показа схемы.
- Вывести на экран схему последовательного сложения: A→B, B→C, C→D, итоговый вектор A→D.
- Подготовить короткую межпредметную ситуацию о перемещении тела: сначала на восток, затем на север, затем обратно на юг.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к применению суммы векторов в задаче о последовательных перемещениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка, линейка и карандаш. Сегодня нам особенно понадобится точность построения, потому что вектор нельзя заменить просто отрезком: важны его направление и длина." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, готовят линейки и карандаши. |
2 мин | Учитель показывает на экране цепочку перемещений и обращается к классу: "Представьте, что робот сначала прошёл из точки A в точку B, затем из B в C, а потом из C в D. Как одним вектором описать весь путь? Где он должен начинаться и где заканчиваться? Сегодня мы узнаем, как складывать не два, а несколько векторов." | Рассматривают схему, предполагают: "Итоговый вектор должен идти от A к D"; формулируют тему урока: "Сумма нескольких векторов". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что последовательные перемещения можно заменить одним итоговым вектором. Чтобы научиться строить его без ошибок, сначала восстановим уже известные правила сложения двух векторов."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения, обозначения и правила сложения двух векторов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает памятку и говорит: "Посмотрите на обозначения. Вектор обозначается строчной буквой со стрелкой или двумя заглавными буквами со стрелкой над ними. Напомните, что называется суммой двух векторов. Какой вектор получается по правилу треугольника?" | Отвечают: "Суммой векторов a и b называется вектор a+b, который получается по правилу треугольника или параллелограмма"; называют начало первого и конец второго вектора. |
3 мин | Учитель чертит два вектора и говорит: "Вспомним алгоритм. Сначала отложите вектор b от конца вектора a. Затем соедините начало a с концом b. Какая запись получится? Теперь назовите свойства, которые указаны в памятке." | В тетрадях повторяют схему; отвечают: "a+b=AC"; называют переместительное свойство a+b=b+a и свойства нулевого вектора a+0=a, 0+a=a. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Сумма двух векторов строится по правилу треугольника или параллелограмма. По правилу треугольника итоговый вектор соединяет начало первого с концом второго». Формулы: \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\), \(\vec a+\vec 0=\vec a\), \(\vec 0+\vec a=\vec a\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили два способа сложения и свойства суммы двух векторов. Теперь проверим, можно ли тем же правилом последовательно сложить три и более вектора."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при переходе от суммы двух векторов к сумме нескольких и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: \(\vec a+\vec b+\vec c\) и говорит: "Для двух векторов мы знаем, что нужно совместить конец первого с началом второго. Но что делать с третьим вектором? Куда его откладывать? Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ в паре." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают в парах; предполагают: "Третий вектор нужно отложить от конца второго". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги нужно выполнить, чтобы получить один итоговый вектор?" Учитель фиксирует на доске ответы и уточняет их. | Предлагают цель: "Научиться строить сумму нескольких векторов"; называют план: последовательно отложить векторы и соединить начало первого с концом последнего. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: нужно продолжить правило треугольника несколько раз. Сейчас мы выполним это построение и проверим, зависит ли результат от порядка слагаемых."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм сложения нескольких векторов через последовательное применение правила треугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Начертите произвольную ломаную ABCD. Пусть \(\vec{AB}=\vec a\), \(\vec{BC}=\vec b\), \(\vec{CD}=\vec c\). Первый вектор уже заканчивается в B, поэтому второй начинается в B. Третий начинается в C. Теперь проведите вектор от A к D. Как его можно записать?" Учитель поэтапно демонстрирует построение на экране. | Чертят ломаную ABCD, подписывают \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\), проводят \(\vec{AD}\); отвечают: "\(\vec{AD}=\vec a+\vec b+\vec c\)". |
3 мин | Учитель фиксирует алгоритм: "Первый шаг — отложить первый вектор. Второй — от его конца отложить второй. Третий — от конца второго отложить третий и так далее. Последний шаг — провести вектор от начала первого до конца последнего. Этот вектор и есть сумма всех слагаемых." | Записывают алгоритм из четырёх шагов, проговаривают его по цепочке: "начало первого — конец последнего". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если переставить слагаемые, изменится ли итоговая сумма? Например, можно ли сначала отложить c, затем a, затем b? Какое свойство это подтверждает?" | Сравнивают два чертежа, отвечают: "Порядок можно изменить, сумма не изменится"; называют переместительное свойство. |
Запись в тетрадях
Записывают правило: «Чтобы сложить несколько векторов, нужно последовательно отложить их так, чтобы конец каждого предыдущего совпадал с началом следующего. Вектор от начала первого до конца последнего является суммой данных векторов». Пример: \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AD}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли общий алгоритм: сумма нескольких векторов — это вектор от начала первого до конца последнего при последовательном откладывании слагаемых. Теперь применим его к конкретному чертежу и научимся объяснять решение полными предложениями."
Этап 5. Межпредметная связь и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на геометрической модели последовательного перемещения и связать его с физическим смыслом вектора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "В физике перемещение тела также можно рассматривать как вектор. Тело переместилось из A в B, затем из B в C и из C в D. Не путайте путь с перемещением: путь описывает всю длину движения, а перемещение соединяет начальную и конечную точки. Запишите, каким вектором выражается результирующее перемещение." | Рассматривают схему, записывают \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AD}\); объясняют: "Результирующее перемещение направлено от начальной точки A к конечной D". |
4 мин | Учитель раздаёт карточку и говорит: "Постройте сумму \(\vec p+\vec q+\vec r\). Отложите \(\vec q\) от конца \(\vec p\), затем \(\vec r\) от конца \(\vec q\). Обозначьте начальную точку A, промежуточные B и C, конечную D. После построения обменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте три пункта: соблюдена последовательность, проведён итоговый вектор, запись содержит три слагаемых." | Работают в парах 4 минуты; выполняют построение; по чек-листу взаимопроверки отмечают три критерия и формулируют замечание: "Необходимо продолжить третий вектор от точки C" или "Итоговый вектор проведён от A к D". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Геометрический алгоритм помогает описать и математическую сумму, и последовательное перемещение. Сейчас каждый самостоятельно покажет, что умеет выполнять построение и записывать результат без помощи партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом сложения нескольких векторов и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель говорит: "Выполните задание самостоятельно. Начертите ломаную ABCDE так, чтобы \(\vec{AB}=\vec a\), \(\vec{BC}=\vec b\), \(\vec{CD}=\vec c\), \(\vec{DE}=\vec d\). Проведите итоговый вектор и запишите сумму. Затем проверьте, что в записи четыре слагаемых и что итоговый вектор начинается в A и заканчивается в E." Учитель наблюдает, но не подсказывает готовый ответ. | Индивидуально строят ломаную ABCDE, проводят \(\vec{AE}\), записывают \(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec{AE}\), сверяют число слагаемых и направление стрелки. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте решение по шагам. Если ошибка есть, не стирайте её сразу: обведите место затруднения и рядом запишите, какой шаг алгоритма нарушен. Поднимите зелёную карточку, если всё совпало, жёлтую — если нужна проверка одного шага, красную — если требуется объяснение." | Сверяют чертёж с эталоном, используют цветовую самооценку, исправляют направление или обозначения; формулируют затруднение: "Я перепутал конец третьего вектора с концом итогового". |
Эталон решения
1) По условию \(\vec{AB}=\vec a\), \(\vec{BC}=\vec b\), \(\vec{CD}=\vec c\), \(\vec{DE}=\vec d\). 2) Векторы уже отложены последовательно: конец каждого предыдущего совпадает с началом следующего. 3) Итоговый вектор соединяет начало первого и конец последнего: \(\vec{AE}\). 4) Поэтому \(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DE}=\vec{AE}\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство из вас выполнило построение по алгоритму. Типичная ошибка — провести итоговый вектор только между соседними точками или потерять одно слагаемое. На последнем этапе обобщим правила и проверим, что осталось понятным каждому."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, зафиксировать затруднения и определить содержание дальнейшей самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту завершите две фразы: ‘Чтобы сложить несколько векторов, я…’ и ‘Теперь я умею…’. Затем отметьте в листе самооценки, какой шаг алгоритма выполняете уверенно, а какой нужно повторить." | Письменно завершают фразы; отмечают: "последовательно откладываю векторы" и "провожу вектор от начала первого к концу последнего"; указывают индивидуальное затруднение. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что называют суммой нескольких векторов? Куда направлен итоговый вектор? Какое свойство позволяет менять порядок слагаемых? Что произойдёт при добавлении нулевого вектора?" | Отвечают: "Итоговый вектор идёт от начала первого к концу последнего"; "порядок не влияет на сумму"; "нулевой вектор не изменяет сумму". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своей готовности. В каждом варианте обязательно соблюдайте алгоритм, подписывайте точки и проверяйте направление итоговой стрелки. Перед выходом ещё раз сравните свою запись с памяткой." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились складывать несколько векторов как одну последовательную цепочку. Вы умеете находить начало первого и конец последнего вектора, а также проверять запись по чертежу. Это базовый навык для дальнейших задач на векторы и координатный метод."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно построена ломаная из четырёх последовательных векторов, проведён итоговый вектор от начала первого к концу последнего, записано равенство с четырьмя слагаемыми, обозначения и стрелки выполнены аккуратно.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна неточность в обозначении точки, направлении стрелки или оформлении записи; итоговый вектор определён правильно.
- «3» — построена только часть цепочки либо итоговый вектор проведён с помощью; сохранено понимание, что сумма связывает начало первого и конец последнего вектора.
- Ниже «3» — нарушена последовательность откладывания векторов, отсутствует итоговый вектор или запись не соответствует чертежу; требуется повторное выполнение по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о сумме нескольких векторов? | Выявление осознания основного правила последовательного сложения. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения в построении и планирование коррекции. |
Как вы проверяли, что итоговый вектор построен правильно? | Проверка сформированности самоконтроля и умения соотносить запись с чертежом. |
Где может пригодиться сложение нескольких векторов, кроме геометрии? | Осознание межпредметной связи с физикой и практического смысла темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились складывать не только два, но и несколько векторов. Главное правило состоит в том, что векторы откладываются последовательно, а сумма соединяет начало первого с концом последнего. Следите за типичной ошибкой: итоговый вектор нельзя проводить между произвольными соседними точками. На следующем уроке мы продолжим применять векторы при решении геометрических задач и будем внимательнее связывать чертёж с алгебраической записью."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 построения суммы трёх и четырёх векторов по правилу треугольника; для каждого чертежа записать равенство от начала первого до конца последнего вектора. | Закрепить основной алгоритм; при проверке смотреть на последовательность откладывания и число слагаемых. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задания на преобразование суммы с использованием переместительного свойства и свойства нулевого вектора, а также выполнить одно построение суммы четырёх векторов в изменённом порядке. | Закрепить свойства сложения и умение выбирать удобный порядок слагаемых; проверить обоснование каждого преобразования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о последовательном перемещении объекта через четыре точки, изобразить траекторию и записать результирующее перемещение как сумму нескольких векторов. | Перенести алгоритм в реальный контекст и развить умение создавать математическую модель; проверить полноту условия, чертёж и корректность итоговой записи. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как построить сумму четырёх векторов? От какой точки до какой проводится итоговый вектор? Как изменится сумма при добавлении нулевого вектора? Почему порядок слагаемых можно менять?»
