Урок повторения. Окружность. Касательная к окружности и ее свойства
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать знания о свойствах касательной к окружности и отработать навыки их применения при решении задач формата ОГЭ (задания №16, №17).
- Образовательная задача: Повторить определение касательной, теорему о перпендикулярности радиуса и касательной, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.
- Развивающая задача: Развивать навыки критического мышления через поиск ошибок в готовых решениях и анализ геометрических конфигураций.
- Воспитательная задача: Снизить уровень экзаменационной тревожности через отработку алгоритмов решения типовых задач и формирование ситуации успеха.
- Межпредметная задача: Показать связь геометрии с физикой на примере направления вектора мгновенной скорости при движении по окружности.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие готовности к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ГИА).
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять главное, структурировать знания, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, аргументировать свою позицию.
Предметные
- Знать определение касательной к окружности и её ключевые свойства.
- Уметь применять теорему о касательной и радиусе для нахождения углов и длин отрезков.
- Владеть методами решения комбинированных задач на окружность и многоугольники, встречающихся в КИМ ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание значимости темы для успешной сдачи экзамена).
- Смыслообразование (установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами языка.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими чертежами в GeoGebra (свойства касательной).
- Распечатать карточки с заданиями из открытого банка ОГЭ (ФИПИ) — 25 экземпляров.
- Подготовить набор цветных маркеров для работы на доске (выделение радиусов и касательных).
- Обеспечить доступ к мультимедийному проектору и интерактивной доске.
- Подобрать видеофрагмент (30 сек) с демонстрацией искр от точильного круга (связь с физикой).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, обозначить практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня на уроке мы не просто повторяем геометрию, мы занимаемся инвестициями в ваше будущее. Тема 'Окружность' — это гарантированные 1-2 балла в первой части ОГЭ и возможность набрать дополнительные баллы во второй. Взгляните на экран (демонстрирует видео с искрами от точильного круга). Почему искры летят именно так? Физики скажут: по инерции. Математики уточнят: по касательной. Сегодня мы вспомним всё, что знаем об этой линии, чтобы на экзамене она не 'ускользнула' от вас. Запишите число и тему урока." | Приветствуют учителя, проверяют готовность мест. Смотрят видеофрагмент, отвечают на вопрос о направлении искр. Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что геометрия окружает нас повсюду. Теперь давайте вспомним строгие правила, по которым живет касательная."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти теоретические сведения, необходимые для решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Проведем блиц-опрос. Я начинаю утверждение, вы — заканчиваете. 1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется... 2. Касательная к окружности перпендикулярна... 3. Отрезки касательных, проведенных из одной точки... 4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на..." Учитель фиксирует ключевые схемы на доске с помощью магнитных моделей. | Отвечают хором или по поднятой руке: "1. Касательной. 2. Радиусу, проведенному в точку касания. 3. Равны. 4. Биссектрисе этого угла." |
3 мин | "Теперь посмотрите на интерактивную доску. Перед вами чертеж в GeoGebra. Я двигаю точку A вне окружности. Что происходит с отрезками касательных AB и AC? Что происходит с углом между ними? Посмотрите на треугольник ABO. Какой он? Почему?" | Наблюдают за динамическим чертежом. Отвечают: "Отрезки AB и AC всегда остаются равными. Треугольник ABO — прямоугольный, так как радиус OB перпендикулярен касательной AB." |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Свойство 1: $l \perp R$ (в точке касания).
- Свойство 2: $AB = AC$ (отрезки из одной точки).
- Свойство 3: $\angle BAO = \angle CAO$ (центр на биссектрисе).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теорию мы освежили. Переходим к главному — к практике, которая ждет вас в бланках ответов."
Этап 3. Решение типовых задач ОГЭ (12 мин)
Цель этапа: отработка алгоритмов решения задач №16 и №17 из открытого банка ФИПИ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Задача №1. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12, AO = 13. Кто желает выйти к доске? Ребята, помните: в таких задачах всегда ищите прямоугольный треугольник!" | Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях. Ученик у доски: "Проведем радиус OB в точку касания. По свойству касательной $\angle OBA = 90^{\circ}$. Значит, $\triangle OBA$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $OB^2 + AB^2 = AO^2$. Пусть $OB = r$, тогда $r^2 + 12^2 = 13^2$. $r^2 = 169 - 144 = 25$. $r = 5$. Ответ: 5." |
6 мин | "Задача №2 (усложненная). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен $60^{\circ}$. Расстояние от этой точки до центра окружности равно 10. Найдите радиус. Обратите внимание на угол! Если вы видите $60^{\circ}$ или $120^{\circ}$ в задачах с касательными — ищите треугольник с углами $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$." | Ученики анализируют чертеж. Выводят: "Линия, соединяющая точку с центром, является биссектрисой, значит в прямоугольном треугольнике угол равен $30^{\circ}$. Катет против угла в $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы. Радиус равен $10 / 2 = 5$." |
Эталон решения (Задача №1)
1. $OB \perp AB$ (свойство касательной).
2. В $\triangle OBA$ ($\angle B = 90^{\circ}$): $r = \sqrt{AO^2 - AB^2}$.
3. $r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$.
2. В $\triangle OBA$ ($\angle B = 90^{\circ}$): $r = \sqrt{AO^2 - AB^2}$.
3. $r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с базовыми задачами. Но на ОГЭ бывают коварные формулировки. Давайте проверим вашу бдительность."
Этап 4. Дифференцированная работа в парах (10 мин)
Цель этапа: развитие навыков взаимообучения и применение знаний в измененной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | "Используем приём 'Think-Pair-Share'. У вас на столах карточки с двумя задачами. Первая — стандартная, вторая — со 'звездочкой' (на вписанную окружность в трапецию). Сначала 2 минуты думаете сами, затем 3 минуты обсуждаете с соседом, и мы проверяем результат. Начинаем!" | Индивидуально решают задачи. Затем в парах сравнивают ответы и ход решения. Если ответы не совпадают, ищут ошибку друг у друга. Представители пар озвучивают ответы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Работа в парах показала, что вы умеете слушать друг друга. Это важно не только для математики, но и для жизни."
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять зрительное напряжение и физическую усталость.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Ребята, девятый класс — это большая нагрузка на глаза. Давайте проведем 'геометрическую зарядку'. Встаньте. Представьте перед собой большую окружность. Очертите её глазами по часовой стрелке, затем против. Теперь 'нарисуйте' носом касательную к этой окружности слева, затем справа. Потянитесь вверх, как будто вы — радиус, стремящийся к бесконечности. Садитесь." | Выполняют упражнения для глаз и общую разминку, следуя инструкциям учителя. |
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностика уровня усвоения материала и коррекция ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Пришло время финальной проверки. Приём 'Билет на выход'. Перед вами мини-тест из 3 вопросов (2 теоретических, 1 задача). Работаем самостоятельно. Ответы записываем в бланки, которые я раздал." | Самостоятельно решают тест. Фокусируются на точности вычислений. |
2 мин | "Внимание на экран. Сверьте свои ответы с эталоном. Если у вас всё верно — поставьте себе '+'. Если есть ошибка — обведите её и запишите правильный вариант. Кто решил всё без ошибок?" | Проводят самопроверку. Поднимают руки те, кто справился успешно. Анализируют свои ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Этот тест показал, над чем еще стоит поработать дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подведение итогов урока, постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Мы повторили свойства касательной и убедились, что задачи ОГЭ по этой теме вполне решаемы. Запишите домашнее задание. Оно разделено на уровни, выберите тот, который вам сейчас ближе." | Записывают домашнее задание. Участвуют в итоговой беседе, оценивают свою работу на уроке. |
Критерии оценивания практической работы
- Оценка «5»: Верно решены все задачи практической работы и теста, чертежи выполнены аккуратно, логика решения обоснована ссылками на теоремы.
- Оценка «4»: Верно решены 80% заданий, допущены незначительные вычислительные ошибки при верном ходе рассуждения.
- Оценка «3»: Верно решены только базовые задачи на прямое применение свойств касательной (нахождение радиуса через теорему Пифагора).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство касательной кажется вам самым 'полезным' для ОГЭ? | Осознание ключевых инструментов решения задач. |
В какой момент решения задачи вы почувствовали затруднение? | Выявление слабых мест в алгоритме (чертеж, вычисления, логика). |
Насколько вы уверены в решении задачи №16 сейчас по шкале от 1 до 10? | Субъективная оценка готовности к экзамену и уровня тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сделали еще один шаг к успешной сдаче ОГЭ. Помните, что геометрия не любит суеты, она любит точность и внимание к деталям. Даже если сегодня что-то не получилось — у нас есть время всё исправить. Касательная — это линия, которая лишь касается окружности, но ваши знания должны проникать глубоко в суть предмета. До встречи на следующем уроке, где мы разберем углы в окружности!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №635, №639; РешуОГЭ: 5 задач из раздела 'Касательная'. | Отработка стандартных формул и свойств. |
Средний (повышающий) | Карточка №2: Задачи на комбинацию касательной и хорды. | Развитие навыка работы с комбинированными чертежами. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача №24 из демоверсии ОГЭ (вторая часть). | Подготовка к решению задач с развернутым ответом и доказательством. |
Контрольный вопрос: 'Может ли расстояние от центра окружности до прямой быть меньше радиуса, если эта прямая является касательной?'
