Подобие треугольников: ключевой инструмент для решения задач ОГЭ
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение распознавать подобные треугольники по трем признакам и применять коэффициент подобия для нахождения линейных элементов и площадей в задачах формата ОГЭ.
- Образовательная задача: Изучить признаки подобия треугольников и свойство отношения площадей подобных фигур.
- Развивающая задача: Развивать навыки геометрического моделирования реальных ситуаций (задачи на тень, высоту объектов).
- Воспитательная задача: Снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку алгоритмов решения типовых заданий №15 и №23.
- Методическая задача: Продемонстрировать связь между теорией подобия и практическим применением в измерительных работах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе собственных ошибок в геометрических построениях.
- Осознание важности математических знаний для будущей профессиональной деятельности и успешной сдачи ОГЭ.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Навык перевода реальной ситуации на язык геометрии (создание математической модели).
- Способность организовывать учебное сотрудничество в парах при проверке гипотез.
Предметные
- Знать формулировки трех признаков подобия треугольников.
- Уметь находить коэффициент подобия k и использовать его для вычисления неизвестных сторон.
- Владеть свойством отношения площадей подобных треугольников (S1/S2 = k²).
- Уметь решать практико-ориентированные задачи на подобие из открытого банка ФИПИ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между изучением подобия и успешным выполнением второй части экзаменационной работы.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит освоить.
- Самоконтроль: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с чертежами-заготовками для этапа открытия нового знания (15 экз. — по одному на парту).
- Подготовить презентацию с визуализацией признаков подобия и задачами из ОГЭ (№15).
- Распечатать карточки для самостоятельной работы с задачами двух уровней сложности.
- Подготовить динамическую модель в GeoGebra (или аналогичном ПО) для демонстрации изменения площадей при изменении k.
- Проверить наличие чертежных инструментов у учащихся (линейка, карандаш).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать «крючок» интереса через практическую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем одну из самых "прибыльных" тем в плане баллов ОГЭ. Посмотрите на слайд. Перед вами фотография: человек стоит рядом с деревом в солнечный день. Зная рост человека и длину его тени, а также длину тени дерева, мы можем узнать высоту дерева, не забираясь на него. Как вы думаете, какая геометрическая фигура здесь спрятана?» | Приветствуют учителя. Внимательно смотрят на слайд. Отвечают: «Здесь два прямоугольных треугольника, образованных объектами и их тенями». |
2 мин | «Верно. Но эти треугольники не равны, они просто похожи, как уменьшенная копия. В геометрии это называется подобием. Сегодня мы станем детективами: научимся доказывать подобие и использовать его, чтобы находить любые расстояния. Запишите тему урока: "Подобие треугольников".» | Записывают число и тему урока в тетради. Настраиваются на изучение темы, понимая её практическую значимость. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что подобие окружает нас в жизни. Теперь давайте вспомним, что мы уже знаем о треугольниках, чтобы двигаться дальше».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить признаки равенства треугольников как базу для сравнения с подобием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним: что нужно, чтобы два треугольника были абсолютно равны? Используем приём "Снежный ком". Один называет признак, другой добавляет условие». Учитель фиксирует на доске кратко: ССС, СУС, УСУ. | Ученики по очереди называют признаки равенства: «По трем сторонам», «По двум сторонам и углу между ними», «По стороне и двум прилежащим углам». |
2 мин | «А теперь посмотрите на чертёж на доске: треугольник ABC со сторонами 3, 4, 5 и треугольник A1B1C1 со сторонами 6, 8, 10. Равны ли они? Нет. Но есть ли между ними связь? Попробуйте сформулировать, в чем она заключается». | Отвечают: «Они не равны, но стороны второго ровно в два раза больше сторон первого. У них одинаковая форма, но разный размер». Фиксируют затруднение: мы видим связь, но не знаем, как её научно назвать и доказать. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы видим пропорциональность сторон. Это и есть ключ к подобию. Наша задача — понять, сколько условий достаточно проверить, чтобы уверенно заявить: треугольники подобны».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания: Исследование (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую деятельность вывести признаки подобия и свойство площадей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Работаем в парах. У вас на столах карточки с двумя треугольниками. Задание группе №1: измерьте углы треугольников. Задание группе №2: проверьте отношение соответствующих сторон. Сделайте вывод: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, что можно сказать об их сторонах?» Учитель направляет обсуждение к Первому признаку подобия (по двум углам). | Работают с транспортирами и линейками. Обнаруживают, что если углы равны, то отношения сторон (a/a1, b/b1, c/c1) дают одно и то же число. Формулируют гипотезу первого признака. |
4 мин | «Вводим понятие коэффициента подобия k. Это то самое число, которое показывает, во сколько раз один треугольник больше другого. А теперь важный вопрос для ОГЭ: если стороны выросли в k раз, во сколько раз вырастет площадь? Посмотрите на квадрат со стороной 1 и квадрат со стороной 2. Площадь первого — 1, второго — 4. Коэффициент k=2, а площади относятся как 1 к 4. Какая здесь закономерность?» | Анализируют пример с квадратами. Приходят к выводу: «Площади относятся как квадрат коэффициента подобия». Записывают в тетрадь формулу: S1/S2 = k². |
3 мин | Учитель выводит на экран слайд с тремя признаками подобия: 1) По двум углам (самый частый на ОГЭ!); 2) По двум пропорциональным сторонам и углу между ними; 3) По трем пропорциональным сторонам. «Запишите эти формулировки в виде кратких схем в тетрадь». | Перерисовывают схемы признаков подобия, выделяя главный признак (по двум углам) восклицательным знаком. |
Запись в тетрадях
Определение: ΔABC ∼ ΔA1B1C1, если ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1 и AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1 = k.
Признак 1 (ОГЭ): Если ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то ΔABC ∼ ΔA1B1C1.
Свойство площадей: S/S1 = k².
Признак 1 (ОГЭ): Если ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то ΔABC ∼ ΔA1B1C1.
Свойство площадей: S/S1 = k².
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вооружились теорией. Теперь проверим, как эти знания превратятся в ваши баллы на экзамене».
Этап 4. Первичное закрепление. Решение прототипа ОГЭ (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм решения типовой задачи №15 на нахождение высоты объекта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Разберем классическую задачу из открытого банка ФИПИ. Условие: Рост человека 1,8 м, длина его тени 0,9 м. В то же время длина тени дерева 6 м. Найдите высоту дерева в метрах. Рисуем чертеж: два прямоугольных треугольника». | Рисуют два прямоугольных треугольника в тетради, обозначают катеты (объект и тень). |
6 мин | «Почему эти треугольники подобны? Правильно, по двум углам: оба прямые (объекты стоят вертикально) и угол падения солнечных лучей одинаков. Составим пропорцию. Пусть x — высота дерева. Тогда x / 1,8 = 6 / 0,9. Решите уравнение методом креста». Учитель контролирует вычисления. | Один ученик у доски: «x = (1,8 * 6) / 0,9. Заметим, что 1,8 / 0,9 = 2. Значит, x = 2 * 6 = 12. Ответ: 12 метров». Остальные записывают решение, проверяя логику. |
Эталон решения
1. Δ1 ∼ Δ2 по двум углам (∠90° и общий угол наклона лучей).
2. k = L_тени_дерева / L_тени_чел = 6 / 0,9 = 60 / 9 = 20/3.
3. H_дерева = H_чел * k = 1,8 * (20/3) = 0,6 * 20 = 12 (м).
Ответ: 12.
2. k = L_тени_дерева / L_тени_чел = 6 / 0,9 = 60 / 9 = 20/3.
3. H_дерева = H_чел * k = 1,8 * (20/3) = 0,6 * 20 = 12 (м).
Ответ: 12.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Видите? Задача решается в три строчки, если правильно увидеть подобие. Теперь попробуйте сами».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы и тренировка внимательности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Перед вами две задачи. Первая — базовая (найти сторону). Вторая — со "звездочкой" (найти площадь, зная коэффициент). Время пошло, работаем самостоятельно». Задачи: 1) В ΔABC сторона AB=10, в подобном ему ΔA1B1C1 сторона A1B1=5. Найдите BC, если B1C1=4. 2) Площадь ΔABC равна 40. Найдите площадь подобного ему ΔA1B1C1, если k=1/2. | Решают задачи в тетрадях. В первой задаче находят k=2 и вычисляют BC=8. Во второй задаче применяют формулу S2 = S1 * k² = 40 * 1/4 = 10. |
2 мин | «Стоп. Посмотрите на экран — там эталон ответов. Оцените себя: за две верные задачи — "5", за одну — "3". Кто допустил ошибку во второй задаче, забыв возвести k в квадрат?» | Сверяют ответы. Поднимают руки те, кто совершил типичную ошибку (забыл про квадрат k). Анализируют причину ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Эта ошибка с площадью — самая частая на ОГЭ. Запомните: площади — это квадраты сторон, значит и k должен быть в квадрате!»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте заполним "Билет на выход". Напишите на листочке: 1. Самый понятный признак подобия. 2. В чем разница между k и k²? 3. Насколько вы чувствуете себя уверенно в этой теме по шкале от 1 до 5». | Заполняют короткие анкеты-билеты, сдают их учителю при выходе. |
3 мин | «Домашнее задание будет дифференцированным. Запишите номера из учебника и задачу с платформы "Решу ОГЭ". Спасибо за работу, сегодня мы сделали большой шаг к успешному экзамену!» | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Ученик верно определил подобие треугольников, правильно составил пропорцию и нашел неизвестный элемент без вычислительных ошибок. Решена задача на площади с использованием k².
- «4» — Ученик верно определил подобие и составил пропорцию, но допустил одну негрубую вычислительную ошибку или забыл возвести коэффициент в квадрат при нахождении площади.
- «3» — Ученик понимает принцип подобия, но испытывает трудности с составлением пропорции или соответствием сторон (путает, какая сторона какой соответствует).
Рефлексия (анализ для учителя)
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие в признаках подобия кажется тебе самым простым? | Выявление наиболее усвоенного материала (обычно это 1-й признак). |
В чем главная ловушка при вычислении площади подобных фигур? | Проверка осознания того, что отношение площадей равно k². |
Сможешь ли ты объяснить младшему брату, как измерить высоту дома с помощью линейки и тени? | Оценка уровня понимания практического применения темы (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы изучили одну из фундаментальных тем геометрии. Подобие — это не просто равенство углов, это гармония пропорций. На экзамене задачи на подобие встречаются как в первой, так и во второй части (задание №23), поэтому ваш сегодняшний успех — это реальный вклад в будущую оценку. Если дома при решении задач возникнут трудности с составлением пропорции, вернитесь к нашему чертежу с "человеком и деревом". До встречи на следующем уроке, где мы разберем более сложные случаи подобия в трапециях и окружностях!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №541, №548 | Задачи на прямое применение признаков подобия и нахождение неизвестных сторон по готовым чертежам. |
Средний (повышающий) | Решу ОГЭ: №311235, №311236 | Практико-ориентированные задачи (задание №15 ОГЭ) про фонари, тени и колодцы. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача №23 ОГЭ (из любого варианта) | Доказать подобие треугольников, образованных при пересечении диагоналей трапеции, и найти отношение их площадей. |
Контрольный вопрос: Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить в 5 раз? (Ответ должен быть готов к началу следующего урока).