Подобие треугольников и комбинации с окружностями
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно выводить и применять свойства пересекающихся хорд и секущих, используя признаки подобия треугольников, для решения задач формата ОГЭ (№16, №23).
- Образовательные задачи: доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд; рассмотреть свойство касательной и секущей; сформировать навык поиска подобных треугольников в конструкциях с окружностью.
- Развивающие задачи: развивать навыки геометрической зоркости, логического мышления и умения выдвигать гипотезы через работу с динамическими моделями.
- Воспитательные задачи: способствовать снижению уровня тревожности перед ОГЭ через отработку алгоритмов решения задач повышенной сложности; развивать навыки конструктивного сотрудничества в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе собственных ошибок.
- Повышение учебной мотивации через понимание практической значимости геометрии для успешной сдачи экзаменов.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать её с позицией партнёра.
Предметные
- Знать и уметь доказывать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.
- Знать свойство отрезков секущих и касательной, проведённых из одной точки.
- Уметь находить подобные треугольники в окружности по двум углам (через вписанные углы).
- Владеть методами решения задач ОГЭ на комбинации подобия и окружностей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание «зачем мне это нужно» в контексте ОГЭ).
- Смыслообразование (связь между теорией и практическим результатом).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Контроль и коррекция в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (поиск равных углов в окружности).
- Выбор оснований и критериев для сравнения подобных фигур.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивную модель в GeoGebra «Пересекающиеся хорды и подобие» для демонстрации на экране.
- Распечатать рабочие листы с заготовками чертежей для этапа открытия нового знания (по 1 на каждого ученика).
- Подготовить карточки для парной работы с задачами трёх уровней сложности (A, B, C).
- Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, интерактивная доска, чертёжные инструменты.
- Открыть учебник (Геометрия 7-9, Л.С. Атанасян) на странице 171.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к работе, создать установку на успех в контексте предстоящего экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас урок-исследование. Мы будем работать с одной из самых красивых и часто встречающихся тем в ОГЭ. Посмотрите на слайд: здесь представлены задачи №16 и №24 из демоверсии. Что их объединяет?» | Ученики приветствуют учителя, смотрят на экран, анализируют чертежи. Отвечают: «Везде есть окружности и треугольники», «Нужно искать углы или отрезки». |
2 мин | «Верно. Но секрет в том, что большинство этих задач решаются через один и тот же метод — подобие. Сегодня вы сами откроете теоремы, которые позволят вам щелкать такие задачи как орехи. Готовы стать исследователями?» | Ученики настраиваются на работу, открывают тетради, записывают дату и тему урока: «Подобие в окружности». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично! Чтобы наше исследование прошло успешно, давайте вспомним наш главный инструмент — признаки подобия треугольников».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (признаки подобия, свойства вписанных углов), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Приём "Блиц-опрос". Отвечаем быстро: 1) Сформулируйте первый признак подобия треугольников. 2) Чему равен вписанный угол? 3) Что можно сказать об углах, опирающихся на одну и ту же дугу?» Учитель выводит на экран схему окружности с двумя вписанными углами. | Ученики отвечают: 1) «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого...» 2) «Половине дуги, на которую он опирается». 3) «Они равны между собой». |
2 мин | «Посмотрите на чертеж на экране (модель GeoGebra). Я двигаю точки на окружности. Какие углы остаются равными? Почему? Как это поможет нам найти подобные треугольники?» | Ученики следят за динамической моделью, называют равные углы: «Угол ABC равен углу ADC, так как они опираются на дугу AC». Делают вывод, что вписанные углы — ключ к поиску подобия. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили базу. Теперь переходим к самому интересному — к открытию новых свойств».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через создание проблемной ситуации подвести учащихся к доказательству теоремы о пересекающихся хордах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Проблема: В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке P. Известно, что AP = 4, PB = 6, CP = 3. Чему равен отрезок PD? Есть ли здесь подобные треугольники? Попробуйте соединить точки так, чтобы они появились». Учитель раздает рабочие листы. | Ученики выполняют построение в рабочих листах. Соединяют точки A и C, B и D (или A и D, B и C). Ищут подобные треугольники. |
5 мин | «Приём "Сократовский диалог". Какие углы равны в треугольниках APC и DPB? Почему? По какому признаку треугольники подобны? Запишите отношение сходственных сторон». Учитель контролирует записи в тетрадях. | Ученики доказывают: 1) ∠APC = ∠DPB (вертикальные); 2) ∠CAP = ∠BDP (вписанные, опираются на дугу CB). Следовательно, ΔAPC ~ ΔDPB по двум углам. Записывают: AP/DP = CP/BP. |
4 мин | «Используя свойство пропорции, преобразуйте равенство. Что получилось? Сформулируйте теорему словами». Учитель записывает формулу на доске: AP * PB = CP * PD. | Ученики перемножают крайние и средние члены: AP * BP = CP * DP. Формулируют: «Произведения отрезков пересекающихся хорд равны». |
Запись в тетрадях
Теорема о хордах: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Чертеж: Окружность, хорды AB и CD, точка пересечения P.
Формула: AP ⋅ PB = CP ⋅ PD.
Чертеж: Окружность, хорды AB и CD, точка пересечения P.
Формула: AP ⋅ PB = CP ⋅ PD.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы только что доказали одну из важнейших теорем планиметрии. Но что будет, если точка P окажется вне окружности? Давайте проверим в парах».
Этап 4. Первичное закрепление и парная работа (7 мин)
Цель этапа: закрепить навык поиска подобия в новой конфигурации (секущие из одной точки) через групповое обсуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Приём "Think-Pair-Share". Посмотрите на чертеж на карточке №2: точка P вне окружности, проведены две секущие PAB и PCD. Найдите подобные треугольники. Подсказка: один угол у них общий. Работаем в парах 3 минуты». | Ученики обсуждают в парах. Выделяют ΔPAD и ΔPCB. Замечают: ∠P — общий, ∠PDA = ∠PBC (свойство вписанного четырехугольника или через дуги). Доказывают подобие. |
2 мин | «Какое равенство для отрезков секущих мы получим? Выведите его по аналогии с хордами». Учитель помогает парам, которые затрудняются. | Ученики записывают: PA/PC = PD/PB => PA * PB = PC * PD. Делают вывод о сходстве формул для хорд и секущих. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы расширили наш арсенал. Теперь пора применить его к реальным задачам ОГЭ».
Этап 5. Практическое применение. Дифференцированная работа (10 мин)
Цель этапа: отработать применение теорем на задачах разного уровня сложности, подготовить к выполнению заданий второй части ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Перед вами три уровня задач. Уровень A — базовая задача №16 (найти отрезок хорды). Уровень B — задача №23 (требует краткой записи и доказательства подобия). Уровень C — задача №24 (повышенная сложность, комбинация с касательной). Выберите свой уровень и приступайте. Я буду консультировать тех, кто выберет уровень C». | Ученики выбирают задания. Большинство начинает с A и переходит к B. Сильные ученики сразу приступают к C. Работают индивидуально, сверяясь с соседом при необходимости. |
Эталон решения (задача уровня B)
Условие: Через точку M проведены две секущие. Первая пересекает окружность в точках A и B, вторая — в точках C и D. MA=4, MB=9, MC=3. Найти MD.
Решение:
1) ΔMAD ~ ΔMCB (∠M — общий, ∠MDA = ∠MBC как вписанные, опирающиеся на одну дугу AC).
2) MA/MC = MD/MB.
3) 4/3 = MD/9 => MD = (4 * 9) / 3 = 12.
Ответ: 12.
Решение:
1) ΔMAD ~ ΔMCB (∠M — общий, ∠MDA = ∠MBC как вписанные, опирающиеся на одну дугу AC).
2) MA/MC = MD/MB.
3) 4/3 = MD/9 => MD = (4 * 9) / 3 = 12.
Ответ: 12.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что многие справились с уровнем B. Это отличный результат для первой части экзамена!»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: систематизировать полученные знания и провести самооценку деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Приём "Билет на выход". На маленьком листочке напишите: 1) Какое свойство окружности мы сегодня доказали через подобие? 2) Какая задача вызвала наибольшее затруднение? Сдайте листочки, когда будете выходить». | Ученики письменно отвечают на вопросы, анализируют свою работу на уроке. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также дифференцировано. Обратите внимание на задачу №5 — она из реального варианта прошлого года». | Ученики записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены задачи всех трёх уровней (A, B, C), в задачах B и C приведено полное обоснование подобия треугольников.
- «4» — верно решены задачи уровней A и B, допущены незначительные вычислительные ошибки в уровне C или отсутствует обоснование подобия.
- «3» — верно решены только задачи уровня A (базовый уровень ОГЭ), узнает конфигурацию хорд на чертеже.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую теорему сегодня было легче всего доказать самостоятельно? | Осознание уровня владения логическим выводом. |
В чем главная сложность при поиске подобных треугольников в окружности? | Выявление типичных затруднений (например, видение вписанных углов). |
Как знание подобия поможет тебе сэкономить время на ОГЭ? | Формирование прагматической мотивации и уверенности. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы убедились, что сложные задачи из второй части ОГЭ — это всего лишь комбинация простых фактов, которые вы умеете доказывать сами. Подобие треугольников — это универсальный ключ к окружностям. Если на экзамене вы увидите пересекающиеся линии внутри круга, сразу ищите вписанные углы и подобные треугольники. Вы большие молодцы, спасибо за урок!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №666, №667 | Задачи на прямое применение формулы пересекающихся хорд. |
Средний (повышающий) | Карточка: задача №23 из ОГЭ | Требуется оформить доказательство подобия треугольников. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследование: свойство касательной и секущей | Самостоятельно доказать теорему о квадрате касательной через подобие. |
Контрольный вопрос: Если радиус окружности равен 5, а точка пересечения хорд делит одну из них на отрезки 2 и 8, может ли вторая хорда быть диаметром?