Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
Цели и задачи
- Цель: вывести формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними и научиться применять её при решении геометрических задач, в том числе формата ОГЭ.
- Образовательные задачи: доказать теорему о площади треугольника; сформировать навык распознавания ситуаций, где применима новая формула; отработать алгоритм вычисления площади.
- Развивающие задачи: развивать навыки дедуктивного мышления, умение переходить от частного случая к общему выводу; развивать математическую грамотность.
- Воспитательные задачи: снижать уровень тревожности перед экзаменами через успешное решение типовых задач ОГЭ; формировать ответственное отношение к учебному труду.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Осознание важности математических знаний для успешной сдачи государственной итоговой аттестации.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, аргументировать свою точку зрения.
Предметные
- Знать формулировку и доказательство теоремы о площади треугольника через две стороны и угол между ними.
- Уметь вычислять площадь треугольника, зная две стороны и угол, используя тригонометрические таблицы или значения синусов табличных углов.
- Владеть навыком решения комбинированных задач на нахождение элементов треугольника.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценностных ориентиров и смыслов учебной деятельности.
- Развитие критичности мышления при анализе полученного результата.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими нормами родного языка.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить план расположения записей на доске: чертёж треугольника, формула площади через основание и высоту, определение синуса, новая теорема и 3–4 примера.
- Подготовить линейку и угольник для построения высоты на доске.
- До начала урока записать на краю доски тему и оставить свободное место для решений учеников.
- Продумать устную проверку ответов: ученики сначала называют формулу, затем значение синуса, затем выполняют вычисления.
- Подготовить несколько дополнительных задач для работы у доски без карточек и раздаточного материала.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, создав связь между темой урока и предстоящим экзаменом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем расширять наш арсенал инструментов для решения геометрических задач. Знаете ли вы, что задачи на нахождение площади треугольника встречаются в ОГЭ практически в каждом варианте? Это задание №15, которое приносит вам заветный балл. Но часто бывает так, что стандартная формула через высоту не работает, потому что высота просто не дана. Сегодня мы научимся обходить эту ловушку. Готовы стать на шаг ближе к успешному экзамену?» Учитель проверяет наличие учебников Л.С. Атанасяна на столах. | Приветствуют учителя, проверяют готовность мест. Слушают установку на практическую значимость темы для ОГЭ. Настраиваются на продуктивную деятельность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что все готовы. Прежде чем открыть новое, давайте вспомним то, на чем это новое базируется».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: повторить базовую формулу площади и определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, зафиксировать невозможность решения задачи стандартным способом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним: как вычислить площадь треугольника, если мы знаем его основание и высоту? Запишите формулу на полях тетради. Теперь посмотрите на экран (Слайд 1). Перед вами треугольник ABC, сторона AC = 10, высота BH = 6. Чему равна площадь?» | Записывают $S = \frac{1}{2}ah$. Устно отвечают: «Площадь равна 30, так как $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$». |
3 мин | «А теперь ситуация посложнее (Слайд 2). Дан треугольник, у которого известны две стороны: $a = 8$ см, $b = 10$ см и угол между ними $30^\circ$. Высота не проведена и не известна. Попробуйте найти площадь. В чем возникла трудность?» Учитель использует прием «Сократовский диалог», подводя к мысли о нехватке данных. | Пытаются применить известную формулу. Отвечают: «Мы не знаем высоту, проведенную к одной из сторон. Чтобы найти площадь по старой формуле, нам нужно сначала как-то вычислить эту высоту». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно, старая формула требует высоту, которой нет. Но у нас есть угол! Значит, нам нужна формула, которая свяжет стороны и угол напрямую».
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и составить план действий по выводу новой формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Итак, какова цель нашего сегодняшнего урока? Правильно, получить формулу площади через две стороны и угол. Запишем тему: "Площадь треугольника через две стороны и угол между ними". Как мы будем действовать? 1. Проведем высоту в произвольном треугольнике. 2. Выразим эту высоту через известную сторону и синус угла. 3. Подставим выражение в базовую формулу площади. Согласны с таким планом?» | Формулируют цель. Записывают тему урока в тетрадь. Кивают в знак согласия с планом, осознавая логику вывода теоремы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План намечен. Приступаем к реализации нашего мини-проекта».
Этап 4. Реализация проекта — открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу площади треугольника и доказать соответствующую теорему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель медленно строит на доске треугольник ABC, проводит высоту BH к стороне AC и подписывает: BC = a, AC = b, угол C = γ. Важно проговорить: «Высота образует прямой угол со стороной AC. В прямоугольном треугольнике BHC сторона BC — гипотенуза, BH — противолежащий катет». Затем учитель спрашивает: «Как записывается синус угла C?» После ответа записывает: $\sin \gamma = \frac{BH}{BC} = \frac{h}{a}$, откуда $h = a\sin\gamma$. Если класс затрудняется, учитель сначала напоминает словами: «Синус — противолежащий катет, делённый на гипотенузу». | Ученики перерисовывают чертёж. По вопросам учителя называют гипотенузу и катет, записывают отношение синуса и получают $h=a\sin\gamma$. |
6 мин | Учитель записывает базовую формулу: $S=\frac12 bh$. Подставляет найденную высоту по шагам: $S=\frac12 b\cdot(a\sin\gamma)=\frac12 ab\sin\gamma$. Затем формулирует правило простыми словами: «Берём две стороны, которые образуют известный угол; перемножаем их, умножаем на синус угла и делим на 2». Отдельно подчёркивает: «Нельзя брать любую третью сторону: угол должен быть именно между выбранными сторонами». | Ученики повторяют алгоритм вслух, записывают формулу в рамку и отмечают, какие две стороны образуют угол. |
2 мин | Учитель проверяет понимание на устном примере: «Если известны стороны 7 и 9 и угол между ними 30°, какие данные подставим в формулу?» Не требует сразу считать, добивается правильной записи: $S=\frac12\cdot7\cdot9\cdot\sin30^\circ$. | Ученики называют стороны и угол, составляют формулу для конкретной задачи. |
Запись в тетрадях
Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Формула: $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$, где $a, b$ — стороны, $\gamma$ — угол между ними.
Формула: $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$, где $a, b$ — стороны, $\gamma$ — угол между ними.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели формулу для острого угла. Дома вы посмотрите в учебнике на стр. 256, как это работает для тупого угла, но спойлер — формула остается такой же! Теперь проверим её в деле».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение формулы на простых задачах, включая табличные значения синусов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель пишет на доске задачу: «Стороны треугольника равны 12 и 16, угол между ними 30°. Найдите площадь». Ведёт решение по трём обязательным шагам: 1) записать формулу; 2) вспомнить $\sin30^\circ=\frac12$; 3) вычислить. На доске: $S=\frac12\cdot12\cdot16\cdot\frac12=48$. | Один ученик у доски записывает решение по шагам, класс после каждого шага проверяет запись устно. |
2 мин | Учитель даёт короткий пример: «Стороны 4 и 5, угол 90°». Напоминает $\sin90^\circ=1$ и связывает ответ с формулой площади прямоугольного треугольника. | Ученик у доски записывает $S=\frac12\cdot4\cdot5\cdot1=10$ и объясняет, почему получилась знакомая формула. |
2 мин | Учитель даёт пример на распознавание данных: «Стороны 6 и 8 образуют угол 60°. Что можно найти? Какую запись сделаем первой?» При необходимости подсказывает только первый шаг. | Ученики составляют $S=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin60^\circ$ и называют $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$; один ученик завершает вычисление: $S=12\sqrt3$. |
Эталон решения
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 8 = 48$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формула работает безотказно. Теперь попробуйте справиться самостоятельно».
Задача на доске | Краткое решение | Педагогическая подсказка |
|---|---|---|
Стороны 5 и 12, угол между ними 90°. Найдите площадь. | $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot1=30$. | Спросить: «Какой синус равен 1? Почему здесь получается формула прямоугольного треугольника?» |
Стороны 10 и 6, угол между ними 30°. Найдите площадь. | $S=\frac12\cdot10\cdot6\cdot\frac12=15$. | Разрешить слабому ученику сначала отдельно вычислить $10\cdot6$, затем умножить на две половины. |
Стороны 4 и 6, угол между ними 60°. Найдите площадь. | $S=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3$. | Попросить ученика назвать четыре действия по алгоритму, не торопить с вычислением корня. |
Площадь равна 20, одна сторона 5, угол между сторонами 90°. Найдите вторую сторону. | $20=\frac12\cdot5\cdot b\cdot1$, поэтому $b=8$. | Показать обратное применение формулы: сначала подставить известные данные, затем решить простое уравнение. |
Дополнительные примеры для работы у доски
Этап 6. Самостоятельная работа с пошаговой проверкой (7 мин)
Цель этапа: довести слабых учеников до устойчивого применения алгоритма: определить две стороны и угол между ними, записать формулу, подставить значение синуса и выполнить вычисления. Работа проводится только по заданиям, записанным учителем на доске, без карточек и раздаточного материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель пишет на доске задачу 1: «Стороны 6 и 10, угол между ними 30°. Найдите площадь». Просит сначала назвать формулу и значение синуса, затем вызывает ученика к доске. По ходу решения задаёт короткие вопросы: «Какие стороны берём? Какой синус? Почему делим на 2?» | Решают у себя в тетрадях, один ученик записывает: $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\frac12=15$. Остальные сверяют каждый шаг. |
2 мин | Учитель пишет задачу 2: «Стороны 8 и 5, угол между ними 60°». Напоминает, что ответ с корнем допустим, и предлагает ученику проговорить алгоритм до вычислений. | Ученик записывает $S=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$. Класс проверяет порядок действий и значение синуса. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку не карточками, а разбором на доске. Записывает правильные ответы, просит поднять руку только после проверки и уточняет тип ошибки: формула, синус или вычисления. Ошибки разбирает спокойно, без выставления отметки за один неудачный шаг. | Ученики сравнивают решения в тетрадях, отмечают место ошибки и исправляют его. Несколько учеников объясняют, на каком шаге возникло затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Молодцы. Те, у кого возникли сложности с корнями — не переживайте, это вопрос вычислительной практики, главное, что вы верно применили геометрическую формулу».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итог урока, оценить уровень достижения цели и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Мы сегодня не просто вывели формулу, мы добавили еще один инструмент в ваш "чемоданчик для ОГЭ". Посмотрите на экран и запишите домашнее задание. Оно дифференцированное: выберите тот уровень, который вам сейчас по силам, но я рекомендую попробовать средний всем». | Записывают домашнее задание. Проводят самооценку своей деятельности, отвечая на вопросы учителя. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно вывел формулу у доски или в тетради, решил самостоятельную работу без ошибок, правильно применил значения синуса.
- «4» — формула применена верно, но допущены незначительные вычислительные ошибки (например, в умножении на 0,5) или ошибки в извлечении корня.
- «3» — ученик понимает, какую формулу нужно использовать, но путает значения синуса или не может довести расчет до конца.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу мы сегодня добавили в свой арсенал? | Проверка запоминания основного теоретического факта. |
Какое значение синуса было сложнее всего вспомнить? | Выявление пробелов в тригонометрической подготовке. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важное дело — доказали одну из ключевых теорем планиметрии. Помните, что геометрия в 9 классе — это не только формулы, но и умение видеть, какой инструмент применить в нужный момент. Если вы запомните, что для площади достаточно двух сторон и угла, задача №15 на ОГЭ станет для вас легкой прогулкой. На следующем уроке мы узнаем, как эта формула помогает найти площадь параллелограмма. Всем спасибо за работу, до свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 1020 (а, б) | Прямое применение формулы для нахождения площади. |
Средний (повышающий) | Учебник, № 1022, 1023 | Нахождение стороны треугольника, если известна площадь, другая сторона и угол. |
Выучить | Учебник п. 100. | |
Повторить | Учебник п. 97-99 |
Контрольный вопрос: «Чему равен синус 150 градусов и как это поможет найти площадь тупоугольного треугольника?»
