Основное тригонометрическое тождество
Цели и задачи
- Цель: вывести основное тригонометрическое тождество и научиться применять его для нахождения значений тригонометрических функций по одной известной.
- Образовательная задача: доказать формулу sin²α + cos²α = 1, используя теорему Пифагора и определение координат точки на единичной окружности.
- Развивающая задача: установить межпредметные связи с физикой через проекции векторов сил на оси координат.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку типовых заданий экзаменационного модуля «Геометрия».
- Методическая задача: организовать парную работу для развития навыков учебного сотрудничества.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие готовности к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Формирование коммуникативной компетентности в общении со сверстниками в процессе образовательной деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать формулировку и доказательство основного тригонометрического тождества.
- Уметь находить значения синуса, косинуса и тангенса угла, если известно значение одной из этих функций.
- Уметь упрощать тригонометрические выражения с использованием изученного тождества.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом — подготовкой к экзамену).
- Самоопределение (внутренняя позиция школьника на уровне положительного отношения к уроку).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Моделирование (использование единичной окружности для вывода формулы).
- Логические УУД: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с партнером.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивную модель «Единичная окружность» в GeoGebra или аналогичном ПО.
- Распечатать рабочие листы с заданиями в формате ОГЭ (по 1 шт. на каждого ученика).
- Подготовить карточки для парной работы с алгоритмом вывода формулы.
- Проверить работу проектора и ноутбука для демонстрации физического приложения (движение тела по наклонной плоскости).
- Заготовить на доске чертеж прямоугольного треугольника в системе координат для актуализации знаний.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу и обозначить практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы приступаем к теме, которая является «золотым ключом» ко всей тригонометрии. Посмотрите на слайд: перед вами задание из открытого банка ОГЭ. Нам дан косинус угла, а нужно найти его синус. Кто-то из вас может сказать: «Я начерчу треугольник и измерю линейкой». Но на экзамене у вас не будет идеального чертежа, а точность должна быть абсолютной. Сегодня мы выведем формулу, которая позволит вам решать такие задачи за 30 секунд без всяких рисунков. Вы готовы добавить в свой арсенал этот инструмент?" | Слушают учителя, рассматривают задание ОГЭ на экране, настраиваются на работу, осознают утилитарную значимость темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, вижу ваш интерес. Но чтобы построить новое здание, нам нужен крепкий фундамент из того, что мы уже знаем."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте вспомним основы. На доске изображен прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой c и катетами a и b. Назовите мне определение синуса угла A. А теперь косинуса угла A. Запишите их на доске в буквенном виде. Теперь самое важное: какая теорема связывает стороны этого треугольника? Правильно, теорема Пифагора. Запишите её рядом. Посмотрите на эти три записи: sin A = a/c, cos A = b/c, a² + b² = c². Как вы думаете, можно ли их объединить в одно уравнение?" | Ученик у доски записывает: sin A = a/c, cos A = b/c. Другой ученик записывает теорему Пифагора: a² + b² = c². Класс фиксирует записи в тетрадях и размышляет над вопросом учителя. |
Запись в тетрадях
sin A = a/c; cos A = b/c; a² + b² = c².
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы подготовили все элементы пазла. Теперь давайте попробуем собрать их вместе на единичной окружности."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать проблему — отсутствие прямой связи между синусом и косинусом без использования длин сторон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Представьте ситуацию: в задаче ОГЭ сказано, что cos α = 0,6. Треугольник не дан, сторон мы не знаем. Как найти sin α? Мы знаем, что синус — это отношение, но у нас нет ни противолежащего катета, ни гипотенузы. В чем наша проблема? Нам не хватает связи между синусом и косинусом напрямую, без посредников в виде сторон треугольника. Какую цель мы поставим на сегодня?" | Отвечают: "Мы не знаем длин сторон, поэтому не можем воспользоваться определениями напрямую". Формулируют цель: "Найти формулу, связывающую синус и косинус одного и того же угла". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно. Наша цель — вывести основное тригонометрическое тождество."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу sin²α + cos²α = 1 через координаты точки на единичной окружности (работа в парах + ИКТ).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Включаем интерактивную модель. Перед вами единичная окружность (радиус R=1). Точка M(x; y) лежит на окружности. Вспомните, чему равны координаты x и y через тригонометрические функции угла α? Я подскажу: опустите перпендикуляры на оси. Получился прямоугольный треугольник внутри круга. Гипотенуза — это радиус. Чему он равен?" | Наблюдают за моделью на экране. Отвечают: "x = cos α, y = sin α. Радиус равен 1, значит гипотенуза равна 1". |
8 мин | "А теперь работаем в парах. У вас на столах карточки с этим чертежом. Примените теорему Пифагора к этому треугольнику, подставив вместо катетов значения синуса и косинуса, а вместо гипотенузы — единицу. Что у вас получилось? Запишите результат крупно на карточке." Учитель проходит по рядам, консультируя пары. | Работают в парах. Записывают: x² + y² = R². Подставляют: (cos α)² + (sin α)² = 1². Приходят к выводу: sin²α + cos²α = 1. Представители одной пары записывают результат на доске. |
Запись в тетрадях
Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Отсюда: sin²α = 1 - cos²α; cos²α = 1 - sin²α.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поздравляю! Вы только что сами вывели одну из важнейших формул математики. Давайте проверим, как она работает на практике."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения синуса через косинус на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Вернемся к нашей задаче из ОГЭ. Дано: cos α = 0,8. Найти: sin α, если α — острый угол. Используем нашу новую формулу. Записываем: sin²α = 1 - cos²α. Подставляйте значение. Чему равен sin²α? А теперь извлеките корень. Обратите внимание, что для острого угла синус всегда положителен. Какой ответ мы запишем в бланк?" | Решают в тетрадях под руководством учителя: sin²α = 1 - (0,8)² = 1 - 0,64 = 0,36. sin α = √0,36 = 0,6. Отвечают: "Ответ 0,6". |
Эталон решения
Дано: $\cos \alpha = 0.8$. Найти: $\sin \alpha$.
Решение:
1) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2) $\sin^2 \alpha = 1 - 0.8^2 = 1 - 0.64 = 0.36$
3) $\sin \alpha = \sqrt{0.36} = 0.6$ (т.к. угол острый).
Ответ: 0.6.
Решение:
1) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2) $\sin^2 \alpha = 1 - 0.8^2 = 1 - 0.64 = 0.36$
3) $\sin \alpha = \sqrt{0.36} = 0.6$ (т.к. угол острый).
Ответ: 0.6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм понятен. Теперь попробуйте справиться самостоятельно с чуть более сложным числом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "На рабочих листах выполните задание №2: Найти cos α, если sin α = 5/13. У вас 4 минуты. После этого я выведу эталон на экран, и вы проведете самопроверку по критериям: верная формула — 1 балл, верные вычисления — 1 балл, верный ответ — 1 балл." | Самостоятельно решают задачу. После появления эталона проверяют свою работу, ставят себе баллы на полях тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки, кто набрал 3 балла? Отлично! У кого возникли трудности с возведением в квадрат дроби? Мы это учтем при разборе домашнего задания."
Этап 7. Межпредметные связи и включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: показать применение тригонометрии в физике (динамика).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Ребята, а вы знали, что без этой формулы не сдвинется с места ни одна машина в задачах по физике? Посмотрите на экран: тело на наклонной плоскости. Сила тяжести mg направлена вниз. Чтобы найти силу, тянущую тело вниз вдоль горки, нам нужна проекция вектора. Проекция на ось X — это mg*sin α, на ось Y — mg*cos α. Сумма квадратов этих проекций (без учета mg) всегда даст единицу. Геометрия — это язык, на котором говорит физика. Помните об этом, когда будете решать задачи на силы." | Смотрят на схему сил на наклонной плоскости, узнают знакомые из курса физики обозначения, осознают единство естественнонаучных знаний. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, тригонометрия окружает нас повсюду — от бланков ОГЭ до законов движения тел."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень достижения целей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к нашей цели. Удалось ли нам найти связь между синусом и косинусом? Как она называется? Запишите в дневники домашнее задание. Оно дифференцированное: выберите тот уровень, который вам сейчас по силам." | Отвечают на вопросы, записывают домашнее задание, проводят самооценку своей деятельности на уроке. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно вывел тождество в паре, без ошибок решил самостоятельную работу и верно вычислил значение функции с дробным аргументом.
- «4» — ученик понимает суть тождества, но допустил одну вычислительную ошибку в самостоятельной работе или ошибку при извлечении корня.
- «3» — ученик записал формулу, но не смог применить её к конкретным числам без помощи учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая часть формулы sin²α + cos²α = 1 напоминает вам теорему Пифагора? | Осознание генетической связи между геометрическими понятиями. |
В какой момент решения задачи с десятичными дробями вы почувствовали затруднение? | Выявление пробелов в вычислительных навыках. |
Сможете ли вы теперь решить задачу из ОГЭ без чертежа? | Субъективная оценка уверенности в своих силах перед экзаменом. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг в освоении тригонометрии. Основное тождество — это база, на которой строятся все дальнейшие преобразования. Не бойтесь больших чисел под корнем, помните о таблице квадратов, которая будет у вас на экзамене. На следующем уроке мы узнаем, как связаны тангенс и косинус, и дополним нашу систему формул. Всем спасибо за работу, до встречи!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение синуса по косинусу (и наоборот) для острых углов, где значения даны в виде десятичных дробей (0,6; 0,8; 0,28). | Закрепление основного алгоритма и навыка работы с десятичными дробями. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на нахождение тригонометрических функций, где аргумент дан в виде обыкновенной дроби (например, 8/17), и одно задание на упрощение выражения вида (1 - sin²α). | Развитие навыков работы с рациональными числами и начало освоения тождественных преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать, что (1 - cos α)(1 + cos α) = sin²α, и найти значение выражения, если sin α = 0,5. | Подготовка к сложным задачам второй части ОГЭ на доказательство и преобразование выражений. |
