Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теоремы синусов и косинусов
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут определять значения тригонометрических функций для углов от 0° до 180°, формулировать теоремы синусов и косинусов и применять их для нахождения неизвестных элементов произвольного треугольника.
- Образовательная задача: Расширить область определения синуса, косинуса и тангенса для тупых углов, вывести формулы приведения для угла (180° - α) и доказать ключевые теоремы решения треугольников.
- Развивающая задача: Развивать навыки математического моделирования при решении практических задач (межпредметная связь с физикой и географией) и логическое мышление через вывод формул.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к обучению через осознание значимости темы для успешной сдачи ОГЭ (задание №15).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в будущей профессии.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы при доказательстве теорем.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность в парах.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 180°.
- Уметь использовать формулы приведения для нахождения значений тригонометрических функций тупых углов.
- Уметь формулировать и доказывать теоремы синусов и косинусов.
- Владеть навыками решения произвольных треугольников по трем заданным элементам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между изучением теорем и их применением в навигации, строительстве и физике.
- Самоопределение: развитие навыков самооценки на основе критериев успешности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно (прямоугольный треугольник), и того, что еще неизвестно (произвольный треугольник).
- Прогнозирование результата при решении задач на вычисление сторон.
Познавательные УУД
- Моделирование: использование знаково-символических средств для записи теорем.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (сравнение теоремы Пифагора и теоремы косинусов).
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации при работе в парах.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для парной работы «Лабиринт треугольников» (15 экземпляров).
- Подготовить презентацию с чертежами к задачам ОГЭ №15.
- Проверить наличие в кабинете демонстрационных чертежных инструментов (большой транспортир, линейка).
- Открыть учебник (Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9») на странице 249 (параграф «Синус, косинус, тангенс угла»).
- Подготовить на доске таблицу значений тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (для актуализации).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и обозначить практическую значимость темы через реальный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы приступаем к теме, которая является вершиной школьной геометрии треугольника. Представьте, что вы — инженеры, которым нужно проложить мост через широкую реку, или штурманы корабля, обходящего рифы. Вы не всегда можете измерить расстояние рулеткой или встретить только прямые углы. Как найти расстояние, если у вас есть только углы и одна сторона?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и чертежных инструментов на столах. |
2 мин | «Эта тема — ключ к решению 15-го задания ОГЭ. Сегодня мы научимся "приручать" любые треугольники, даже если в них нет прямого угла. Мы откроем законы, которые связывают стороны и углы любой фигуры. Вы готовы стать первооткрывателями?» | Слушают учителя, настраиваются на работу, фиксируют в тетрадях дату и тему урока: «Решение произвольных треугольников». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Но прежде чем строить мосты, нам нужно проверить наш фундамент — то, что мы уже знаем о прямоугольных треугольниках».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определения тригонометрических функций острого угла и значения для стандартных углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Посмотрите на доску. Перед вами прямоугольный треугольник. Вспомните, что такое синус, косинус и тангенс острого угла? Кто может выйти и записать формулы для угла A?» Учитель вызывает одного ученика к доске. «А теперь давайте вспомним таблицу значений. Чему равен sin 30°? cos 45°? tan 60°?» | Один ученик записывает на доске: sin A = a/c, cos A = b/c, tan A = a/b. Остальные сверяют в тетрадях. Устно отвечают: «sin 30° = 1/2», «cos 45° = √2/2», «tan 60° = √3». |
2 мин | «Отлично. А теперь вопрос на засыпку: как найти косинус угла 120 градусов? Ведь в прямоугольном треугольнике такого угла быть не может. У кого есть идеи?» Учитель использует прием "Проблемный вопрос". | Ученики задумываются. Предполагают: «Может, он отрицательный?», «Нужно достроить до чего-то?», «Мы этого еще не проходили». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Именно это затруднение мы сейчас и разрешим. Нам нужно выйти за пределы прямоугольного треугольника в координатную плоскость».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие единичной полуокружности и доказать теоремы синусов и косинусов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на стр. 249. Посмотрите на рис. 294. Мы вводим единичную полуокружность. Теперь синус угла — это ордината y точки на окружности, а косинус — абсцисса x. Запишите в тетрадь формулы приведения: sin(180° - α) = sin α и cos(180° - α) = -cos α. Это значит, что sin 150° будет таким же, как sin 30°. А что будет с косинусом 120°?» | Зарисовывают единичную полуокружность. Записывают формулы приведения. Отвечают: «cos 120° = -cos 60° = -1/2». |
4 мин | «Теперь перейдем к главной магии. Теорема косинусов. Она звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Посмотрите на формулу: a² = b² + c² - 2bc cos A. На что она похожа?» Учитель подводит к связи с теоремой Пифагора. | Ученики замечают: «Это же теорема Пифагора, если угол A = 90°, потому что cos 90° = 0!» Записывают формулировку теоремы косинусов в тетрадь. |
4 мин | «И вторая опора — теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Запишем пропорцию: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Эта теорема позволяет нам находить углы, если известны стороны, и наоборот. В физике, когда вы раскладываете силы на составляющие, вы негласно используете именно эти соотношения.» | Записывают формулу теоремы синусов. Обсуждают межпредметную связь с физикой (равновесие сил на наклонной плоскости). |
Запись в тетрадях
- sin(180° - α) = sin α
- cos(180° - α) = -cos α
- Теорема косинусов: a² = b² + c² - 2bc · cos A
- Теорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (где R — радиус описанной окружности)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулы у нас в руках. Теперь проверим их в деле. Попробуем решить задачу, которая может встретиться вам на экзамене в июне».
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма выбора нужной теоремы при решении задач из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Разберем задачу №1025 (а) из учебника. Даны две стороны b=8 см, c=5 см и угол A=60°. Нужно найти сторону a. Какую теорему выберем? Почему?» Учитель вызывает ученика к доске. | Ученик у доски: «Выбираем теорему косинусов, так как даны две стороны и угол между ними». Выполняет расчет: a² = 64 + 25 - 2*8*5*0.5 = 89 - 40 = 49. a = 7 см. |
4 мин | «А теперь задача №1026. Дана сторона a=10, угол A=30°, угол B=45°. Найти сторону b. Какая теорема здесь сработает быстрее?» | Ученики с места: «Теорема синусов! 10/sin 30° = b/sin 45°». Считают в тетрадях: b = 10 * (√2/2) / (1/2) = 10√2. |
Эталон решения
Задача на теорему косинусов: $a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7$.
Задача на теорему синусов: $\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \Rightarrow b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.1$.
Задача на теорему синусов: $\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \Rightarrow b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились индивидуально. Теперь объединим усилия в парах для решения практического кейса».
Этап 5. Самостоятельная работа в парах (7 мин)
Цель этапа: применить знания в ситуации «реальной математики» и развить коммуникативные навыки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Раздаю карточки. Ситуация: два теплохода вышли из порта под углом 120 градусов друг к другу. Первый шел со скоростью 30 км/ч, второй — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Обсудите в паре, какую теорему применить, и решите задачу. Используйте калькуляторы, если нужно вычислить косинус тупого угла.» | Работают в парах. Рисуют схему (треугольник с углом 120°). Применяют теорему косинусов: d² = 30² + 50² - 2*30*50*(-0.5) = 900 + 2500 + 1500 = 4900. d = 70 км. |
2 мин | «Время вышло. Обменяйтесь тетрадями с соседней партой. На слайде — правильный ответ и критерии. Если ответ 70 км и есть верная схема — поставьте '+'. Если есть ошибка в знаке косинуса — дайте совет товарищу.» | Проводят взаимопроверку по эталону на слайде. Обсуждают ошибку с отрицательным косинусом (самая частая ошибка в 9 классе). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, геометрия помогает не столкнуться кораблям в океане. Это и есть функциональная грамотность».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учеником своих достижений и зон роста, фиксация домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Подведем итоги. У вас на столах лежат 'Билеты на выход'. Заполните их. В них три вопроса: 1. Какая теорема сегодня показалась проще? 2. В чем главная ловушка косинуса тупого угла? 3. Где в жизни пригодится теорема синусов?» Учитель собирает билеты. | Заполняют краткие анкеты. Отвечают: «Проще теорема синусов», «Ловушка в том, что cos тупого угла отрицательный», «Пригодится в строительстве крыш». |
3 мин | «Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное: для тех, кто метит в инженеры, есть задача повышенной сложности. И не забудьте повторить таблицу значений — без нее на ОГЭ никуда!» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы по выполнению. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи (из учебника и кейс про теплоходы), чертежи выполнены аккуратно, верно применены формулы приведения для тупого угла.
- «4» — задачи решены верно, но допущены незначительные вычислительные ошибки или отсутствует обоснование выбора теоремы.
- «3» — решена одна задача из двух, допущена ошибка в знаке косинуса тупого угла, или ученик не смог самостоятельно составить пропорцию для теоремы синусов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем отличие теоремы Пифагора от теоремы косинусов? | Проверка понимания универсальности теоремы косинусов. |
Почему sin 150° положительный, а cos 150° отрицательный? | Контроль усвоения понятий единичной полуокружности и формул приведения. |
Каких данных в треугольнике достаточно, чтобы использовать теорему синусов? | Диагностика умения выбирать метод решения задачи. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы сделали большой шаг — мы научились видеть гармонию в любом треугольнике, а не только в прямоугольном. Теоремы синусов и косинусов — это мощные инструменты, которые останутся с вами до самого конца школы и помогут на экзаменах. Помните: любая сложная задача — это просто набор маленьких треугольников. На следующем уроке мы научимся вычислять площади этих фигур через синус угла. Спасибо за работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №1025 (б, в), №1026 (б) | Отработка стандартных формул теорем синусов и косинусов. |
Средний (повышающий) | Задание из банка ОГЭ №15 (3 задачи на карточке) | Решение задач в формате экзамена (найти сторону или угол). |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание: «Геометрия на местности» | Придумать и решить задачу на нахождение расстояния до дерева на другом берегу реки. |
Контрольный вопрос: «Как изменится теорема косинусов, если угол между сторонами станет тупым? Изменится ли знак перед удвоенным произведением при расчете?»
