Тригонометрия в координатах: от острых углов к тупым
Цели и задачи
- Цель: расширить понятие синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° с помощью единичной полуокружности и вывести формулы приведения.
- Образовательная задача: ввести определения тригонометрических функций через координаты точки на единичной полуокружности.
- Развивающая задача: научить применять формулы приведения для нахождения значений функций тупых углов, необходимых для решения задач ОГЭ.
- Воспитательная задача: формировать навыки самоконтроля и рационального планирования деятельности при подготовке к экзаменам.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Навыки смыслового чтения: извлечение информации из геометрического чертежа.
- Способность определять цели обучения и планировать пути их достижения.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.
- Уметь находить координаты точек на единичной полуокружности.
- Владеть формулами приведения: sin(180°-α) = sinα, cos(180°-α) = -cosα, tg(180°-α) = -tgα.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие познавательных интересов и мотивов.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование познавательной цели.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств (координатная плоскость) для создания моделей.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию в диалоге.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами языка.
Подготовка учителя к уроку
- Проверить наличие мела (белого и цветного) и исправность чертежных инструментов (циркуль, линейка для доски).
- Выписать на доске (на боковой панели) таблицу значений sin, cos, tg для углов 30, 45, 60 градусов для актуализации.
- Подготовить текст задачи из открытого банка ОГЭ (задание 15) для этапа мотивации.
- Открыть учебник (Атанасян Л.С. и др., Геометрия 7-9) на пункте 97.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: опереться на знакомую формулу площади треугольника через основание и высоту и создать потребность в новом способе описания углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Начнём со знакомой задачи: в треугольнике ABC основание AB равно 10, а высота к нему равна 4. Как найти площадь?» | Ученики вспоминают формулу: «Площадь равна половине произведения основания на высоту: S = 1/2 · AB · h». Находят площадь: 20. |
3 мин | «Теперь рассмотрим треугольник, в котором известны две стороны и угол между ними: AB = 10, BC = 8, угол B = 150°. Высоту к основанию AB можно получить, опустив перпендикуляр из C. Но как выразить эту высоту через известную сторону BC и угол B? Для этого нам понадобится новый способ связывать угол и длину перпендикулярного отрезка. Сегодня мы начнём с определения тригонометрических функций через координаты точки и научимся работать с тупыми углами». | Ученики формулируют затруднение: «Мы умеем находить площадь через основание и высоту, но пока не знаем, как выразить высоту через сторону и угол 150°». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы сначала введём сами определения синуса, косинуса и тангенса, а затем увидим, как они помогают описывать углы от 0 до 180 градусов и находить нужные отрезки в треугольнике. Записываем тему урока».
Этап 2. Построение проекта выхода из затруднения (5 мин)
Цель этапа: перенести определения тригонометрических функций из треугольника в координатную плоскость.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель рисует на доске систему координат и первую четверть окружности с радиусом R. "Ребята, давайте поместим острый угол альфа в координатную плоскость так, чтобы вершина была в начале координат, а одна сторона лежала на оси Ox. Отметим точку M(x; y) на окружности. Проведем перпендикуляр MH к оси Ox. Получился прямоугольный треугольник OMH. Чему равен sin α в этом треугольнике через координаты точки M?" | Ученики смотрят на чертеж: "Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Катет MH равен y, гипотенуза OM равна R. Значит, sin α = y / R". |
2 мин | "А если мы возьмем радиус, равный единице? Что тогда получится для синуса и косинуса?" | Ученики делают вывод: "Если R = 1, то sin α = y, а cos α = x. То есть синус — это просто ордината точки, а косинус — её абсцисса!" |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Это гениальная идея! Теперь нам не нужен треугольник, нам нужны только координаты точки на единичной полуокружности. А полуокружность позволяет нам брать углы больше 90 градусов."
Этап 3. Реализация проекта (Открытие нового знания) (12 мин)
Цель этапа: дать строгие определения и вывести формулы приведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель достраивает полуокружность во вторую четверть. "Запишем определение: синусом угла α называется ордината y точки M, косинусом — абсцисса x. Тангенс — это отношение y/x. Теперь посмотрите на вторую четверть (углы от 90 до 180). Какие знаки имеют x и y там?" | Ученики записывают определения. Отвечают: "Во второй четверти y положительный, а x отрицательный. Значит, синус тупого угла положителен, а косинус — отрицателен!" |
7 мин | Учитель рисует две симметричные точки M1(x; y) для угла α и M2(-x; y) для угла 180°-α. "Применим приём 'Геометрический поиск'. Посмотрите на точки M1 и M2. У них одинаковые высоты (y), но противоположные абсциссы. Какой вывод мы можем сделать для синусов и косинусов этих углов? Запишем это как формулы приведения." | Ученики анализируют чертеж и диктуют: "sin(180°-α) = sin α, потому что y одинаковый. cos(180°-α) = -cos α, потому что абсциссы противоположны. tg(180°-α) = -tg α". |
Запись в тетрадях
- Определение: M(cos α; sin α) на единичной полуокружности.
- sin(180° - α) = sin α
- cos(180° - α) = -cos α
- tg(180° - α) = -tg α (при α ≠ 90°)
Обоснование основного тригонометрического тождества:
Рассмотрим точку M(cos α; sin α) на единичной окружности. Её координаты удовлетворяют уравнению окружности с центром в начале координат и радиусом 1: x² + y² = 1. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем:
sin² α + cos² α = 1.
Таким образом, основное тригонометрическое тождество следует из теоремы Пифагора и справедливо для любого угла α.
Рассмотрим точку M(cos α; sin α) на единичной окружности. Её координаты удовлетворяют уравнению окружности с центром в начале координат и радиусом 1: x² + y² = 1. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем:
sin² α + cos² α = 1.
Таким образом, основное тригонометрическое тождество следует из теоремы Пифагора и справедливо для любого угла α.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть инструмент. Давайте вернемся к нашей задаче с ОГЭ. Угол был 150 градусов. Как найти его синус?"
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать навык вычисления функций тупых углов у доски.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Теперь применим новые определения и формулы приведения. Вычислим sin 150°, cos 120° и sin 135°. Сначала представьте каждый тупой угол как 180° минус острый, затем используйте таблицу значений». | Ученик у доски пишет: «sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2; cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2; sin 135° = sin(180° − 45°) = sin 45° = √2/2». |
4 мин | «Решим небольшую задачу на координаты единичной полуокружности. Точка M соответствует углу 150°. Какие у неё знаки координат и чему равны её координаты? Затем найдём значения синуса и косинуса этого угла». | Ученики отвечают: «Точка находится во второй четверти, поэтому абсцисса отрицательна, а ордината положительна. M(−√3/2; 1/2), значит cos 150° = −√3/2, sin 150° = 1/2». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Видите, как знание одной маленькой формулы позволяет решить целую задачу экзаменационного уровня!"
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала через индивидуальное решение задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель пишет на доске два варианта заданий. "Задание 1: Вычислите значение выражения 2*sin 120° + cos 150°. Задание 2: Найдите tg 135°. Задание 3 (повышенный уровень): Упростите выражение sin(180°-α) + sin(180°+α) — ой, второе мы еще не учили, просто sin(180°-α) - sin α." | Ученики самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
3 мин | Учитель открывает заранее написанные на обороте доски ответы. "Сверьтесь с эталоном. Если у вас всё верно, поставьте себе на полях восклицательный знак." | Ученики проверяют свои решения, исправляют ошибки. |
Эталон решения
1) 2 * sin(180-60) + cos(180-30) = 2 * sin 60 - cos 30 = 2 * (√3/2) - √3/2 = √3/2. 2) tg 135 = -tg 45 = -1. 3) sin α - sin α = 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось, это отличный результат для первого урока по теме."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником своей учебной деятельности.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая координата точки на окружности отвечает за синус, а какая за косинус? | Проверка усвоения базового определения через координаты. |
Может ли синус угла от 0 до 180 градусов быть отрицательным? А косинус? | Осознание знаков тригонометрических функций в разных четвертях. |
Где в жизни или на экзамене нам пригодятся формулы приведения? | Связь теории с практикой (ОГЭ, решение треугольников). |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все 3 задания самостоятельной работы, нет ошибок в знаках косинуса тупого угла.
- "4" — верно выполнены 2 задания, или допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме.
- "3" — верно выполнено 1 задание, ученик понимает принцип использования формул приведения, но путает значения из таблицы.
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг: вышли за пределы прямоугольного треугольника. Теперь для вас не существует 'невозможных' углов. Помните: косинус тупого угла — это всегда 'минус', не теряйте его в задачах ОГЭ. На следующем уроке мы применим эти знания для вывода теоремы синусов и косинусов. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Раздел | Задания | Рекомендация |
|---|---|---|
Теоретический материал | Пункты 97–99 | Повторить определения и основные формулы. |
Практическая часть | № 1013, 1014, 1015, 1016, 1017 | Решить задания, записывая ход рассуждений и проверяя знаки тригонометрических функций. |
Контрольный вопрос: Чему равен косинус 180 градусов? (Подсказка: посмотрите на координаты самой левой точки полуокружности).
