Геометрия на местности: от Фалеса до ОГЭ
Цели и задачи
- Цель: научиться применять признаки подобия треугольников и тригонометрические функции для определения высоты объектов и расстояний до недоступных точек на пришкольном участке.
- Образовательная задача: закрепить навыки решения практико-ориентированных задач формата ОГЭ (задания №15, №23) в реальных условиях.
- Развивающая задача: развивать навыки математического моделирования и глазомера, умение работать с измерительными инструментами.
- Воспитательная задача: способствовать снижению экзаменационной тревожности через игровую и практическую деятельность на свежем воздухе.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие навыков сотрудничества в группе при решении общих задач.
- Осознание ценности математических знаний как инструмента для решения жизненных проблем.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать математические модели реальных ситуаций, выбирать эффективные способы решения задач.
- Регулятивные: умение планировать действия в соответствии с поставленной задачей, проводить самоконтроль и коррекцию результатов.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, распределять роли в команде и координировать совместную деятельность.
Предметные
- Знать определения и признаки подобия треугольников, тригонометрические формулы в прямоугольном треугольнике.
- Уметь измерять линейные объекты на местности с помощью рулетки и подручных средств.
- Владеть методом определения высоты предмета по его тени и с помощью зеркала.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и её мотивом — подготовкой к ОГЭ).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит сделать на улице.
Познавательные УУД
- Моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель (чертеж на планшете).
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы для каждой группы (5-6 групп) с алгоритмами измерений и местом для чертежей.
- Подготовить комплект оборудования для каждой группы: рулетка (5-10 м), колышек (вешка) известной длины (1 м), небольшое зеркальце, планшет для записей, калькулятор.
- Заранее выбрать на пришкольном участке объекты для измерения: одиноко стоящее дерево, флагшток, баскетбольное кольцо, угол здания.
- Проверить прогноз погоды и провести инструктаж по технике безопасности при нахождении вне школы.
- Подготовить карточки с задачами-аналогами из ОГЭ для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и инструктаж (5 мин)
Цель этапа: настроить учеников на необычный формат урока, провести инструктаж по ТБ и распределить роли в группах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня наш кабинет геометрии расширяется до границ школьного двора. Мы выходим на улицу, чтобы доказать: теоремы из учебника — это не просто строчки текста, а реальные инструменты инженера и строителя. Прежде чем мы покинем здание, напомню правила: работаем строго по группам, не разбегаемся, инструменты используем бережно, при переходе через дорожки смотрим по сторонам. Всем понятно?» | Слушают учителя, расписываются в журнале инструктажа по ТБ (если требуется), проверяют наличие ручек и готовность к выходу. |
3 мин | «Разделитесь на 5 групп. В каждой группе выберите: 'Геодезиста' (отвечает за замеры рулеткой), 'Архитектора' (делает чертеж на планшете) и 'Аналитика' (проводит расчеты). Получите рабочие листы и оборудование. Сейчас мы организованно выходим к центральному входу.» | Делятся на группы, распределяют роли, получают планшеты, рулетки, зеркала и вешки. Выходят на улицу под руководством учителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы на месте. Теперь вспомним, какая геометрическая идея поможет нам измерить высоту того дерева, не имея 10-метровой лестницы?»
Этап 2. Актуализация знаний и постановка проблемы (7 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о подобии треугольников и методе Фалеса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Посмотрите на это дерево и на свои тени. Кто помнит легенду о Фалесе Милетском? Как он измерил высоту пирамиды Хеопса, имея только посох? Правильно, он дождался момента, когда длина его тени стала равна его росту. Но нам некогда ждать! Как нам использовать подобие треугольников прямо сейчас, если тени не равны росту?» Учитель рисует мелом на асфальте схему: дерево, человек, тени, два прямоугольных треугольника. | Отвечают: «Нужно использовать подобие треугольников. Отношение высоты дерева к его тени равно отношению роста человека к его тени». Рассматривают схему на асфальте, соотносят её с реальными объектами. |
3 мин | «Верно. Это классическая задача ОГЭ. Но что, если солнца нет и тени не видно? У вас в наборах есть зеркала. Положите зеркало на землю так, чтобы в нем была видна верхушка дерева. Какой закон физики здесь работает? 'Угол падения равен углу отражения'. Значит, треугольники снова будут какими? Правильно, подобными по двум углам. Это наш запасной метод.» | Предполагают: «Угол падения равен углу отражения». Делают вывод о подобии треугольников, образованных лучом зрения, человеком и деревом. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Инструменты в руках, алгоритмы в голове. Приступаем к 'Геометрическому десанту'!»
Этап 3. Практикум на местности (25 мин)
Цель этапа: выполнение замеров и расчетов в группах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Задание №1: Измерить высоту дерева методом тени. Измерьте рост 'Геодезиста', длину его тени и длину тени дерева. Занесите данные в таблицу №1 рабочего листа. Сделайте чертеж. Не забудьте, что все измерения должны быть в одних единицах — сантиметрах.» Учитель обходит группы, помогает правильно приложить рулетку. | Группы выбирают дерево. Измеряют рост одного ученика, его тень на асфальте и тень дерева. 'Архитектор' рисует схему с обозначением вершин A, B, C и т.д. 'Аналитик' записывает пропорцию. |
10 мин | «Задание №2: Измерить высоту флагштока (или угла школы) методом зеркала. Положите зеркало на землю между собой и объектом. Отходите, пока не увидите в зеркале верхнюю точку объекта. Измерьте расстояние от зеркала до себя и от зеркала до объекта. Учитывайте высоту своих глаз!» | Кладут зеркало, ищут нужную точку обзора. Проводят замеры расстояний. Обсуждают, почему важно мерить расстояние именно до глаз, а не до макушки. Фиксируют данные в таблицу №2. |
5 мин | «Задание №3 (Бонус для быстрых): Определите расстояние до недоступной точки (например, до дерева за забором), используя подобие и вешки. Постройте на земле треугольник, подобный тому, который образуется между вами и деревом.» | Сильные группы пытаются построить на доступном участке земли треугольник, подобный воображаемому треугольнику с вершиной у недоступного объекта. |
Эталон решения (для метода тени)
Пусть $H$ — высота дерева, $L$ — длина его тени. Пусть $h$ — рост ученика, $l$ — длина его тени. Из подобия треугольников: $\frac{H}{h} = \frac{L}{l} \Rightarrow H = \frac{h \cdot L}{l}$. Если рост ученика 160 см, его тень 80 см, а тень дерева 400 см, то $H = \frac{160 \cdot 400}{80} = 800$ см (8 метров).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Время истекло. Сдаем инструменты, возвращаемся в класс для финального анализа результатов.»
Этап 4. Рефлексия и подведение итогов (8 мин)
Цель этапа: соотнести полученные результаты, оценить точность методов и связать их с ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте сравним результаты. Группа 1, какая высота дерева у вас получилась? А у Группы 2? Почему результаты могут отличаться на 20-30 см? Какие факторы повлияли на точность (неровность земли, наклон рулетки, нечеткая тень)?» Учитель выводит на экран слайд с задачей №15 из ОГЭ (про фонарь и человека). | Представители групп называют свои цифры. Обсуждают погрешности. Смотрят на задачу на экране, узнают в ней те же действия, которые только что делали на улице. |
4 мин | «Поднимите руки те, кто теперь увереннее чувствует себя в задачах на подобие. Мы сегодня сделали то, что делают геодезисты каждый день. Геометрия — это не только про тетрадь, это про мир вокруг нас.» Учитель раздает листы самооценки. | Поднимают руки, заполняют листы самооценки, отвечая на вопросы о своем вкладе в работу группы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — выполнены все замеры, рабочие листы заполнены аккуратно, чертежи соответствуют реальности, расчеты произведены без ошибок, погрешность в измерениях обоснована.
- «4» — выполнены два основных задания, есть незначительные ошибки в расчетах или неточности в чертежах.
- «3» — выполнено одно задание, расчеты произведены с помощью учителя, чертежи схематичны или неполны.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой из методов измерения показался вам самым надежным и почему? | Оценка критического мышления и понимания физических ограничений методов. |
В какой момент работы в группе возникли сложности и как вы их решили? | Анализ коммуникативных УУД и навыков командной работы. |
Сможете ли вы теперь решить задачу ОГЭ про тень без чертежа в учебнике? | Проверка переноса практического опыта в академический контекст. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы убедились, что математика — это не тюрьма из формул, а ключ к пониманию пространства. Мы повторили подобие не по картинкам, а по реальным объектам. На следующем уроке мы перейдем к повторению площадей фигур, и там нам тоже пригодится наш опыт измерений. Если сегодня что-то не получилось с расчетами — не страшно, дома в спокойной обстановке вы сможете все перепроверить. Спасибо за отличную работу на воздухе!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №15, №16 из варианта ОГЭ (РешуОГЭ) | Решить 5 типовых задач на подобие треугольников в практическом контексте. |
Средний (повышающий) | Творческий отчет | Оформить результаты сегодняшних измерений в виде мини-презентации или плаката «Геометрия нашего двора». |
Продвинутый (дополнительный) | Задача «Высота Луны» | Найти и описать способ, как с помощью подобия (или тригонометрии) и обычной монеты измерить расстояние до Луны или её диаметр. |
Контрольный вопрос: «Если длина тени дерева уменьшилась в 2 раза, как изменилось положение солнца и изменится ли вычисленная вами высота дерева?»