Представление о ломаной и её элементах. Виды ломаных. Длина ломаной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся смогут распознавать ломаную на чертеже, называть её вершины и звенья, различать простую и замкнутую ломаные, а также находить длину ломаной как сумму длин её звеньев, выполняя не менее 4 из 5 учебных заданий верно.
- Образовательная задача: сформулировать определения ломаной, звена, вершины, простой и замкнутой ломаных, длины ломаной.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, выделять элементы геометрической фигуры, сравнивать объекты и обосновывать выводы.
- Практическая задача: научить строить ломаные по заданным условиям и вычислять их длину в реальных и учебных ситуациях.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за точность измерений, готовность сотрудничать и уважительно аргументировать собственное мнение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности и последовательности действий при построении и измерении геометрических объектов.
- Проявляют познавательный интерес к применению ломаных в маршрутах, схемах, инженерных конструкциях и компьютерной графике.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору уровня задания и ответственному отношению к результату.
- Учатся корректно обсуждать разные способы решения и принимать обоснованную критику.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, таблицы и условия задачи, переводят её в математическую модель.
- Сравнивают ломаные по числу звеньев, наличию самопересечений и замкнутости.
- Планируют последовательность построения и вычисления, проверяют результат измерением и оценкой разумности ответа.
- Формулируют выводы в устной и письменной форме, участвуют в парном обсуждении и аргументируют выбранный ответ.
Предметные
- Знать определения ломаной, звена, вершины, простой и замкнутой ломаных.
- Уметь распознавать и обозначать ломаную по её вершинам, находить число звеньев и вершин.
- Уметь классифицировать ломаные как простые, замкнутые и самопересекающиеся.
- Уметь находить длину ломаной как сумму длин её звеньев и применять это правило к задачам с практическим контекстом.
- Владеть навыком построения ломаной по заданным вершинам с использованием линейки.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, зачем в математике вводятся точные определения и правила обозначения фигур.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и качество выполненного чертежа.
- Связывают изучаемое понятие с маршрутами, схемами дорог и техническими изображениями.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют построение ломаной и вычисление её длины по заданному алгоритму.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют ошибки в обозначениях или вычислениях.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и формулируют затруднение.
Познавательные УУД
- Выделяют вершины и звенья на чертеже, устанавливают их количество и взаимное расположение.
- Сравнивают изображения и классифицируют ломаные по существенным признакам.
- Строят математическую модель длины маршрута в виде суммы длин звеньев.
- Используют измерительные инструменты и представляют результат в соответствующих единицах.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к условию и уточняют значение геометрических терминов.
- Работают в парах: распределяют роли чертёжника и проверяющего, затем меняются ролями.
- Аргументируют классификацию ломаной, используя признаки, а не только внешний вид.
- Согласуют общий вывод и корректно реагируют на альтернативное решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения пяти фигур: отрезка, незамкнутой простой ломаной, замкнутой ломаной, самопересекающейся ломаной и кривой линии.
- Вывесить на доске маршрут урока: «увидеть — назвать элементы — классифицировать — измерить — применить».
- Заранее записать на доске обозначения точек A, B, C, D и заготовку формулы длины ломаной: $l=AB+BC+CD$.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: базовые карточки — 15 экземпляров, повышенные — 15, дополнительные — 5.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одному листу с эталоном на парту.
- Подготовить линейки, карандаши и цветные маркеры: по одному комплекту на парту.
- Подготовить карточки с изображениями ломаных для парной классификации: по одному комплекту на каждую пару.
- Подготовить слайд или плакат с алгоритмом: «1. Найди вершины. 2. Назови звенья. 3. Измерь звенья. 4. Сложи длины».
- Организовать на доске место для итоговой таблицы «Признак — вид ломаной — пример».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через практический образ маршрута и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему маршрута курьера, состоящую из нескольких прямых участков: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с обычной ситуации: курьер движется не по прямой, а меняет направление на перекрёстках. Посмотрите на схему и подумайте, как можно описать такой маршрут языком геометрии. Не спешите называть термин — сначала рассмотрите, из каких частей он состоит." | Рассматривают схему, индивидуально называют части маршрута: «прямые участки», «повороты», «точки изменения направления». |
2 мин | Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд запишите, какие вопросы возникли бы у инженера, если ему нужно рассчитать длину такого маршрута. Затем обсудите их с соседом. Подумайте: что именно надо измерить и какие точки нужно отметить?" | Записывают один вопрос, обсуждают его в парах около минуты, предлагают варианты: «сколько участков», «где находятся вершины», «как сложить длины». |
1 мин | Учитель подводит к теме: "Ваши вопросы показывают, что одного рисунка недостаточно: фигуру нужно назвать, описать её элементы и установить правило вычисления длины. Сегодня мы разберём ломаную и проверим, как геометрия помогает описывать реальные маршруты." | Формулируют предположение: «Ломаная состоит из нескольких соединённых отрезков, а её длину можно получить измерением этих отрезков». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что маршрут можно представить как последовательность прямых участков. Теперь вспомним, какие геометрические объекты уже умеем изображать и измерять, чтобы точно описать такую фигуру."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания об отрезке, точке, обозначении точек и измерении длины отрезка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске отрезок AB и спрашивает: "Что изображено на рисунке? Как обозначается отрезок? Чем отличаются точка и отрезок? Где находятся концы отрезка?" Учитель фиксирует на доске ключевые слова: «точка», «концы», «отрезок», «длина». | Отвечают: «Отрезок AB», «точки A и B — его концы», «отрезок имеет определённую длину». Записывают в тетради обозначение $AB$. |
2 мин | Учитель демонстрирует измерение линейкой: "Совместим нулевую отметку линейки с точкой A, посмотрим, где находится точка B. Почему нельзя начинать измерение с произвольной отметки и просто забыть учесть её?" | Наблюдают измерение, объясняют: «Нужно учитывать начало шкалы; удобнее совмещать конец отрезка с нулём». Называют единицы длины: «миллиметры, сантиметры». |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с изображением трёх отрезков и просит: "За одну минуту подпишите концы каждого отрезка и определите, какой из них длиннее. Обсудите с соседом, каким способом проверяли." | Подписывают точки, сравнивают отрезки визуально и измерением, формулируют: «Надёжнее сравнивать по результатам измерения, если рисунок не дан в масштабе». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что отрезок имеет концы и измеримую длину. Но на нашей схеме участков несколько, и они соединены последовательно. Давайте выясним, как назвать всю такую фигуру и какие элементы в ней выделяются."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при описании составной фигуры и совместно сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает фигуру ABCD, образованную последовательно соединёнными отрезками AB, BC и CD: "Перед вами несколько отрезков. Можно ли назвать каждый из них отдельно? Да. Но как одним словом назвать всю фигуру? Что в ней является точками поворота, а что — участками движения?" | Называют возможные варианты: «цепочка отрезков», «маршрут», «ломаная». Выделяют точки A, B, C, D как места соединения. |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Закончите фразу: «Сегодня я научусь…». В цели должны появиться не только новые слова, но и действие, которое вы сможете выполнить в конце урока." Учитель принимает формулировки и уточняет их. | Формулируют цель: «научусь узнавать ломаную, называть её вершины и звенья, различать виды ломаных и находить её длину». Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно перейти от бытового описания маршрута к точному геометрическому языку. Сначала сами выведем определение и названия элементов, а затем проверим их на чертежах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать представление о ломаной, её вершинах, звеньях, видах и длине через исследование чертежей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель строит на доске последовательно соединённые отрезки AB, BC и CD и говорит: "Посмотрите на рисунок. Отрезки соединены так, что конец одного совпадает с началом следующего. Такая фигура называется ломаной. Точки A, B, C, D называются вершинами ломаной, а отрезки AB, BC, CD — её звеньями. Обратите внимание: B и C являются точками соединения соседних звеньев, а A и D — крайними вершинами." | Рассматривают чертёж, повторяют определения, показывают указкой или карандашом вершины и звенья, записывают термины в тетрадь. |
3 мин | Учитель показывает три чертежа и организует приём «Диаграмма признаков»: "Сравните изображения. В первой ломаной звенья не пересекаются. Во второй первая и последняя вершины совпадают. В третьей звенья пересекаются. Какой признак можно использовать для классификации?" | В парах сравнивают рисунки и формулируют: «Ломаная бывает простой, если её звенья не имеют общих точек, кроме соседних; замкнутой, если первая и последняя вершины совпадают; самопересекающейся, если несоседние звенья пересекаются». |
2 мин | Учитель записывает на доске: "Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Для ломаной ABCD это записывается так: $l=AB+BC+CD$. Почему нельзя измерить только крайние точки A и D и получить длину маршрута?" | Объясняют: «Отрезок AD показывает прямое расстояние, а ломаная проходит по нескольким участкам с поворотами». Записывают формулу длины ломаной. |
2 мин | Учитель предлагает исследовательский вопрос: "У ломаной ABCD три звена и четыре вершины. Сколько вершин будет у ломаной из пяти звеньев, если она незамкнутая? А если она замкнутая? Обоснуйте ответ." | Работают в парах, считают точки и формулируют: «У незамкнутой ломаной из пяти звеньев шесть вершин; у замкнутой первая и последняя точка совпадают, поэтому различных вершин пять». |
Запись в тетрадях
Ломаная — это фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Точки соединения звеньев называются вершинами, а отрезки — звеньями ломаной. Ломаная бывает простой, замкнутой или самопересекающейся. Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев: $l=AB+BC+CD$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определения и правило длины ломаной. Теперь нужно проверить, умеем ли мы применять их не по памяти, а к конкретным чертежам: находить элементы, определять вид и вычислять длину."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание элементов и видов ломаной в парной работе с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с тремя изображениями и даёт инструкцию: "Работаем по алгоритму. Для каждой фигуры назовите вершины, перечислите звенья, определите вид ломаной. Один ученик объясняет, второй отмечает признаки в таблице, затем поменяйтесь ролями. Не пишите только название — докажите его признаком." | В парах подписывают вершины, перечисляют звенья, ставят в таблице отметки «простая», «замкнутая», «самопересекающаяся», формулируют доказательства: «Это простая ломаная, потому что несоседние звенья не пересекаются». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три позиции: количество вершин, количество звеньев, обоснование вида. Если нашли расхождение, не исправляйте молча — задайте вопрос и обсудите признак." | Проверяют работу другой пары, задают уточняющие вопросы, исправляют неточности цветным карандашом. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Некоторые считают каждую точку на рисунке вершиной, даже если она не является концом звена. Посмотрите на пример: вершина — это точка соединения звеньев или крайняя точка ломаной. Как отличить её от случайной точки на рисунке?" | Объясняют: «Вершина должна быть концом одного или двух звеньев ломаной». Переформулируют правило своими словами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились читать ломаную по чертежу и доказывать её вид. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он построить ломаную и вычислить её длину без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом построения, классификации и вычисления длины ломаной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите базовую карточку, если хотите закрепить алгоритм, или повышенную, если готовы самостоятельно объяснять классификацию. Дополнительное задание можно выполнить после основного. Работайте индивидуально, линейку используйте аккуратно." | Выбирают карточку с учётом собственной готовности, записывают фамилию и начинают работу. |
5 мин | Учитель напоминает условие базовой карточки: "Постройте ломаную ABCD, если $AB=3$ см, $BC=4$ см, $CD=2$ см. Укажите число звеньев и вершин, определите, является ли она замкнутой, и найдите её длину. Повышенное задание: сравните длину этой ломаной с отрезком AD, если $AD=5$ см, и объясните, какой путь длиннее." | Строят ломаную, подписывают точки, записывают $l=AB+BC+CD=3+4+2=9$ см, отвечают: «Три звена, четыре вершины, ломаная незамкнутая». В повышенном задании сравнивают 9 см и 5 см, формулируют вывод. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Проверьте работу по четырём пунктам: построение, обозначения, определение вида, вычисление длины. Исправьте ошибки другим цветом и отметьте в листе самооценки, на каком шаге возникло затруднение." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: «могу назвать элементы», «могу определить вид», «могу найти длину». |
Эталон решения
1. В ломаной ABCD три звена: $AB$, $BC$, $CD$. 2. Вершины: A, B, C, D; всего четыре вершины. 3. Первая и последняя вершины не совпадают, значит, ломаная незамкнутая. 4. Длина ломаной: $l=AB+BC+CD=3+4+2=9$ см. 5. Если $AD=5$ см, то $9>5$, следовательно, длина пути по ломаной больше расстояния между крайними точками.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять без рисунка-подсказки. Обратите внимание: длина ломаной складывается из всех звеньев, а не только из расстояния между крайними вершинами. Осталось обобщить знания и оценить, какая часть цели уже достигнута."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить затруднения и объяснить содержание разноуровневого домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете назвать вершины и звенья ломаной; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно. Сейчас важна честная диагностика, а не сравнение с соседом." | Поднимают карточки, соотносят цвет со своим уровнем понимания, формулируют затруднение: «путаю число вершин и звеньев» или «забываю учитывать все звенья». |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "На маленьком листке ответьте на два вопроса: чем звено отличается от вершины и как найти длину ломаной ABCDE? Запишите также одно применение ломаных в жизни." | Письменно отвечают: «Звено — отрезок, вершина — точка соединения; длина равна сумме $AB+BC+CD+DE$». Приводят пример: «маршрут на карте», «схема дороги», «контур детали». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный выполняйте по готовности. В каждой задаче обязательно делайте чертёж, подписывайте вершины и звенья, записывайте единицы длины. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, уточняют условия, отмечают в дневнике необходимость подготовить линейку. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты самостоятельной работы: построение ломаной, обозначение четырёх вершин и трёх звеньев, определение вида, вычисление длины; запись аккуратная, единицы измерения указаны.
- «4» — выполнены верно не менее трёх основных пунктов, допущена одна несущественная ошибка в обозначениях или объяснении, вычисление длины выполнено правильно.
- «3» — верно выполнены построение и хотя бы один содержательный пункт, но допущены ошибки при подсчёте элементов или сложении длин, которые ученик исправляет после подсказки.
- Ниже отметки «3» — не различены вершины и звенья или отсутствует решение; работа подлежит доработке по алгоритму с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое ломаная и чем её звено отличается от вершины? | Проверка осознания основных определений и точности терминологии. |
Как определить, является ли ломаная простой, замкнутой или самопересекающейся? | Выявление понимания существенных признаков классификации. |
Какой шаг алгоритма нахождения длины ломаной оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в измерении и сложении длин звеньев. |
Где в жизни можно встретить ломаные? | Связь учебного материала с функциональным применением и повышение мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за обычным маршрутом геометрическую ломаную, выделять её вершины и звенья, различать виды и находить длину. Самая частая ошибка — измерить только расстояние между крайними точками и назвать его длиной ломаной, хотя нужно сложить длины всех звеньев. Проверьте дома, чтобы в каждом чертеже были подписаны точки и указаны единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим работу с ломаными и решим задачи, где потребуется применять их свойства в более сложных ситуациях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание ломаных: назвать вершины и звенья, определить число звеньев и вид ломаной; решить 2 примера на нахождение длины ломаной по заданным длинам звеньев. | Закрепляет определения и алгоритм сложения длин; при проверке смотреть на правильность обозначений, классификации и единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с практическим контекстом о длине маршрута, состоящего из 3–5 прямых участков; в одной задаче сравнить длину ломаного пути с прямым расстоянием между крайними точками. | Формирует математическую и функциональную грамотность; при проверке обращать внимание на перевод условия в сумму длин звеньев и аргументацию сравнения. |
Продвинутый (дополнительный) | Построить две ломаные с одинаковым числом звеньев и одинаковыми крайними вершинами, но разной длиной; доказать измерением, какая из них длиннее, и описать, какая является простой или самопересекающейся. | Развивает исследовательское и пространственное мышление; при проверке оценивать корректность чертежа, самостоятельность вывода и использование терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называются отрезки ломаной? Как называются точки их соединения? Что нужно сложить, чтобы найти длину ломаной? Чем замкнутая ломаная отличается от незамкнутой?»
